第14章 全等三角形--几何模型（角平分线） 重点题型归纳练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章 全等三角形--几何模型（角平分线） 重点题型归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、构造角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 1．如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为______． 2．如图，等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点D． 求证：． 3．如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 二、作角平分线的垂线，构造等腰三角形 4．如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（　　）    A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 6．【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 7．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可得，则有，（即点为的中点）．请你写出证明的过程． （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 三、截相等线段构造对称型全等三角形 8．如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的角平分线，且，，则的度数为__________． 10．如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 四、角平分线十平行线，构造等腰三角形 11．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 12．完成下面的证明． 已知：如图，是的角平分线，点D在射线上，点E在射线上， 且． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴ ① （ ② ）． ∵， ∴ ③ ． ∴（ ④ ）．    五、角平分线综合模型 13．探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 14．综合与实践： 【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，． 【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______； 【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积． 15．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 16．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点D．若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 4 8 答案 C C 1．2 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2． 解：如图所，过点D作于E， ∴， ∵，， ∴， ∵线段是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 2． 证明：如图所示，过点D作于H， ∴， ∵是角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于H，先证明得到，再证明是等腰直角三角形，推出，据此根据线段的和差关系即可证明结论． 略 3．证明：连接， ，， ． 在和中 ， ． ． 点在的角平分线上． 连接，可通过证明从而得到结论． 略 4．C ①由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理，便可判断①的正误； ②延长与交于点，由，，根据三角形内角和定理与三角形外角定理得，便可判断②正确； ③由平行线的性质证明，再由等角的余角相等可得，便可得，故③正确； ④证明，可得结论． 解：①∵，为的中点， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②如图，延长与交于点， ∵为的角平分线，过点作垂直于点， ∴，， ∴，故②正确；    ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故③正确； ④∵，为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键． 5． 12 （1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6． （1），，； （2）的度数为； （3）解：． 证明：延长、，交于点， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （1）由已知可得，证明，即可证得结论； （2）延长，交于点，由已知可得，可得，由三角形外角的性质，可得的度数； （3）延长、，交于点，证明，可得，证明，可得，即可得和的数量关系． （1）略 （2）解：延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）略 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，对顶角相等，等角的余角相等． 7． （1）证明：平分， ， ， ， （2）； （3）解：，理由如下， 延长、交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ． 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）角平分线得，垂直得，加公共边，利用证明全等即可； （2）延长交于点，利用角平分线和垂直构造，得到；再根据三角形外角性质进行计算即可； （3）延长、交于点，先证明，得到，再利用角平分线和垂直构造，得到，从而推出结论． （1） 略 （2）解：延长交于点， 平分， ， ， 又， ， ， ， ； （3） 略 8．C 本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质及内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，证得，得到，，根据线段的和差可推出，得到，从而，，根据三角形的内角和定理即可求解． 解：在上取点E，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 9．32 在上截取，则，证明，再利用等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理解答即可． 解：在上截取，则， ∵， ∴， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等和等腰三角形的性质是解题的关键． 10．(1)SAS，，，证明过程见详解 (2)见详解 （1）根据题意可直接进行求解； （2）在BC上截取，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求证． （1）解：，理由如下： 如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ∵AD平分， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：在BC上截取，连接，如图所示： ∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11． 本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 12．；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行 本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，根据可得，根据平行线的判定即可得；掌握角平分线的定义，平行线的判定是解题的关键． 证明：∵是的角平分线， ∴（ 角平分线的定义 ）． ∵， ∴． ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 故答案为：；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行． 13．(1) (2) (3) 解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由（1）可得，， ； (4) （1）证，得，即可； （2）延长交于点，同理可得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，再由（1）可知，，即可得出结论； （4）延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． （1）解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于， 由（1）可知，，， ， ， ∴ ， ∴． 14．（1）； （2）仍然成立， 理由：如图2，过点P作于F，于H，则， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3） （1）根据角平分线的性质定理可得答案； （2）过点P作于F，于H，则，，求出，证明即可； （3）求出，可得，作于M，于N，则，根据含直角三角形的性质求出，可得的长，再利用三角形的面积公式计算即可． 解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，作于M，于N，则，    ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，含直角三角形的性质等知识，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15．(1)，；； (2) 证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在 和中， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，    ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)的最大值为． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，直接得出，； 设，，，由的周长为32，得出，由的周长为23，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点， 可证明，进而得到，根据题意得到，当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值，即可求解． （1）解：如图：    ∵，平分， ∴，， 故答案为：，； 设，，， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵的周长为23， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 16． （1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵于E，于D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到； （2）根据角平分线的性质得到，先证明得，再证明得，再由即可得到结论． （1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $