精品解析：湖南长沙市望城区第六中学2026-2027学年高一上学期第一次学业质量检测数学试题

望城区六中2026级高一第一次学业质量检测 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将正确答案填写在答题卡上 一、单选题(共8小题，共40分) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. 任意两个无理数之和仍是无理数 C. D. 至少存在两个质数的平方是偶数 5. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 6. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 8. 集合，，之间的关系是 A.  B.  C.  D.  二、多选题(共3小题，共18分) 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知集合，且，则的值为_________. 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 14. 已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 16. 设集合，集合． （1）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 17. 某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完． （1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式． （2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本） 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区六中2026级高一第一次学业质量检测 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将正确答案填写在答题卡上 一、单选题(共8小题，共40分) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的概念，取特殊值可判断真假. 【详解】对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题； 对于而言，取，此时，故是假命题，是真命题. 综上，和都是真命题. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. 任意两个无理数之和仍是无理数 C. D. 至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题以及真假命题的定义即可求解. 【详解】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题， C，存在使得，故C正确； 对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误. 故选：C. 5. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列举即可. 【详解】由题意，，且中还有其他元素， 则A可能是，共3个. 故选：B. 6. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C． 8. 集合，，之间的关系是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【解析】 【分析】先算出集合，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系. 【详解】∵，，∴，， ，故， 故选C. 【点睛】集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素. 二、多选题(共3小题，共18分) 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集与首项系数的关系可判断A选项；利用韦达定理可判断BC选项；化简所求不等式，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为不等式的解集为或， 则，故A正确； 对于BC选项，由题意可知是关于的二次方程的两根， 则，可得， 所以，故BC正确； 对于D选项，由可得，即， 即，解得， 故不等式的解集为，D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明. 【详解】A选项，，，故{或}，A正确； B选项，，不妨设， 则，故， 但不满足，B错误； C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1， ①为集合且，②为集合且， ③为集合，④为集合， 表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集， 为集合①，故为集合③④的并集， 为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故； 当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合的并集， 表示集合①和集合的并集，为集合，故为集合①， 为集合的并集，故为集合①，故； 如图3，当时，表示集合①，为集合， 故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故； 如图4，当时，②为且，①为， 表示集合①和②的并集，， 表示集合②，故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故. 综上，C正确； D选项，画韦恩图，如下： 情况较多，我们就第一个图进行说明， ①为且且， ②为且且， ③为且，④为， ⑤为且，⑥为， ⑦为且，⑧为且且， 表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集， 表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集， 故， 当满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量. 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知集合，且，则的值为_________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，， 而集合的元素具有互异性，故，所以， 故答案为：0 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【解析】 【分析】原命题等价于命题“，”是真命题 【详解】由题意得若命题“”是假命题， 则命题“，”是真命题， 则需,故本题正确答案为． 【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 14. 已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】化简集合，由条件可得，根据集合间的关系列不等式可求的取值范围. 【详解】不等式的解集为或， 所以或， 因为是的必要不充分条件， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 因为， 故或. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 16. 设集合，集合． （1）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得是的非空真子集，再利用集合的包含关系列式求解作答. （2）求出，再由已知列出不等式即可求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集， 又，，因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 由，得或， 由中只有一个整数，得，因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 17. 某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完． （1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式． （2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本） 【答案】（1） （2）当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知时，，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式， （2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案 【小问1详解】 当时，，解得， 故， 当时，； 当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，所以当时，有最大值，最大值为； 当时，， 当且仅当，即当时，有最大值，最大值为. 因为， 所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）； （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）以为主元，关于的一次不等式恒成立，代入两个端点成立即可； （3）因式分解之后，按照一次二次、开口方向、两根大小进行分类讨论即可.. 【小问1详解】 不等式的解集为， 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得, 则. 【小问2详解】 不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令， 可得，解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得或，不等式的解集为或； 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解， （2）将不等式转化为，问题等价于，求解， （3）根据韦达定理，将问题转化为，进而利用不等式即可求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以与2是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可知，解得． 【小问2详解】 由（1）知，所以不等式等价于， 即．即，解得且． 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 因为关于的方程有两个正实数根， 所以，又，也即，即， 结合，可得，解得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $