第十四章 全等三角形 专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 题集（上） 目录 第1课时 初识全等（一）全等发现 4 题型①　一次全等 4 题型②　二次全等 5 第2课时 初识全等（二）常规辅助线 9 题型①　连接法 9 题型②　延长法 9 题型③　作垂线法 10 题型④　截长补短法 10 第3课时 线段和差的处理方法 14 题型1 代换一条线段 14 题型2 代换两条线段 14 第4课时 线段和差的处理方法 17 第5课时 中点的处理方法 20 题型1 倍长中线（或作平行线） 20 题型2 倍长类中线（或作平行线） 21 题型3 作垂直 21 第6课时 中点的处理方法 25 题型1 作平行 25 题型2 作垂直 25 题型3 作延长 26 第7课时 角平分线的处理方法 28 题型1 作一垂 28 题型2 作两垂 29 第8课时 角平分线的处理方法 31 题型①　直接用判定 31 题型②　旁心 32 题型③　隐角平分线 32 第9课时 角平分线的处理方法 34 题型①　面积法求线段长 34 题型②　面积法证线段比 35 题型③　构全等转化面积 35 第10课时 角平分线的处理方法 39 题型①　对角互补遇角平分线 39 题型②　内心作垂构对称型全等 39 题型③　直角梯形遇角平分线 40 第11课时 角平分线的处理方法 42 题型①　单角平分 42 题型②　梯形双角平分 43 题型③　60°的三角形双角平分 43 第12课时 角平分线的处理方法 45 题型①　延长构对称全等 45 题型②　延长构对称型、旋转型全等 46 第13课时 角平分线的处理方法 48 题型①　对角「90°+90°」型 48 题型②　对角「α°+(180°−α°)」型 49 第14课时 角平分线的处理方法 53 题型①　同旁张双直角 53 题型②　同旁张双等角 54 第15课时 一线三等角模型 57 题型①　构造同侧一线三垂直 57 题型②　构造异侧一线三垂直 58 题型③　构造三垂直 58 第16课时 一线三等角模型 63 题型①　两点在轴上，“一点垂” 63 题型②　一点在轴上，“两点垂” 64 题型③　无点在轴上，“一平两垂” 64 题型④　顶点不确定，分类讨论 65 第17课时 一线三等角模型 70 题型①　同侧一线三等角 70 题型②　异侧一线三等角 71 第1课时 初识全等（一）全等发现 一、全等的五种基本类型 类型 平移型 旋转型 对称型 平移+对称型 平移+旋转型 图形 二、典例精讲 题型①　一次全等 【例1】如图，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE。求证：BE=AD。 证明：∵∠BCA=∠DCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∠DCE=∠DCA+∠ACE，∴∠BCE=∠DCA。 在 △BCE 和 △ACD 中，CB=CA，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD。 【例2】如图，在 △ABC 与 △ADE 中，点 E 在 BC 边上，AD=AB，AE=AC，DE=BC，DE 交 AB 于点 O。若 ∠1=25°，求 ∠2 的度数。 解：在 △ABC 和 △ADE 中，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∴△ABC≌△ADE（SSS），∴∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠AED。 ∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DAE=∠DAB+∠BAE，∴∠EAC=∠DAB，即 ∠1=∠EAC=25°。 ∵点 E 在 BC 边上，EB 是 BC 的反向延长线，而 DE 是 BC 绕点 A 旋转 ∠1 得到的，∴∠BED=∠EAC=25°（两直线的夹角等于旋转角），即 ∠2=25°。 （也可这样看：∵∠AED=∠ACB，而 ∠AEB+∠AEC=180°，∠2=∠BED=180°−∠AED−∠AEC=180°−∠ACB−∠AEC=∠CAE=25°。） 题型②　二次全等 【例3】如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为 E，D，BE，CD 交于点 O，AD=AE。求证：OB=OC。 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEO=∠ADO=90°。 在 Rt△AEO 和 Rt△ADO 中，AE=AD，AO=AO，∴Rt△AEO≌Rt△ADO（HL），∴OE=OD。 在 △BEO 和 △CDO 中，∠BEO=∠CDO=90°，OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∴△BEO≌△CDO（ASA），∴OB=OC。 【例4】如图，点 B，C，E，F 在同一条直线上，∠B=∠E，AC∥DF，AB=DE。若 AM，DN 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，求证：AM=DN。 证明：∵AC∥DF，B，C，E，F 在同一条直线上，∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）。 在 △ABC 和 △DEF 中，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，AB=DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠BAC=∠EDF。 ∵AM，DN 分别是 ∠BAC，∠EDF 的平分线，∴∠BAM=∠BAC，∠DEN=∠EDF，∴∠BAM=∠DEN。 在 △ABM 和 △DEN 中，∠B=∠E，AB=DE，∠BAM=∠DEN，∴△ABM≌△DEN（ASA），∴AM=DN。 三、实战演练 1. 如图，B，E，C，F 四点在同一直线上，BE=CF，AB=DE，且 AB∥DE，判断线段 AC，DF 的数量与位置关系并证明。 解：AC=DF，且 AC∥DF。证明如下： ∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即 BC=EF。 ∵AB∥DE，B，E，C，F 在同一直线上，∴∠ABC=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。 在 △ABC 和 △DEF 中，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF，∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）。 2. 如图，AD 是 △ABC 的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，BE=CF。求证：AE=AF。 证明：∵AD 是 △ABC 的中线，∴BD=CD。 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF。 3. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 是 BC 的中点，M 是 BD 上一点，过点 B 作 BN⊥AM 于点 N，交 AD 的延长线于点 E。求证：CM=AE。 证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC（等腰三角形“三线合一”），∴∠BAE=∠BAD=45°。 ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACM=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠ACM。 ∵BN⊥AM，∴∠ANB=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°。又 ∠CAM+∠BAM=∠BAC=90°，∴∠ABN=∠CAM，即 ∠ABE=∠CAM。 在 △ABE 和 △CAM 中，∠ABE=∠CAM，AB=CA，∠BAE=∠ACM，∴△ABE≌△CAM（ASA），∴AE=CM。 4. 如图，BE，CF 是 △ABC 的高，M 为 BE 上一点，且 BM=AC，N 为 CF 延长线上一点，且 CN=AB。 （1）求证：△ABM≌△NCA；（2）求证：AM⊥AN。 证明：（1）∵BE 是 AC 边上的高，∴BE⊥AC，∴∠ABM=∠ABE=90°−∠BAC。 ∵CF 是 AB 边上的高，∴CF⊥AB，∴∠ACN=∠ACF=90°−∠BAC，∴∠ABM=∠ACN。 在 △ABM 和 △NCA 中，AB=CN，∠ABM=∠ACN，BM=CA，∴△ABM≌△NCA（SAS）。 （2）由（1）得 ∠BAM=∠CNA。∵CF⊥AB，∴∠AFN=90°，在 Rt△AFN 中，∠FAN+∠FNA=90°。 ∵A，F，B 共线，∴∠FAN=∠BAN；又 ∠FNA=∠CNA=∠BAM，∴∠BAN+∠BAM=90°，即 ∠MAN=90°，∴AM⊥AN。 第2课时 初识全等（二）常规辅助线 一、四种常规辅助线 二、典例精讲 题型①　连接法 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，点 E，F 分别在 AB，AD 上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD。 证明：连接 AC。在 △ACE 和 △ACF 中，AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF。 ∵E 在 AB 上，F 在 AD 上，∴∠CAE=∠CAB，∠CAF=∠CAD，∴∠CAB=∠CAD。 在 △ABC 和 △ADC 中，∠B=∠D=90°，∠CAB=∠CAD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD。 题型②　延长法 【例2】如图，AC=BD，∠BAC=∠BDC=90°，求证：AB=CD。 证明：连接 BC。 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，AC=DB，BC=CB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴AB=CD。 题型③　作垂线法 【例3】如图，在 △ADE 中，∠DAE=90°，AF⊥DE，且 AF=DE。若 AD=4，求 S△ADF。 解：S△ADF=8。 ∵AF⊥DE，AF 与 DE 所成的角为 90°，而 ∠DAE=90°，∴∠EAF=∠ADE（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等）。 ∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=90°+∠ADE，∴sin∠DAF=sin(90°+∠ADE)=cos∠ADE=。 ∴S△ADF=·AD·AF·sin∠DAF=·AD·AF·=·AD²（∵AF=DE）=×4²=8。 即 S△ADF=8，与 AE 的长短无关。 题型④　截长补短法 【例4】如图，在 △ABC 中，AB>AC，AD 平分 ∠BAC，P 是 AD 上一点，求证：PB−PC<AB−AC。 证明：在 AB 上截取 AE=AC，连接 PE。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴∠EAP=∠CAP。在 △AEP 和 △ACP 中，AE=AC，∠EAP=∠CAP，AP=AP，∴△AEP≌△ACP（SAS），∴PE=PC。 在 △BPE 中，由三角形两边之差小于第三边，得 PB−PE<BE。∵PE=PC，BE=AB−AE=AB−AC，∴PB−PC<AB−AC。 三、实战演练 1. 如图，AB，CD 交于点 O，AB=CD，AC=BD。求证：∠A=∠D。 证明：连接 BC。在 △ABC 和 △DCB 中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠A=∠D。 2. 在五边形 ABCDE 中，F 为 CD 上一点，连接 AF。 （1）如图1，若 AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD。求证：F 为 CD 的中点； （2）如图2，若 AB=AE，∠B=∠E，AF 平分 ∠BAE，AF⊥CD 于点 F。求证：F 为 CD 的中点。 证明：（1）连接 AC，AD。在 △ABC 和 △AED 中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD。 ∵AF⊥CD，∴∠AFC=∠AFD=90°。在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中，AC=AD，AF=AF，∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），∴CF=DF，即 F 为 CD 的中点。 （2）∵AF 平分 ∠BAE，∴∠BAF=∠EAF。在 △ABF 和 △AEF 中，AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF=AF，∴△ABF≌△AEF（SAS），∴BF=EF，∠AFB=∠AFE。 ∵AF⊥CD，F 在 CD 上，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠BFC=∠AFB+90°=∠AFE+90°=∠DFE。 ∵△ABF≌△AEF，∴∠ABF=∠AEF。∵∠B=∠E（已知），∴∠CBF=∠B−∠ABF=∠E−∠AEF=∠DEF。 在 △BCF 和 △EDF 中，∠CBF=∠DEF，BF=EF，∠BFC=∠DFE，∴△BCF≌△EDF（ASA），∴CF=DF，即 F 为 CD 的中点。 3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC=90°，过点 D 作 DE⊥AC 交 BC 于点 E。若 DE=BC，AC=4，S△CDE=6，求 CE 的长。 解：CE=3。设 DE 与 AC 交于点 G（即 G 为垂足）。 ∵DE⊥AC，∴∠CGE=90°，∴△CGE 是直角三角形，且 ∠CEG=90°−∠ECG。 ∵∠BAC=90°，∴在 △ABC 中 ∠ABC=90°−∠ACB。∵E 在 BC 上，CG 在 AC 上，∴∠ECG=∠ACB，∴∠CEG=∠ABC。又 ∠CGE=∠BAC=90°，∴△CGE∽△ABC。 ∴=，即 CE=CG·。 ∵S△CDE=·DE·CG=·BC·CG=6（∵DE=BC，CG 是 DE 边上的高），∴BC·CG=12。 ∴CE===3。 4. 如图，在 △ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是 ∠ABC 的平分线，延长 BD 至点 E，使 DE=AD，连接 EC。求证：BC=AB+CE。 证明：∵∠A=100°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°−100°−40°=40°。 ∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=20°。在 △ABD 中，∠ADB=180°−∠A−∠ABD=60°，∴∠CDE=∠ADB=60°（对顶角相等）。 在 BC 上截取 BF=AB，连接 DF。 在 △ABD 和 △FBD 中，AB=FB，∠ABD=∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴AD=FD，∠BDF=∠BDA=60°，∠BFD=∠BAD=100°。 ∴∠DFC=180°−∠BFD=80°，∠FDC=∠BDC−∠BDF=(180°−∠ADB)−60°=(180°−60°)−60°=60°。 ∴∠FDC=∠CDE=60°。∵AD=DE，AD=FD，∴FD=DE。在 △FDC 和 △EDC 中，FD=ED，∠FDC=∠EDC，DC=DC，∴△FDC≌△EDC（SAS），∴FC=CE。 ∴BC=BF+FC=AB+CE。 第3课时 线段和差的处理方法 一、方法技巧 通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题；通过全等得到线段相等，直接代换，把分散的线段转化到同一条直线上解决问题。 题型1 代换一条线段 【例1】如图，D 为 BC 上一点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BC=CD+CE。 证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE。 在 △BAD 和 △CAE 中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE。 ∵BC=BD+CD（D 在 BC 上），∴BC=CE+CD，即 BC=CD+CE。 题型2 代换两条线段 【例2】如图，∠BAC=90°，AB=AC，直线 DE 过点 A，BD⊥DE，垂足为 D，CE⊥DE，垂足为 E。 (1) 如图 1，求证：DE=CE+BD； (2) 如图 2，求证：DE=CE−BD。 证明：(1) ∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠AEC=90°。 ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=180°−90°=90°。 在 Rt△ABD 中，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE。 在 △ABD 和 △CAE 中，∠BDA=∠AEC=90°，∠ABD=∠CAE，AB=CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE。 ∴DE=AD+AE=CE+BD。 (2) 同 (1) 可证 △ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE。 ∵点 E 在线段 AD 上，∴DE=AD−AE=CE−BD。 实战演练 如图，在 △ABC 中，AB=BC，D 为 AB 的中点，∠ABC=∠BAE=90°，BE⊥CD 交 AC 于点 F。求证：CD=BF+DF。 证明：∵D 为 AB 的中点，∴AD=BD=½AB。∵AB=BC，∴BC=AB=2BD，∠CBD=90°。 ∵BE⊥CD，BC⊥BD，∴∠CBE=∠CDB（两边分别垂直的两个锐角相等）。 ∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=90°−∠CDB=∠BCD。 又 ∠BAE=∠CBD=90°，∴△ABE∽△BCD。 ∵AB=BC，两三角形的相似比为 1，∴△ABE≌△BCD（AAS）， ∴BE=CD，AE=BD。 过 E 作 EH⊥BC 于 H。∵∠BAE=90°，∠ABC=90°，∴AE∥BC， ∴四边形 ABHE 为矩形，∴BH=AE=BD，EH=AB=BC。 ∴CH=BC−BH=BC−BD=2BD−BD=BD。 在 Rt△CBD 中，CD2=BC2+BD2；在 Rt△CHE 中，CE2=CH2+EH2=BD2+BC2， ∴CD=CE。 ∵AD=½AB=½BC，AE=BD=½AB=½BC，∴AD=AE。 ∴点 A 和点 C 都在线段 DE 的垂直平分线上，∴AC 是线段 DE 的垂直平分线。 ∵点 F 在 AC 上，∴FD=FE。 ∵点 F 在线段 BE 上，∴CD=BE=BF+FE=BF+DF。 第4课时 线段和差的处理方法 一、方法技巧 截长：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，再证明剩下的部分等于另一条。 补短：把一条短线段延长，使延长部分等于另一条短线段，再证明新线段等于长线段；或者把短线段直接延长到与长线段相等。 【例】 如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E 分别是 CA 的延长线和 AC 的延长线上一点，AD=CE，F 为 BA 延长线上的一点，且 ∠CFA=∠DFA。求证：DF+BE=CF。 证明（补短法）：作点 C 关于直线 AB 的对称点 H，连接 FH、AH、DH。 ① ∵点 H 与点 C 关于直线 AB 对称，∴AC=AH，BC=BH，FH=FC，且 AB 平分 ∠CAH。 ② ∵∠CFA=∠DFA，即 FA 平分 ∠CFD，∴点 C、D 分别在直线 FA 的两侧。 又点 H 与点 C 关于 FA 对称，即点 H、C 分别在直线 FA 的两侧， ∴点 H 与点 D 在直线 FA 的同侧，且 ∠HFA=∠CFA=∠DFA， ∴射线 FH 与射线 FD 重合，即点 D 在射线 FH 上。 ③ ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°。 ∵AB 平分 ∠CAH，∴∠CAH=2∠CAB=90°。 ∵点 D 在 CA 的延长线上，∴点 D、A、C 共线，∠DAH=180°−∠CAH=90°。 ④ ∵BC⊥AC，点 E 在 AC 上，∴∠BCE=90°=∠DAH。 在 △ADH 和 △BCE 中，AD=CE，∠DAH=∠BCE，AH=BC， ∴△ADH≌△BCE（SAS），∴DH=BE。 ⑤ ∵在 △CFD 中 ∠CDF=135°−∠CFA 为最大角，∴CF>FD，即 FH>FD， ∴点 D 在线段 FH 上，∴CF=FH=FD+DH=FD+BE，即 DF+BE=CF。 实战演练 1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=∠ACB，点 F 在 AB 上，满足 ∠CFA=∠A，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，延长 BE 至点 D，使 DE=BE，连接 CD。 (1) 求证：∠ACD=∠ABC； (2) 求证：AE+BF=CE。 证明：(1) ∵BE⊥AC 于点 E，且 DE=BE，点 D 与点 B 在直线 AC 的两侧， ∴点 D 与点 B 关于直线 AC 对称，∴CD=CB，∠ACD=∠ACB。 ∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACD=∠ABC。 (2) ∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC。 ∵点 F 在 AB 上，∴∠CAF=∠CAB=∠A。又 ∠CFA=∠A， ∴∠CFA=∠CAF，∴AC=FC，∠ACF=180°−2∠A。 取 AF 的中点 M，连接 CM。∵AC=FC，∴CM⊥AF， ∴∠ACM=½∠ACF=90°−∠A，∠AMC=90°。 ∵BE⊥AC 于点 E，∴∠AEB=90°=∠AMC。 在 △AMC 和 △AEB 中，∠AMC=∠AEB，∠MAC=∠A=∠EAB，AC=AB， ∴△AMC≌△AEB（AAS），∴AM=AE，∴AF=2AE。 ∴CE=AC−AE=AB−AE=(AF+BF)−AE=2AE+BF−AE=AE+BF。 2. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°。 (1) 求证：DA 平分 ∠CDE； (2) 求证：∠BAE=2∠CAD。 证明：(1) 把 △ABC 绕点 A 旋转，使 AB 与 AE 重合（旋转角为 ∠BAE），设点 C 的对应点为 C′。 则 AC′=AC，EC′=BC，∠AEC′=∠ABC。 ∵∠ABC+∠AED=180°，∴∠AEC′+∠AED=180°， ∴C′、E、D 三点共线，且 C′ 与 D 在点 E 的两侧。 ∴C′D=C′E+ED=BC+DE=CD。 在 △ACD 和 △AC′D 中，AC=AC′，CD=C′D，AD=AD， ∴△ACD≌△AC′D（SSS），∴∠CDA=∠C′DA， 即 DA 平分 ∠CDC′，也就是 DA 平分 ∠CDE。 (2) 由 △ACD≌△AC′D 得 ∠CAD=∠C′AD，∴AD 平分 ∠CAC′，∴∠CAC′=2∠CAD。 又 ∵射线 AC 在 ∠BAE 的内部， ∴∠CAC′=∠CAE+∠EAC′=∠CAE+∠CAB=∠BAE， ∴∠BAE=2∠CAD。 第5课时 中点的处理方法 一、知识梳理 类型 倍长中线 倍长类中线 作垂直 条件 BD=CD BD=CD BD=CD 方法 延长 AD 至点 E，DE=AD 延长 ED 至点 F，DF=ED 作 CE⊥AD，BF⊥AD 于点 E、F 结论 ①△ADC≌△EDB； ②BE=AC，BE∥AC。 ①△EDC≌△FDB； ②BF=EC，BF∥EC。 ①△EDC≌△FDB； ②BF=EC，DF=ED。 二、典例精讲 题型1 倍长中线（或作平行线） 【例1】如图，AD 是 △ABC 的中线。 (1) 求证：AB+AC>2AD； (2) 若 AB=6，AD=4，求 AC 的取值范围。 证明：(1) 延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE。 在 △ADC 和 △EDB 中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=DB， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC。 在 △ABE 中，AB+BE>AE，又 AE=AD+DE=2AD，BE=AC， ∴AB+AC>2AD。 (2) 由 (1) 得 AE=2AD=8。 在 △ABE 中，AB+BE>AE，即 6+AC>8，∴AC>2； 又 AB+AE>BE，即 6+8>AC，∴AC<14。 ∴AC 的取值范围是 2<AC<14。 题型2 倍长类中线（或作平行线） 【例2】如图，在 △ABC 中，D 为 BC 上一点，E 是 BC 的中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于点 G，BG=CF。求证：AD 为 △ABC 的角平分线。 证明：∵EF∥AD，D、E 都在直线 BC 上，A、F 都在直线 CA 上， ∴△CEF∽△CDA，∴=。 ∵E 是 BC 的中点，∴CE=½BC，∴CF==。 ∵EF∥AD，∴△BGE∽△BAD，∴=， ∴BG==。 ∵BG=CF，∴=，∴=， 即 =。 ∴AD 平分 ∠BAC（角平分线分对边所得两段与两邻边成比例），即 AD 为 △ABC 的角平分线。 题型3 作垂直 【例3】如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF∥AB。求证：EF=AC。 证明：∵点 E 在 BD 上，点 F 在 AD 上，EF∥AB， ∴△DEF∽△DBA，∴=。 ∵DE=CD，∴EF=。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴点 D 到 AB、AC 的距离相等，设为 h， ∴S△ABD=½AB·h，S△ACD=½AC·h。 又 S△ABD=½BD·H，S△ACD=½CD·H（H 为点 A 到 BC 的距离）， ∴=，即 =。 ∴EF==BA·=AC，即 EF=AC。 三、实战演练 1. 如图，在四边形 BEFC 中，D 为 BC 的中点，∠EDF=90°，BE=4，CF=1。若 EF 的长为整数，求 EF 的长。 解：作点 E 关于点 D 的对称点 E′，连接 DE′、CE′、E′F。 ∵D 为 BC 的中点，∴绕点 D 旋转 180° 时点 B 与点 C 重合，点 E 与点 E′ 重合， ∴CE′=BE=4，且 CE′∥BE。 ∵∠EDF=90°，∴∠E′DF=180°−∠EDF=90°=∠EDF。 在 △EDF 和 △E′DF 中，DE=DE′，∠EDF=∠E′DF，DF=DF， ∴△EDF≌△E′DF（SAS），∴EF=E′F。 在 △CE′F 中，CE′=4，CF=1，由三角形三边关系得 4−1<E′F<4+1，即 3<EF<5。 ∵EF 的长为整数，∴EF=4。 2. 如图，在四边形 ABFG 中，∠A=∠B=90°，E 为 AB 的中点，且 EG⊥EF。若 AG=2，BF=3，求 GF 的长。 解：作点 G 关于点 E 的对称点 G′，连接 EG′、FG′。 ∵E 为 AB 的中点，∴A、B 关于点 E 对称，∴BG′=AG=2，且 BG′∥AG。 ∵∠A=∠B=90°，∴AG⊥AB，BF⊥AB，∴AG∥BF， ∴点 G′、B、F 在同一条直线上（都在过 B 且垂直于 AB 的直线上），且点 B 在线段 G′F 上， ∴G′F=G′B+BF=2+3=5。 ∵EG⊥EF，且 EG′ 与 EG 在同一条直线上（互为反向延长线）， ∴∠G′EF=∠GEF=90°。 在 △GEF 和 △G′EF 中，EG=EG′，∠GEF=∠G′EF，EF=EF， ∴△GEF≌△G′EF（SAS），∴GF=G′F=5。 3. 如图，AD 是 △ABC 的中线，且 CD=AB，AE 是 △ABD 的中线。求证：AC=2AE。 证明：取 AC 的中点 M，连接 DM。 ∵D 是 BC 的中点，M 是 AC 的中点，∴DM∥AB，DM=½AB。 ∵CD=AB 且 D 是 BC 的中点，∴BD=CD=AB，∴△ABD 是等腰三角形，∴∠ADB=∠DAB。 ∵DM∥AB，∴∠ADM=∠DAB，∴∠ADM=∠ADB。 ∵AE 是 △ABD 的中线，∴E 是 BD 的中点，DE=½BD=½AB=DM。 又 ∠ADE=∠ADB=∠ADM，AD=AD， ∴△ADE≌△ADM（SAS），∴AE=AM。 ∵M 是 AC 的中点，∴AM=½AC，∴AC=2AE。 4. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，F 为 DE 的中点，连接 AF。求证：BC=2AF。 证明：延长 AF 至点 G，使 FG=AF，连接 DG、EG。 ∵F 为 DE 的中点，FG=AF，∴四边形 ADGE 是平行四边形， ∴DG∥AE，DG=AE。 ∵DG∥AE，∴∠ADG=180°−∠DAE。 ∵∠BAD=∠CAE=90°，且 ∠BAD、∠DAE、∠EAC 与 ∠CAB 组成周角， ∴∠BAC=360°−90°−90°−∠DAE=180°−∠DAE， ∴∠ADG=∠BAC。 ∵AD=AB，DG=AE=AC， ∴△ADG≌△BAC（SAS），∴AG=BC。 ∵AG=AF+FG=2AF，∴BC=2AF。 第6课时 中点的处理方法 一、知识梳理 类型 作平行 作垂直 作延长 方法 过点 B 作 BE∥AC， 再证 △BDE≌△CDA。 作 BE⊥AD，CF⊥AD， 再证 △BDE≌△CDF。 知 BF∥AC，延长 AD、FB 交于点 E，证 △ACD≌△EBD。 结论 BD=CD BD=CD BD=CD 二、典例精讲 题型1 作平行 【例1】如图，AB、CD 交于点 E，AD=BC，∠C+∠D=180°。求证：AE=BE。 证明：∵∠BCD+∠CDA=180°（即 ∠C+∠D=180°）， ∴AD∥BC。 又 AD=BC，∴四边形 ADBC 是平行四边形（一组对边平行且相等）。 ∴平行四边形 ADBC 的对角线 AB 与 DC 互相平分。 ∵E 是 AB 与 CD 的交点，即 E 是两条对角线的交点， ∴E 是 AB 的中点，∴AE=BE。 题型2 作垂直 【例2】如图，D 为 BC 上一点，F 为 AD 上一点，BF=AC，∠BFD=∠CAD。求证：BD=CD。 证明：作 BE⊥AD 于点 E，作 CF′⊥AD 于点 F′。 ∵点 F、D 都在直线 AD 上，∴∠BFD 是直线 BF 与直线 AD 所成的角； 又 ∠CAD 是直线 AC 与直线 AD 所成的角，且 ∠BFD=∠CAD， ∴直线 BF 与直线 AD 所成的角等于直线 AC 与直线 AD 所成的角。 在 Rt△BEF 和 Rt△ACF′ 中，∠BEF=∠CF′A=90°， ∠BFE=∠CAF′（都是与直线 AD 所成的角）， ∴△BEF∽△ACF′，∴==1，∴BE=CF′。 ∵点 B、C 分别在直线 AD 的两侧，且它们到直线 AD 的距离 BE=CF′， ∴线段 BC 的中点在直线 AD 上。 设 M 为 BC 的中点，则 M 在直线 AD 上，又 M 在直线 BC 上， 而 D 是直线 AD 与直线 BC 的交点，∴M 与 D 重合， ∴BD=CD。 题型3 作延长 【例3】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 为 AB 上一点，CE 平分 ∠BCD，且 DE 平分 ∠ADC。求证：E 为 AB 的中点。 证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°。 ∵DE 平分 ∠ADC，CE 平分 ∠BCD， ∴∠EDC=½∠ADC，∠ECD=½∠BCD， ∴∠EDC+∠ECD=½(∠ADC+∠BCD)=90°，∴∠DEC=90°，即 DE⊥CE。 延长 DE 交 CB 的延长线于点 F。 ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠F（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠ADE=∠EDC，∴∠F=∠EDC，∴CD=CF。 ∵CE⊥DE，即 CE⊥DF，且 CD=CF， ∴CE 是等腰 △CDF 底边 DF 上的高，也是中线，∴DE=EF。 在 △ADE 和 △BFE 中，∠AED=∠BEF（对顶角），∠ADE=∠F，DE=EF， ∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AE=BE，即 E 为 AB 的中点。 第7课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 条件 结论 ①OC 平分 ∠AOB；②PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。 得 PD=PE。 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。用它可以证线段相等，关键是「见到角平分线就作垂」，把角相等转化为距离相等。 题型1 作一垂 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为 BC 上一点，且 AE 平分 ∠BAD，DE 平分 ∠ADC。求证：BE=CE。 解：过点 E 作 EF⊥AD 于点 F。 ∵AE 平分 ∠BAD，∠B=90°（即 EB⊥AB），EF⊥AD，∴BE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵DE 平分 ∠ADC，∠C=90°（即 EC⊥DC），EF⊥AD，∴CE=EF。 ∴BE=CE。 题型2 作两垂 【例2】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，BD 平分 ∠ABC，AD=CD。求证：AD⊥CD。 解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F。 ∵BD 平分 ∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。 ∵AB⊥BC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE∥BC，DF∥AB，∴∠EDF=∠ABC=90°。 在 Rt△DEA 和 Rt△DFC 中，AD=CD，DE=DF，∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠EDA=∠FDC。 由图可知 ∠ADF=∠EDF−∠EDA=90°−∠EDA，∴∠ADC=∠ADF+∠FDC=(90°−∠EDA)+∠FDC=90°。 ∴AD⊥CD。 实战演练 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC=∠BDC=36°，∠ADB=72°。求证：AB=AC。 解：∵∠BAC=∠BDC=36°，且点 A、D 在直线 BC 的同侧，∴A、B、C、D 四点共圆（同旁取等角）。 ∴∠ACB=∠ADB=72°（同弧 AB 所对的圆周角相等）。 ∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=72°+36°=108°，∴∠ABC=180°−∠ADC=72°（圆内接四边形对角互补）。 ∴∠ABC=∠ACB=72°，∴AB=AC。 【模型提示】「同旁取等角」：若两点 A、D 在直线 BC 的同侧且 ∠BAC=∠BDC，则 A、B、C、D 四点共圆。这正对应第9讲板块八要讲的模型，本题先用一次。 第8课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 判定 旁心图 隐角平分线 图形 条件 PD⊥OA，PE⊥OB， PD=PE。 OP 平分 ∠AOB，AP 平分 ∠BAD， PD⊥OA，PE⊥OB，PF⊥AB。 OP 平分 ∠AOB， ∠OAP+∠BAP=180°。 结论 OC 平分 ∠AOB。 PB 平分 ∠ABE。 ①PA 平分 ∠BAD； ②PB 平分 ∠ABE。 角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此「证角平分」常常转化为「证两条垂线段相等」。旁心图（三角形一内角平分线与两外角平分线共点）在解题中常用来直接给出角平分线。 题型①　直接用判定 【例1】如图，在 △ABC 中，AC=BC，E 为 △ABC 外一点，且 ∠CAE=∠CBE。求证：CE 平分 △ABE 的外角。 证明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA。 ∵∠CAE=∠CBE，∴∠EAB=∠CAB−∠CAE=∠CBA−∠CBE=∠EBA，∴EA=EB。 过点 C 作 CP⊥AE 于点 P，CQ⊥BE 于点 Q。 在 △CPA 和 △CQB 中，∠CPA=∠CQB=90°，∠CAP=∠CBQ，AC=BC，∴△CPA≌△CQB（AAS），∴CP=CQ。 ∵点 C 在 ∠AEB 的外部，且 C 到 ∠AEB 两边的距离相等，∴CE 平分 ∠AEB 的外角（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 本题也可直接由 SSS：△AEC≌△BEC（AC=BC，EA=EB，CE=CE），∴∠AEC=∠BEC，同样得 CE 平分 ∠AEB 的外角。 题型②　旁心 【例2】如图，在 △ABC 中，AP 平分 ∠BAC，BP 平分 ∠CBD。 (1)求证：CP 平分 ∠BCE； (2)设 ∠BAC=α，则 ∠BPC=______（用含 α 的式子表示）。 解：(1)∵AP 平分 ∠BAC，∴点 P 到 AB、AC 的距离相等。 ∵BP 平分 ∠CBD，∴点 P 到 BC、BD 的距离相等，而 B、A、D 在同一条直线上（BD 是 AB 的延长线），∴点 P 到 BC、BA 的距离相等。 ∴点 P 到 BC、CA 的距离相等，∴点 P 在 ∠BCE 的平分线上，即 CP 平分 ∠BCE。 (2)∠BPC=90°−α。 理由：∵BD 是 AB 的延长线，∴∠CBD=180°−∠ABC，∴∠CBP=∠CBD=90°−∠ABC。 同理 ∠BCP=∠BCE=90°−∠ACB。 ∴∠BPC=180°−∠CBP−∠BCP=180°−(90°−∠ABC)−(90°−∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)=(180°−α)=90°−α。 题型③　隐角平分线 如图，在四边形 AEDC 中，∠EAC+∠EAD=180°，且 CE 平分 ∠ACD。若 ∠EAD=α，求 ∠DEC 的度数。 解：∵∠EAC=∠EAD+∠DAC，且 ∠EAC+∠EAD=180°，∴∠DAC=180°−2∠EAD=180°−2α。 过点 A 作 AH⊥AE，交 CE 于点 I（H 在 ∠DAC 的内部）。 ∵∠EAC=180°−∠EAD=180°−(90°−∠DAC)=90°+∠DAC，∴∠HAC=∠EAC−90°=∠DAC，即 AI 平分 ∠DAC。 又 CE 平分 ∠ACD，∴点 I 是 △ACD 的内心（两条内角平分线的交点）。 ∴∠AIC=90°+∠ADC。∵AE⊥AI，∴∠AIE=180°−∠AIC=90°−∠ADC。 在 Rt△AIE 中，∠AEI=90°−∠AIE=∠ADC，即 ∠AEC=∠ADC。 设 ∠ACD=x，则 ∠ADC=180°−∠DAC−x=180°−(180°−2α)−x=2α−x。 在 △AEC 中，∠ACE=x，∠AEC=∠ADC；在 △ADC 中由正弦定理得 =；在 △AEC 中得 =。 两式相除：=。 在 △AED 中，∠EAD=α=90°−∠DAC，∠AED=∠AEC+∠DEC=∠ADC+∠DEC，∠ADE=180°−α−∠AED。由正弦定理 =，代入化简得 sin(∠DEC++∠ADC)=sin(∠DEC+∠ADC)·。 把 ∠DEC=∠DAC 代入，两边恰好相等（左边=sin(90°+∠ADC)=cos∠ADC，右边=cos∠ADC）。又在 0°<∠DEC<∠AED 内左边关于 ∠DEC 单调递增，故解惟一。 ∴∠DEC=∠DAC=90°−α。 【结论速记】只要「∠EAC+∠EAD=180° 且 CE 平分 ∠ACD」，就有 ∠DEC=∠DAC=90°−α。 第9课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 类型 1　内心向三边作垂 类型 2　面积比与边长比 条件：I 是 △ABC 三条角平分线的交点。 方法：过点 I 分别向三边作垂线段。 结论：①ID=IE=IF； ②S△IBC+S△IAC+S△IAB=S△ABC； ③ID=2S△ABC÷(AB+BC+AC)。 条件：AD 是 △ABC 的角平分线。 方法：过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC。 结论：①DE=DF； ②S△ABD : S△ACD=AB : AC=BD : CD。 面积法的两条主线：①同一个三角形换底（等面积）——用一个面积的不同底高表示搭桥；②角平分线上的点到两边距离相等——把「距离相等」变成「高相等」，于是面积比就等于底边长之比。 题型①　面积法求线段长 【例1】如图，在 △ABC 中，∠C=90°，O 是 ∠CAB、∠ABC 平分线的交点，且 BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，求 S△AOB。 解：过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，OE⊥BC 于点 E，OF⊥AC 于点 F。 ∵O 是 ∠CAB、∠ABC 平分线的交点，∴OD=OE=OF。 S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OD+BC·OE+AC·OF=(AB+BC+AC)·OD。 又 S△ABC=×AC×BC=×6×8=24（cm2），∴(10+8+6)·OD=24，解得 OD=2cm。 ∴S△AOB=·AB·OD=×10×2=10（cm2）。 本题中 O 就是 Rt△ABC 的内心，其内切圆半径 r=(6+8−10)=2（cm），与上面的计算一致。 题型②　面积法证线段比 【例2】如图，AD 是 △ABC 的角平分线。求证：=。 证明：过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴DE=DF。 ∵S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，∴==。 …① 又 △ABD 与 △ACD 在 BC 边上同高（都等于点 A 到 BC 的距离），∴=。 …② 由 ①、② 得 =。 这就是「角平分线分对边所得两段之比等于两邻边之比」，用面积法证明只需两步（换高、换底），比作平行线证相似快得多。 题型③　构全等转化面积 【例3】如图，△ABC 的角平分线 BD、CE 交于点 P，∠A=60°，△ABC 的面积为 16，四边形 AEPD 的面积为 5，求 △BPC 的面积。 解：先证 BE+CD=BC。在 BC 上取点 M，使 BM=BE，连接 PM。 在 △BEP 和 △BMP 中，BE=BM，∠EBP=∠MBP，BP=BP，∴△BEP≌△BMP（SAS），∴∠BMP=∠BEP。 ∵∠BPC=90°+∠A=120°，∴∠EPD=∠BPC=120°（对顶角），∴∠EAD+∠EPD=60°+120°=180°，∴A、E、P、D 四点共圆。 ∴∠ADP=180°−∠AEP=∠BEP=∠BMP（圆内接四边形对角互补、邻补角），又 D 在 AC 上，∴∠CDP=∠ADP=∠BMP，∴∠CMP=180°−∠BMP=180°−∠CDP。 对 △CMP 与 △CDP 用正弦定理：=，=，两式相除得 =。 ∵∠BPM=∠BPE，∠BPC=120°=∠BPM+∠MPC，∠MPC+∠CPD=∠MPD，∴∠CPM=∠CPD，∴CM=CD，∴BC=BM+MC=BE+CD。 ∵P 到 AB、BC、CA 的距离都相等（设为 r），∴S△BEP=BE·r，S△CDP=CD·r，S△BPC=BC·r，∴==1，即 S△BEP+S△CDP=S△BPC。 而 S△ABC=S四边形AEPD+S△BEP+S△CDP+S△BPC=5+2S△BPC=16，∴S△BPC===5.5。 本题的关键是先把「面积关系」变成「线段关系」BE+CD=BC。注意结论 S四边形AEPD+2S△BPC=S△ABC 只在 ∠A=60° 时成立。 实战演练 1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90°，I 为 △ABC 各内角平分线的交点，过点 I 作 AC 的垂线，垂足为 H。若 BC=3，AB=4，AC=5，求 IH 的长。 解：过点 I 分别作 ID⊥AB 于点 D，IE⊥BC 于点 E。 ∵I 是 △ABC 各内角平分线的交点，∴ID=IE=IH（设为 r）。 S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC=AB·r+BC·r+AC·r=(3+4+5)r=6r。 又 S△ABC=×3×4=6，∴6r=6，r=1，即 IH=1。 2. 如图，在 △ABC 中，S△ABC=21，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，E 为 AD 的中点，连接 BE，F 为 BE 上一点，且 BF=2EF。若 S△DEF=2，求 的值。 解：∵BF=2EF，∴EF=BE，∴S△DEF=S△BDE。 ∵E 为 AD 的中点，∴DE=AD，∴S△BDE=S△ABD。 ∴S△DEF=×S△ABD=S△ABD=2，∴S△ABD=12，S△ACD=21−12=9。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴由面积法 =，∴==。 3. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，∠BAC=90°，AD 平分 ∠BAC。求 DC 的长。 解：∵AD 平分 ∠BAC，∴==，∴DC=BC=×5=。 4. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 是 △ABC 的角平分线，若 BD=8，求 △BDC 的面积。 解：设 AB=AC=a。∵∠A=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°。 ∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD=×45°=22.5°。在 Rt△ABD 中，BD=，∴a=8cos 22.5°。 由 cos222.5°==，得 a2=64×=32+16√2。 又 ∠ABD=∠DBC，由角平分线定理 ===，∴DC=a=(2−√2)a。 S△BDC=·DC·AB=(2−√2)a2=(2−√2)(32+16√2)=16。 第10课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 类型 梯形图 互补图 内心图 图形 「作垂构对称型全等」的要点：遇角平分线就向两边作垂，得到两条相等的垂线段；若题目还给了「对角互补」（或同角的补角相等），就能用 AAS 把两个直角三角形全等起来，从而得到线段相等。梯形的内错角、平行线带来的等角也常用来「换角」。 题型①　对角互补遇角平分线 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC+∠D=180°，AC 平分 ∠BAD。求证：CB=CD。 证明：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F。 ∵AC 平分 ∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF。 ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CBE=∠ADC，即 ∠CBE=∠CDF。 在 △CBE 和 △CDF 中，∠CEB=∠CFD=90°，∠CBE=∠CDF，CE=CF，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴CB=CD。 本题也可这样看：∠ABC+∠ADC=180° 说明 A、B、C、D 四点共圆，而 AC 平分 ∠BAD 得「弧 BC = 弧 CD」，故 BC=CD。 题型②　内心作垂构对称型全等 【例2】如图，在 △ABC 中，AB>AC，AK、BK、CK 分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB，KD⊥BC 于点 D。求证：AB−AC=BD−CD。 证明：设 BC=a，CA=b，AB=c。∵AK、BK、CK 分别是三个内角的平分线，∴K 是 △ABC 的内心，KD 就是内切圆的半径，D 正是内切圆与 BC 的切点。 设内切圆分别与 CA、AB 相切于点 E、F，则 BE=BD，CF=CD，AF=AE。 由切线长相等：BD=BF=AB−AF=c−AE，CD=CE=AC−AE=b−AE。 ∴BD−CD=(c−AE)−(b−AE)=c−b=AB−AC。 即 AB−AC=BD−CD。 也可直接记公式：BD=(a+c−b)，CD=(a+b−c)，两式相减即得 c−b。 题型③　直角梯形遇角平分线 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90°，E 为 AB 上一点，ED 平分 ∠ADC，EC 平分 ∠BCD。 (1)求证：DE⊥CE；(2)求证：AE=BE；(3)求证：AD+BC=CD；(4)若 AB=12，CD=13，求 S△CDE。 解：(1)∵∠A=∠B=90°，∴AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°。 ∵ED 平分 ∠ADC，EC 平分 ∠BCD，∴∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD，∴∠EDC+∠ECD=×180°=90°，∴∠DEC=90°，即 DE⊥CE。 (2)过点 E 作 EF⊥CD 于点 F。 ∵ED 平分 ∠ADC，∠A=90°（即 EA⊥AD），EF⊥CD，∴EA=EF。 同理，∵EC 平分 ∠BCD，∠B=90°（即 EB⊥BC），EF⊥CD，∴EB=EF。∴AE=BE。 (3)由(2)知 EA=EF=EB。 在 Rt△EDA 和 Rt△EDF 中，ED=ED，EA=EF，∴Rt△EDA≌Rt△EDF（HL），∴AD=DF。 同理 Rt△ECB≌Rt△ECF（HL），∴CB=CF。 ∴AD+BC=DF+CF=CD。 (4)由(2)知 EF=EA=EB=AB=×12=6，即 △CDE 中 CD 边上的高为 6。 ∴S△CDE=·CD·EF=×13×6=39。 第11课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 典型图形 梯形双角平分 60°的三角形双角平分 图形 条件 AB∥CD，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠BCD O 是两角平分线的交点 方法 截取 BF=AB 延长 BA、CE 交于点 G 截取 BF=BE 结论 △BAE≌△BFE； △CDE≌△CFE △BEC≌△BEG； △DEC≌△AEG △BOE≌△BOF； △COD≌△COF 「截长补短」构对称型全等的思路：角平分线是角的对称轴，在角的一边上「截」出与另一边相等的线段（或在另一边上「补」出一段），就能翻折出全等三角形，把分散的线段「接」到一起比较。梯形的内错角、60° 三角形的「∠BOC=120°」都是配套使用的条件。 题型①　单角平分 【例】如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠DAB，BC=CD。求证：∠ADC+∠B=180°。（原书另附一张备用图） 证明：在 AB 上截取 AE=AD，连接 CE。 在 △ADC 和 △AEC 中，AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴CD=CE，∠ADC=∠AEC。 ∵BC=CD，∴BC=CE，∴∠B=∠CEB。 ∵A、E、B 三点共线，∴∠AEC+∠CEB=180°，∴∠ADC+∠B=180°。 题型②　梯形双角平分 1. 如图，在四边形 ABDC 中，AB∥CD，AB+CD=AC，E 是 BD 上一点，且 BE=DE。求证：CE 平分 ∠ACD。 证明：延长 CE 交 BA 的延长线于点 F。 ∵AB∥CD，∴∠FBE=∠CDE。在 △FBE 和 △CDE 中，∠FBE=∠CDE，BE=DE，∠FEB=∠CED（对顶角），∴△FBE≌△CDE（ASA），∴BF=CD，EF=EC。 ∴AF=AB+BF=AB+CD=AC，∴△AFC 是等腰三角形，∴∠ACF=∠CFA。 ∵AB∥CD，FC 为截线，∴∠ECD=∠CFA（内错角）。 又 E 在 CF 上，∴∠ACE=∠ACF=∠CFA=∠ECD，即 CE 平分 ∠ACD。 题型③　60°的三角形双角平分 2. 如图，在 △ABC 中，∠A=60°，△ABC 的角平分线 BD，CE 相交于点 O。 (1)求 ∠BOE 的度数； (2)若 BC=7，BE=4，求 CD 的长。 解：(1)∵BD、CE 分别平分 ∠ABC、∠ACB，∴∠BOC=90°+∠A=90°+30°=120°。 ∵∠BOE+∠BOC=180°（O、E、C 共线），∴∠BOE=180°−120°=60°。 (2)在 BC 上截取 BF=BE，连接 OF。 在 △BOE 和 △BOF 中，BE=BF，∠EBO=∠FBO，BO=BO，∴△BOE≌△BOF（SAS），∴∠BOF=∠BOE=60°。 ∵∠BOC=120°，∴∠COF=∠BOC−∠BOF=120°−60°=60°。又 ∠COD=∠BOE=60°（对顶角），∴∠COF=∠COD。 ∵CO 平分 ∠ACB，∴∠OCF=∠OCD。在 △COF 和 △COD 中，∠COF=∠COD，CO=CO，∠OCF=∠OCD，∴△COF≌△COD（ASA），∴CD=CF。 ∴BC=BF+FC=BE+CD，即 CD=BC−BE=7−4=3。 结论 BC=BE+CD 就是板块三例3 中用过的那个引理，在 ∠A=60° 的三角形双角平分模型中可以直接用。 第12课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 典型图形 延长得对称全等 延长得双全等 图形 条件 BD 平分 ∠ABC，BD⊥CD。 ∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC， BD 平分 ∠ABC。 ∠ADC=∠BCD=90°， BE 平分 ∠ABC，BE⊥AE。 方法 延长 CD 交 AB 于点 E 延长 AD、BC 交于点 E 延长 AE、BC 交于点 F 结论 △BDC≌△BDE； S△ADC=S△ADE △ADB≌△EDB； BF=2AD；S△BAF=AD2 △BEA≌△BEF； S△BAE=AB·CD 「角平分线 + 垂线」是配对出现的：角平分线是角两边的对称轴，若还有一条线段垂直于它，把这条线段延长（或把另一边延长）就能翻折出全等三角形。常见的三种结局：①得到对称全等，从而两条斜线段相等、两个三角形面积相等；②延长出两个全等三角形，出现「一半」或「二倍」关系；③用面积公式 S=AB·CD 这类漂亮结论收尾。 题型①　延长构对称全等 【例1】如图，在 △ABC 中，AB<BC，BP 平分 ∠ABC，AP⊥BP 于点 P。 (1)若 ∠ACB=48°，∠PAC=22°，求 ∠BAP 的度数； (2)连接 PC，若 △ABC 的面积为 4，求 △BPC 的面积。 解：(1)延长 AP 交 BC 于点 D。 ∵BP 平分 ∠ABC，∴∠ABP=∠DBP。∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90°。在 △ABP 和 △DBP 中，∠ABP=∠DBP，BP=BP，∠APB=∠DPB，∴△ABP≌△DBP（ASA），∴AB=BD，∠BAP=∠BDP。 ∵A、P、D 三点共线，∴∠DAC=∠PAC=22°。 在 △ADC 中，∠ADC=180°−∠ACD−∠DAC=180°−48°−22°=110°。 ∵D 在 BC 上，∴∠BDP=180°−∠ADC=70°，∴∠BAP=70°。 (2)∵△ABP≌△DBP，∴AP=DP，即 P 是 AD 的中点。 ∴S△APC=S△ADC，S△ABP=S△ABD，∴S△APC+S△ABP=(S△ADC+S△ABD)=S△ABC=2。 ∴S△BPC=S△ABC−(S△ABP+S△APC)=4−2=2。 题型②　延长构对称型、旋转型全等 【例2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，D 为边 AB 上一点，DE⊥AE 于点 E，AC 与 DE 交于点 F，∠ADE=22.5°。求证：S△ADF=DF2。 证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=45°。 ∵A、D、B 三点共线，F 在 AC 上，∴∠DAF=∠BAC=45°，∠ADF=∠ADE=22.5°。 ∴∠AFD=180°−45°−22.5°=112.5°。 在 △ADF 中，由正弦定理 =，∴AD=DF·=DF·。 S△ADF=AD·DF·sin∠ADF=DF2·。 ∵sin 67.5°=cos 22.5°，且 sin 22.5°·cos 22.5°=sin 45°，∴S△ADF=DF2·=DF2。 实战演练 如图，AB∥CD，CM 平分 ∠BCD，M 在 AD 上，BM⊥CM。 (1)求证：AM=DM；(2)试探究 BC、CD、AB 之间的数量关系。 解：(1)延长 BM 交 CD 于点 E。 ∵CM 平分 ∠BCD，且 E 在 CD 上，∴∠BCM=∠MCE。∵BM⊥CM，M 在 BE 上，∴CM⊥BE。 ∴在 △BCE 中，CM 既是 ∠BCE 的平分线又是 BE 边上的高，∴△BCE 是等腰三角形（BC=CE），且 M 是 BE 的中点，即 BM=EM。 ∵AB∥CD（即 AB∥DE），BE 是截线，∴∠ABM=∠DEB（内错角）。∵M 在 BE 上，∴∠DEB=∠DEM，∴∠ABM=∠DEM。 又 ∠AMB=∠DME（对顶角），BM=EM，∴△ABM≌△DEM（ASA），∴AB=DE，AM=DM。 (2)由(1)得 CD=CE+ED=BC+AB，即 BC=CD−AB。 注意 (1) 中其实同时得到两个结论：M 既是 AD 的中点又是 BE 的中点，所以 △ABM 与 △DEM 关于点 M 成中心对称。 第13课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 模型 模型1　作垂 模型2　截长 模型3　补短 图形 条件 ∠1=∠2， ∠BAD+∠BCD=180° ∠1=∠2， DA=DC ∠BAD+∠BCD=180°， DA=DC 方法 作 DE⊥BC，DF⊥AB 截取 BE=AB 延长 BC 至 E，使 CE=AB 结论 △DAF≌△DCE； △DBF≌△DBE △BDA≌△BDE； ∠BAD+∠BCD=180° △BAD≌△ECD； BD 平分∠ABC 四边形中「一组对角互补」+「一条对角线平分一个角」，本质是「角平分线 + 对角互补」型。三条思路都是把这条对角线（或它所在的角）补成对称图形：①向两边作垂线，由角平分线得两条垂线段相等，再证一次全等；②在一条邻边上截取与另一条邻边相等的线段；③把一条邻边延长，使补出的线段等于另一条邻边。做出来的核心结论是「AD=CD」和「∠BAD+∠BCD=180°」，由此还能推出 BD 平分 ∠ABC、面积公式 S=BD2 等。 题型①　对角「90°+90°」型 【例1】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，BD 平分 ∠ABC。 (1)求证：AD=CD； (2)求证：S\r{四边形}ABCD=BD2。 证明：(1)作 DF⊥AB 于点 F，作 DE⊥BC 于点 E。 ∵BD 平分 ∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE（角平分线上的点到角两边距离相等）。 ∵∠ABC=∠ADC=90°，由四边形内角和得 ∠DAB+∠DCB=180°。 ∵A、F、B 共线，E 在 BC 上，∴∠DAF=∠DAB，∠DCE=180°−∠DCB=∠DAB，∴∠DAF=∠DCE。 在 △DAF 和 △DCE 中，∠DFA=∠DEC=90°，∠DAF=∠DCE，DF=DE，∴△DAF≌△DCE（AAS），∴AD=CD。 (2)由(1)得 AF=CE；又在 Rt△DBF 和 Rt△DBE 中，DF=DE，DB=DB，∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL），∴BF=BE。 ∵BD 平分 ∠ABC=90°，∴∠DBE=45°，∴BE=BD·cos 45°=BD。 AB+BC=(BF−AF)+(BE+CE)=2BE=√2 BD。 ∴S\r{四边形}ABCD=S△ABD+S△CBD=BD·AB·sin∠ABD+BD·BC·sin∠CBD =BD·sin 45°·(AB+BC)=BD··√2 BD=BD2。 题型②　对角「α°+(180°−α°)」型 【例2】如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠BAD，CB=CD，CF⊥AD 于点 F。 (1)求证：∠ABC+∠ADC=180°； (2)求证：∠ACF=∠BCD； (3)若 AF=6，求 AB+AD 的长； (4)若 DF=2，求 AD−AB 的长； (5)若 AF−AB=2，求 DF 的长； (6)若 S\r{四边形}ABCD=20，求 AF·CF 的值； (7)若 S△ACD−S△ABC=4，求 S△CFD。 解：作 CE⊥AB 于点 E（E 在 BA 的延长线上）。 ∵AC 平分 ∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF=CE。 在 Rt△CFD 和 Rt△CEB 中，CD=CB，CF=CE，∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），∴DF=BE，∠CDF=∠CBE。 (1)∵A、E、B 三点共线，∴∠ABC=180°−∠CBE=180°−∠CDF。又 F 在 AD 上，∴∠CDF=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=180°。 (2)在 Rt△ACF 和 Rt△ACE 中，AC=AC，CF=CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF=AE，∠ACF=∠ACE。 ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠BCE=∠DCF（全等三角形对应角），且 ∠ACD=∠ACF+∠DCF， ∴∠ACF=∠ACB+∠DCF=∠ACB+(∠ACD−∠ACB)=(∠ACB+∠ACD)=∠BCD。 (3)由(1)(2)的证明可得 AF=AE，DF=BE，且 AD=AF+DF，AB=AE−BE=AF−DF。 ∴AB+AD=(AF−DF)+(AF+DF)=2AF=2×6=12。 (4)∵AD−AB=(AF+DF)−(AF−DF)=2DF=2×2=4。 (5)∵AF−AB=AF−(AF−DF)=DF，∴DF=AF−AB=2。 (6)S\r{四边形}ABCD=S△ACD+S△ABC=AD·CF+AB·CE=CF·(AD+AB)=CF·2AF=AF·CF。 ∴AF·CF=S\r{四边形}ABCD=20。 (7)S△ACD−S△ABC=AD·CF−AB·CF=CF·(AD−AB)=CF·2DF=CF·DF=4。 ∴S△CFD=DF·CF=×4=2。 例2 的两条核心等量关系是 AF=AE、DF=BE，于是 AD+AB=2AF、AD−AB=2DF；面积上则有 S\r{四边形}ABCD=AF·CF、S△ACD−S△ABC=CF·DF。这一组式子把「线段的和差」与「面积的和差」直接挂上了钩。 实战演练 1. 如图，∠BAC=90°，BD=CD，∠BDC=90°。 (1)求证：AD 平分 ∠BAC； (2)若 AB=5，AC=9，求 S△ABD 的值。 解：(1)∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴A、B、D、C 四点共圆（且 BC 为直径）。 ∵BD=CD，∠BDC=90°，∴△BDC 是等腰直角三角形，∠DBC=∠BCD=45°。 ∵∠BAD 与 ∠BCD 都对着弧 BD，∴∠BAD=∠BCD=45°，∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−45°=45°=∠BAD，即 AD 平分 ∠BAC。 (2)∵∠BAD=45°，S△ABD=AB·AD·sin∠BAD。 又由△BDC 是等腰直角三角形得 BD=；在 Rt△ABC 中，BC=√AB2+AC2=√52+92=√106。 在 △ABD 中，∠ABD=∠ABC+∠CBD。∵sin∠ABC==，cos∠ABC==， ∴sin∠ABD=sin(∠ABC+45°)=·+·=·=。 由正弦定理得 AD=BD·=√53··√2=√53·=7√2。 ∴S△ABD=×5×7√2×=。 也可用「四点共圆 + 角平分线」先定出 AD 的方向：以 B 为原点、BD 为 x 轴建系，可算得 A(0,0)、B(5,0)、C(0,9) 时 D(7,7)，于是 AD=7√2、S△ABD=×5×7=17.5，与上式一致。 2. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DG⊥BC 于点 G，且 BG=CG，DE⊥AB 于点 E。 (1)求证：AB−AC=2BE； (2)若 AE=8，求 AB+AC 的值。 证明：(1)在 AB 上截取 AF=AC，连接 DF。 在 △ADF 和 △ADC 中，AF=AC，∠FAD=∠CAD，AD=AD，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴DF=DC，∠AFD=∠ACD。 ∵BG=CG，DG⊥BC，∴DG 是 BC 的垂直平分线，∴DB=DC。又 DF=DC，∴DB=DF。 ∵DE⊥AB，即 DE⊥FB，且 DB=DF，∴E 是 BF 的中点（等腰三角形底边上的高平分底边），∴BE=EF=BF。 ∵F 在 AB 上，AF=AC，∴BF=AB−AF=AB−AC，∴AB−AC=2BE。 (2)∵AB=AE+EB，AC=AF=AE−EF=AE−EB， ∴AB+AC=(AE+EB)+(AE−EB)=2AE=2×8=16。 本题的关键是「角平分线 + 中垂线」的组合：AD 平分 ∠BAD 用来截取 AF=AC 造全等，DG 为 BC 中垂线用来得到 DB=DC，两条线索合流于 DB=DF，再由等腰三角形「三线合一」把 BF 二等分。 第14课时 角平分线的处理方法 一、方法技巧 模型 作垂 截长 补短 图形 条件 ∠BAC=∠BDC， AD 平分∠GAC ∠BAC=∠BDC， BD=CD ∠BAC=∠BDC， BD=CD 方法 作 DE⊥AB，DF⊥AC 截取 CF=BA 延长 BA 使 BF=CA 结论 △BDE≌△CDF； △ADE≌△ADF △BDA≌△CDF； AD 平分∠EAC △BDF≌△CDA； AD 平分∠FAC 「同旁张等角」指的是：∠BAC 与 ∠BDC 相等，且两条角的两边（AB、AC 与 DB、DC）在 BC 的同侧「张开」。此时若再补上一条角平分线（或一对相等的邻边），就能造出对称型全等。三条路：①作垂（作垂线利用角平分线得等距）；②截长（在角的一边上截出与另一条邻边等长的线段）；③补短（把一条邻边延长到与另一条邻边相等）。无论走哪条路，最终都会得到「一对全等三角形 + 一条新的角平分线」。 题型①　同旁张双直角 【例1】如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，CD⊥BD 于点 D，AF⊥BD 于点 F，连接 AD。 (1)求证：∠ADB=45°； (2)求证：BF−DF=CD； (3)求证：BD−CD=2AF。 证明：(1)∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°。 ∵∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴A、B、C、D 四点共圆（BC 为直径）。 ∵∠ADB 与 ∠ACB 都对着弧 AB，且 D、C 在 AB 的同侧，∴∠ADB=∠ACB=45°。 (2)∵AF⊥BD，∠ADF=∠ADB=45°，∴△AFD 是等腰直角三角形，AF=FD。 在 BD 上取点 E，使 FE=FD（E 在 F 与 B 之间）。∵AF⊥BD 且 F 为 ED 的中点，∴AE=AD，且 ∠EAD=∠EAF+∠FAD=45°+45°=90°。 ∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD−∠BAD=90°−∠BAD=∠BAC−∠BAD=∠DAC。 在 △EAB 和 △DAC 中，AE=AD，∠EAB=∠DAC，AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴BE=CD。 ∵BE=BF−FE=BF−FD，∴BF−DF=CD。 (3)由(2)知 BE=CD，而 B、E、F、D 依次共线， ∴BD−CD=BD−BE=ED=2FD=2AF。 例1 的破题点是 ∠ADB=45°：由「张在同一边上的两个直角」得到四点共圆，再由 AB=AC 得到的 45° 角，于是 △AFD 成了等腰直角三角形，AF=FD 这一条就把三条结论串在了一起。 题型②　同旁张双等角 【例2】如图，AP 是 △ABC 的外角平分线，PM⊥BA，交 BA 的延长线于点 M，且 ∠BPC=∠BAC。 (1)求证：PB=PC； (2)求证：AC−AB=2AM； (3)若 BM=3，求 AB+AC 的值。 证明：(1)∵∠BPC=∠BAC，∴A、B、P、C 四点共圆（同弦 BC 所对的圆周角相等）。 ∵AP 是 △ABC 的外角平分线，且 B、A、M 三点共线（A 在 B、M 之间），∴∠PAM=∠PAC，而 ∠PAB=180°−∠PAM=180°−∠PAC，∴sin∠PAB=sin∠PAC。 在 △ABP 的外接圆中 PB=2R sin∠PAB，PC=2R sin∠PAC，∴PB=PC。 (2)作 PN⊥AC 于点 N。∵AP 平分外角 ∠MAC，PM⊥AM，PN⊥AN，∴PM=PN。 在 Rt△APM 和 Rt△APN 中，AP=AP，PM=PN，∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），∴AM=AN。 在 Rt△PMB 和 Rt△PNC 中，PB=PC，PM=PN，∴Rt△PMB≌Rt△PNC（HL），∴BM=CN。 ∵N 在 AC 上，∴AC=AN+NC=AM+BM；又 A 在 B、M 之间，∴AB=BM−AM。 ∴AC−AB=(AM+BM)−(BM−AM)=2AM。 (3)由(2)得 AC=AM+BM，AB=BM−AM， ∴AB+AC=(BM−AM)+(AM+BM)=2BM=2×3=6。 例2 是「同旁张等角 + 外角平分线」的经典组合：先由四点共圆把 PB=PC 证出来，再用两次 HL 全等把 AM、BM 分别「搬运」到 AC、AB 上去。 实战演练 如图，∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=45°。 (1)求证：AD=CD； (2)求证：S△BDC−S△ABD=BD2。 证明：(1)∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、B、C、D 四点共圆（AC 为直径）。 ∵∠DAC 与 ∠DBC 都对着弧 DC，且 ∠DBC=45°，∴∠DAC=45°。 在 Rt△ADC 中，∠D=90°，∠DAC=45°，∴∠ACD=45°=∠DAC，∴AD=CD。 (2)∵∠ABC=90°，∠DBC=45°，且 BD 在 ∠ABC 的外部，∴∠ABD=90°+45°=135°。 S△BDC=BD·BC·sin∠DBC=BD·BC·sin 45°， S△ABD=BD·AB·sin∠ABD=BD·AB·sin 45°。 设 ∠BAC=∠BDC=θ（同弧 BC），在 △BDC 中由正弦定理，BC=BD·sin θ/sin∠BCD；结合 △ABC 中 BC 为直径可算得 BC−AB=√2 BD，（也可直接建系：令 B(0,0)、C(c,0)、A(0,−a)、D(,)，由 ∠ADC=90° 解得 c−a=√2 d）。 ∴S△BDC−S△ABD=BD·sin 45°·(BC−AB)=BD··√2 BD=BD2。 注意本例与板块七例1 的区别：板块七例1 中 BD 在 ∠ABC 的内部（∠ABD=∠DBC=45°），结论是面积「和」为 BD2；本例中 BD 在 ∠ABC 的外部（∠ABD=135°），结论相应变成面积「差」。两者可以互相检验。 第15课时 一线三等角模型 一、方法技巧 模型 模型1　同侧一线三垂直 模型2　异侧一线三垂直 模型3　三垂直 图形 「一线三等角」：一条直线上有三个相等的角（顶点都在这条直线上），只要再配上一对相等的对应边，就能得到一对全等三角形，把分散的线段「搬」到同一条线的两侧去比较。当这三个相等的角都是直角时，就叫「一线三垂直」。 模型1（同侧）：B，C，D 在同一条直线上，A、E 在直线的同侧，∠ABC=∠CDE=90°，AC⊥CE 且 AC=CE，则 △ABC≌△CDE，得 BC=DE，AB=CD。 模型2（异侧）：B，C，D 在同一条直线上，A、E 在直线的异侧，∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE，则 △ABC≌△CDE，得 AB=CD，BC=DE。 模型3（三垂直）：等腰直角三角形中，过一个顶点作另一腰（或某条线段）的垂线，再补出一条垂线即得第三个直角，仍用「一线三垂直」证全等（见题型③）。 题型①　构造同侧一线三垂直 【例1】如图，AB⊥BC，且 AC⊥CE，AC=CE，连接 BE。若 BC=6，求 △BCE 的面积。 解：过点 E 作 EM⊥BC，交 BC 的延长线于点 M，则 ∠M=90°=∠ABC。 ∵B、C、M 三点在同一条直线上，∴∠BCM=180°。∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°。∵A、E 在直线 BC 的同侧，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠ACB+90°，∴∠ECM=∠BCM−∠BCE=180°−(∠ACB+90°)=90°−∠ACB。 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°−∠ACB，∴∠ECM=∠BAC。 在 △ABC 和 △CME 中，∠ABC=∠CME=90°，∠BAC=∠MCE，AC=CE，∴△ABC≌△CME（AAS），∴ME=BC=6。 ∴S△BCE=·BC·ME=×6×6=18。 把点 E 到直线 BC 的「高」用全等换成 BC，是本题的关键：结论 S△BCE=BC2 与 AB 的长无关。 题型②　构造异侧一线三垂直 【例2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=90°。若 △BCD 的面积为 8，求 CD 的长。 解：过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，则 ∠CEB=90°=∠ADC（A、B 在直线 CD 的异侧）。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°。在 Rt△BCE 中，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CBE。 在 △ADC 和 △CEB 中，∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE。 ∵BE⊥CD，∴BE 就是 △BCD 中 CD 边上的高，∴S△BCD=·CD·BE=CD2=8，∴CD2=16，CD=4。 异侧模型的作用：把「点 B 到直线 CD 的距离」换成 CD，于是 S△BCD=CD2，与 AC、BC 的长无关。 题型③　构造三垂直 【例3】如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为 AC 的中点，AF⊥BD 于点 F，交 BC 于点 E，连接 DE。求证：∠ADB=∠CDE。 证明：过点 C 作 CG⊥AC，交 AE 的延长线于点 G。 ∵AF⊥BD，∴∠AFD=90°，∴在 Rt△ADF 中，∠ADB+∠DAF=90°。∵∠BAC=90°，且 D、G 分别在 AC、AE 上，∴∠DAF=∠CAG（射线 AD 即 AC，射线 AF 即 AG），∴∠ADB+∠CAG=90°。 在 Rt△ABD 中，∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABD=∠CAG。 在 △ABD 和 △CAG 中，∠BAD=∠ACG=90°（CG⊥AC），∠ABD=∠CAG，AB=CA，∴△ABD≌△CAG（AAS），∴AD=CG，∠ADB=∠CGA。 ∵D 为 AC 的中点，∴CD=AD=CG。∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°。∵CG⊥AC，E 在 BC 上，且 G 与 B 在 AC 的同侧，∴∠GCE=∠GCB=90°−∠ACB=45°=∠DCE。 在 △CDE 和 △CGE 中，CD=CG，∠DCE=∠GCE=45°，CE=CE，∴△CDE≌△CGE（SAS），∴∠CDE=∠CGE=∠ADB，即 ∠ADB=∠CDE。 「三垂直」的含义：∠BAD=90°、∠ACG=90°、∠AFD=90° 三个直角恰好构成一组「一线三等角」，于是 △ABD≌△CAG 把 AD 「搬」成 CG，而 AD=CD，正好凑出 △CDE≌△CGE。 实战演练 1. 如图，AE⊥AB，且 AE=AB，BC⊥CD，且 BC=CD，EF⊥AC 于点 F，BG⊥AC 于点 G，DH⊥AC 于点 H。请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是 ______。 解：S=50。 ∵EF⊥AC，BG⊥AC，AE⊥AB，AE=AB，∴∠EFA=∠AGB=90°，∠EAB=90°。∵F、A、G 三点共线，且 E、B 在直线 AC 的同侧，∴∠EAF+∠GAB=∠EAB=90°。在 Rt△AGB 中，∠ABG+∠GAB=90°，∴∠EAF=∠ABG。 在 △EFA 和 △AGB 中，∠EFA=∠AGB=90°，∠EAF=∠ABG，AE=BA，∴△EFA≌△AGB（AAS），∴EF=AG=6，FA=BG=3。 同理，∵BG⊥AC，DH⊥AC，BC⊥CD，BC=CD，∴∠BGC=∠CHD=90°，∠BCG=∠CDH（同角的余角相等），∴△BGC≌△CHD（AAS），∴BG=CH=3，GC=DH=4。 ∴FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16。梯形 EFHD 的面积=(EF+DH)·FH=(6+4)×16=80。 图中实线所围成的图形是五边形 EABCD（边为 EA、AB、BC、CD、DE），它恰好是梯形 EFHD 挖去四个直角三角形：S=80−S△EFA−S△AGB−S△BGC−S△CHD=80−×3×6−×6×3−×4×3−×3×4=80−9−9−6−6=50。 本题的实质：用「同侧一线三垂直」把三段竖直虚线的长依次「搬」到直线上（EF=AG，BG=FA=CH，DH=GC），再把不规则五边形放进梯形里做减法。 2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠C=90°，BC=7，AD=4，过点 A 作 AE⊥AB，且 AE=AB，连接 DE。求 △ADE 的面积。 解：过点 E 作 EF⊥AD，交 DA 的延长线于点 F；过点 B 作 BG⊥AD，交 DA 的延长线于点 G。 ∵∠ADC=∠C=90°，∴AD∥BC，且 BG⊥AD、DC⊥AD，∴四边形 BCGD 是矩形，∴DG=BC=7，∴AG=DG−AD=7−4=3。 ∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，∴∠EFA=∠AGB=90°，∠EAB=90°。∵F、A、G 三点共线，且 E、B 在直线 AD 的异侧，∴∠EAF+∠GAB=180°−∠EAB=90°。在 Rt△AGB 中，∠GBA+∠GAB=90°，∴∠EAF=∠GBA。 在 △EFA 和 △AGB 中，∠EFA=∠AGB=90°，∠EAF=∠GBA，AE=AB，∴△EFA≌△AGB（AAS），∴EF=AG=3。 ∵EF⊥AD，∴EF 就是 △ADE 中 AD 边上的高，∴S△ADE=·AD·EF=×4×3=6。 这里 A 是三个直角的公共顶点所在位置，E 与 B 分居直线 AD 两侧，属「异侧一线三垂直」；关键是先由矩形 BCDG 求出 AG=BC−AD=3。 3. 在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，分别过 A，B 两点作 AF⊥CD 于点 F，BE⊥CD 于点 E。若 AF=5，BE=2，则 EF 的长为 ______。 解：EF=3。 ∵AF⊥CD，BE⊥CD，∴∠AFC=∠CEB=90°。∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCE=180°−90°=90°。在 Rt△CBE 中，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACF=∠CBE。 在 △AFC 和 △CEB 中，∠AFC=∠CEB=90°，∠ACF=∠CBE，AC=CB，∴△AFC≌△CEB（AAS），∴CE=AF=5，CF=BE=2。 ∵A、B 在直线 CD 的异侧（直线 CD 经过 ∠ACB 的内部），∴E、F 在点 C 的同侧，∴EF=CE−CF=5−2=3。 注意：若直线 CD 在 ∠ACB 的外部（此时 A、B 在直线 CD 的同侧），则 E、F 在点 C 的异侧，EF=CE+CF=AF+BE=7。本题按 A、B 在直线 CD 异侧取 EF=3。 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，E 为 BC 上一点，连接 AE，作 AF⊥AE，且 AF=AE，BF 交 AC 于点 D。 (1)求证：D 为 BF 的中点；(2)求证：BE=2CD。 证明：(1)过点 F 作 FG⊥AC 于点 G。 ∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAG+∠EAC=90°。∵∠ACE=90°，∴在 Rt△AEC 中，∠AEC+∠EAC=90°，∴∠FAG=∠AEC。 在 △FAG 和 △AEC 中，∠AGF=∠ACE=90°，∠FAG=∠AEC，AF=EA，∴△FAG≌△AEC（AAS），∴FG=AC，AG=CE。∵AC=BC，∴FG=BC。 ∵FG⊥AC，AC⊥BC，∴∠FGD=∠BCD=90°。又 ∠FDG=∠BDC（对顶角相等），FG=BC，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴FD=BD，即 D 为 BF 的中点。 (2)由(1)知 △FGD≌△BCD，∴GD=CD；又由 △FAG≌△AEC 得 AG=CE。 ∵F 在直线 AC 的上方，E 在 BC 上，∴G 落在线段 AD 上，∴AD=AG+GD=CE+CD，∴AC=AD+CD=CE+2CD。 ∵AC=BC=CE+BE，∴CE+BE=CE+2CD，∴BE=2CD。 (1)也可以用坐标法验证：设 C(0,0)，A(0,a)，B(a,0)，E(e,0)（0<e<a），由 AF⊥AE、AF=AE 得 F(−a,a−e)，直线 BF 与 AC 的交点恰为 BF 的中点，且 CD=，BE=a−e，故 BE=2CD。 第16课时 一线三等角模型 一、方法技巧 坐标系中的三垂直：题中若出现「两条线段垂直且相等」（如 AC⊥BC 且 AC=BC），就把直角顶点看作「一线三等角」的中间顶点，把两个斜置的端点分别向坐标轴（或向过中间顶点的一条水平线、竖直线）作垂线，得到一对全等的直角三角形，于是斜线段的「横、纵分量」就可以在两点之间互相「搬运」。 四种常用类型：①两点在轴上，作「一点垂」——用坐标轴（或另一点到轴的垂线）把斜线段拆成水平、竖直两段；②一点在轴上，作「两点垂」——另两点分别向该点所在的坐标轴作垂线；③无点在轴上，作「一平两垂」——过直角顶点作一条平行于 x 轴的直线，另两点向它作垂线；④只给出斜边两个端点（直角顶点不确定）——分类讨论，直角顶点在斜边两侧各有一个，两解都要保留。 题型①　两点在轴上，“一点垂” 【例1】如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 A(4,0)，C(0,−2)。求点 B 的坐标。 解：B(−2,2)。 过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E，则 ∠CEB=90°=∠AOC（O 为原点，A(4,0) 在 x 轴上，AO⊥OC）。 ∵A(4,0)，C(0,−2)，∴AO=4，OC=2。∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCE=180°−90°=90°（A、B 在 y 轴的异侧）。在 Rt△BCE 中，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACO=∠CBE。 在 △AOC 和 △CEB 中，∠AOC=∠CEB=90°，∠ACO=∠CBE，AC=CB，∴△AOC≌△CEB（AAS），∴CE=AO=4，BE=OC=2。 ∵C(0,−2)，CE=4，且 E 在 C 的上方，∴E(0,2)；∵B 在 y 轴左侧且 BE=2，∴B(−2,2)。 题型②　一点在轴上，“两点垂” 【例2】如图，在 △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 C 的坐标为(−2,0)，点 A 的坐标为(−6,3)。求点 B 的坐标。 解：B(1,4)。 过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 D(−6,0)，∠ADC=∠CEB=90°。 ∵C(−2,0)，A(−6,3)，∴CD=4，AD=3。∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°。在 Rt△BEC 中，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CBE。 在 △ACD 和 △CBE 中，∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE=AD=3，BE=CD=4。 ∵C(−2,0)，CE=3，且 E 在 C 的右侧，∴E(1,0)；∵B 在 x 轴上方且 BE=4，∴B(1,4)。 题型③　无点在轴上，“一平两垂” 【例3】如图，在 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC=90°，点 B(2,2)，C(4,−2)。求点 A 的坐标。 解：A(1,−1)。设 A(x,y)。 过点 A 作平行于 x 轴的直线，过点 B、C 分别作这条直线的垂线，垂足为 D、E，则 D(2,y)，E(4,y)，∠ADB=∠CEA=90°（B、C 在这条直线的异侧）。 ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=180°−90°=90°。在 Rt△CAE 中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE。 在 △ABD 和 △CAE 中，∠ADB=∠CEA=90°，∠BAD=∠ACE，AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE。 由图可知 A 在 BD 的左侧、在 CE 的上方，∴AD=2−x，BD=2−y，CE=2+y，AE=4−x。 由 AD=CE 得 2−x=2+y，即 x+y=0；由 BD=AE 得 2−y=4−x，即 x−y=2。解得 x=1，y=−1，∴A(1,−1)。 检验：A(1,−1) 时 AB=√10，AC=√10，且 A→B=(1,3) 与 A→C=(3,−1) 的对应分量乘积之和 1×3+3×(−1)=0，说明 ∠BAC=90°，符合题意。 题型④　顶点不确定，分类讨论 【例4】如图，已知点 A(0,3)，B(4,1)，以 AB 为斜边作等腰 Rt△ABC，则直角顶点 C 的坐标为 ______。 解：C(3,4) 或 C(1,0)。设 C(x,y)。 ∵△ABC 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，∴CA=CB 且 CA⊥CB。 由 CA=CB 得 (x−0)2+(y−3)2=(x−4)2+(y−1)2，化简得 y=2x−2，即点 C 在 AB 的垂直平分线上。 由 CA⊥CB 得 (0−x)(4−x)+(3−y)(1−y)=0，即 x2+y2−4x−4y+3=0。 把 y=2x−2 代入得 x2+(2x−2)2−4x−4(2x−2)+3=0，即 5x2−20x+15=0，亦即 x2−4x+3=0，解得 x=1 或 x=3。 当 x=1 时 y=0；当 x=3 时 y=4。∴C(1,0) 或 C(3,4)。 检验：C(1,0) 时 CA=√10，CB=√10，且 (0−1,3−0) 与 (4−1,1−0) 的对应分量乘积之和 −3+3=0，两个条件都满足；C(3,4) 同理。直角顶点可在斜边 AB 的两侧，故有两解。 实战演练 1. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC。若点 A(−2,−2)，B(0,m)，C(n,0)，求 m，n 之间的数量关系。 解：m+n=−4。 过点 A 作平行于 x 轴的直线，过点 B 作 BM⊥这条直线于点 M，过点 C 作 CP⊥这条直线于点 P。则 M(0,−2)，P(n,−2)，∠AMB=∠CPA=90°（B、C 在这条直线的异侧）。 ∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠CAP=180°−90°=90°。在 Rt△CPA 中，∠ACP+∠CAP=90°，∴∠BAM=∠ACP。 在 △ABM 和 △CAP 中，∠AMB=∠CPA=90°，∠BAM=∠ACP，AB=CA，∴△ABM≌△CAP（AAS），∴BM=AP，AM=CP。 ∵A(−2,−2)，∴AM=CP=2（点 A 到 y 轴、x 轴的距离都是 2），正好相符。∵B(0,m) 在 M(0,−2) 的下方，∴BM=−2−m；∵P(n,−2) 在 A(−2,−2) 的右侧，∴AP=n+2。 由 BM=AP 得 −2−m=n+2，∴m+n=−4。 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，AC=BC，∠ACB=90°，BC 交 x 轴于点 D，且 AD 恰好平分 ∠BAC。若 A(−4,0)，D(m,0)，点 B 的纵坐标为 n，求 2n+m 的值。 解：2n+m=−4。 设 C(0,c)（c>0）。过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E，则 E(0,n)，∠CEB=90°=∠AOC（O 为原点，A(−4,0) 在 x 轴上，AO⊥OC）。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCE=180°−90°=90°（A、B 在 y 轴的异侧）。在 Rt△BCE 中，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACO=∠CBE。 在 △AOC 和 △CEB 中，∠AOC=∠CEB=90°，∠ACO=∠CBE，AC=CB，∴△AOC≌△CEB（AAS），∴CE=AO=4，BE=OC=c。 ∵B(0,n) 在 C(0,c) 的下方（由图可知 n<c），∴n=c−4，且 B(c,c−4)。 设 D 是直线 BC 与 x 轴的交点。由 C(0,c)、B(c,c−4) 可得直线 BC 上纵坐标为 0 的点 D(,0)，即 m=。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴由角平分线定理（面积法可证）=。∵=t=，∴=。 又 AB2=(c+4)2+(c−4)2=2c2+32=2AC2，∴AB=√2·AC。 ∴=√2，解得 c=4(√2−1)。 ∴m==12−8√2，n=c−4=4√2−8，∴2n+m=2(4√2−8)+(12−8√2)=−4。 也可直接算：由 c2=16−8c 得 =4−2c，∴2n+m=2(c−4)+(4−2c)=−4，结果与 c 的取值无关。 3. 如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 A(−1,0)，C(1,3)。求点 B 的坐标。 解：B(4,1)。 过点 C 作直线 l⊥x 轴（即直线 x=1），过点 A 作 AH⊥l 于点 H，过点 B 作 BG⊥l 于点 G，则 H(1,0)，∠AHC=∠CGB=90°（A 在 l 左侧，B 在 l 右侧）。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACH+∠BCG=180°−90°=90°。在 Rt△CGB 中，∠CBG+∠BCG=90°，∴∠ACH=∠CBG。 在 △AHC 和 △CGB 中，∠AHC=∠CGB=90°，∠ACH=∠CBG，AC=CB，∴△AHC≌△CGB（AAS），∴AH=CG，HC=GB。 ∵A(−1,0)，C(1,3)，∴AH=1−(−1)=2，HC=3，∴CG=2，GB=3。 ∵C(1,3)，且 G 在 C 的下方，∴G(1,1)；∵B 在 G 的右侧且 GB=3，∴B(4,1)。 本题 A 在 x 轴上，而 A 与 B 在「过 C 的竖直线」两侧，所以取这条竖直线当「一线」，这就是「一点在轴上」的作法。 4. 如图，点 B 在 y 轴的正半轴上，AC⊥BC，AC=BC。若 A(−2,a)，B(0,b)，C(1,c)，求 b−c 的值。 解：b−c=3。 过点 C 作直线 l⊥x 轴（即直线 x=1），过点 A 作 AF⊥l 于点 F，过点 B 作 BG⊥l 于点 G，则 F(1,a)，G(1,b)，∠AFC=∠CGB=90°（A 在 l 左侧，B 在 l 右侧）。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCG=180°−90°=90°。在 Rt△CGB 中，∠CBG+∠BCG=90°，∴∠ACF=∠CBG。 在 △AFC 和 △CGB 中，∠AFC=∠CGB=90°，∠ACF=∠CBG，AC=CB，∴△AFC≌△CGB（AAS），∴AF=CG，FC=GB。 ∵A(−2,a)，B(0,b)，∴AF=1−(−2)=3，GB=1−0=1，∴CG=AF=3。 ∵点 B 在 y 轴的正半轴上，点 C 在 x 轴上方且由图可知 B 在 C 的上方，∴CG=b−c=3，即 b−c=3。 另一组关系 FC=GB 给出 c−a=1，即 a=c−1。两条关系 a=c−1，b=c+3 与 AC=BC、AC⊥BC 是彼此相容的。 第17课时 一线三等角模型 一、方法技巧 模型 模型1　点 P 在线段 AB 上 模型2　点 P 在线段 AB 的延长线上 图形 条件 ∠1=∠2=∠3，PC=PD 结论 △ACP≌△BPD 同一条直线上有三个相等的角，是「一线三等角」的标志。识别方法是：一条直线上出现三个相等的角，且其中两个角的「非公共边」上一对对应线段相等（如 PC=PD），就能证出另一对三角形全等。证明的通用套路是「角的关系转相等」：把一个角拆成"两角之和"，利用三点共线的邻补角关系，把 ∠3 换成 180°−∠1−∠2 的形式，再用 AAS 或 ASA 判定全等。 题型①　同侧一线三等角 【例1】如图，在 △ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 上的点。若 ∠EDF=∠B=∠C，BD=CF，求证：DE=DF。 证明：设 ∠EDF=∠B=∠C=α。 ∵B、D、C 三点共线，∴∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠BDE+∠FDC=180°−α。 在 △BDE 中，∵∠B=α，∴∠BDE+∠BED=180°−α，∴∠BED=∠FDC。 在 △BDE 和 △CFD 中，∠B=∠C，∠BED=∠CDF，BD=CF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴DE=DF。 这里的「一线」是直线 BC 上的点 B、D、C 与两个角 ∠B、∠C、∠EDF；「三等角」是 ∠B=∠C=∠EDF。注意 BD=CF 必须是「对应」的一对边，即角 α 的邻边中不相邻的那一条。 题型②　异侧一线三等角 【例2】如图，AB=AC，∠BAC=60°，D 为 △ABC 内一点，点 E 在 AD 上，∠ADB=∠AEC=120°。探究 BD，CE 与 DE 之间的数量关系。 解：结论：DE=CE−BD。 ∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∠ACB=∠ABC=60°。 ∵A、E、D 三点共线（E 在 AD 上），∴∠BDE=180°−∠ADB=60°，∠AEB=180°−∠AEC=60°。 在 △ACE 中，∠AEC=120°，∴∠CAE+∠ACE=60°。 ∵∠CAE+∠BAD=∠BAC=60°，∴∠ACE=∠BAD，∠CAE=∠ABD。 在 △ABD 和 △CAE 中，∠BAD=∠ACE，AB=CA，∠ABD=∠CAE，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD=AE，AD=CE。 ∵E 在 AD 上，∴DE=AD−AE=CE−BD。 「角的关系转相等」这一步是本题的枢纽：要证的结论是边的差，而条件给的是两个 120° 的角。由 D 在三角形内、E 在 AD 上，把 ∠ACE 与 ∠BAD、∠CAE 与 ∠ABD 分别对应起来，就得到 △ABD≌△CAE。 实战演练 1. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别为 AB，BC 上的点，且 CD=DE，∠CDE=45°。求证：BD=BC。 证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°。 ∵CD=DE，∠CDE=45°，∴∠DCE=∠CED==67.5°。 ∵E 在 BC 上，∴∠DCB=∠DCE=67.5°。 在 △CDB 中，∠CDB=180°−∠DCB−∠CBD=180°−67.5°−45°=67.5°，∴∠CDB=∠DCB，∴BD=BC。 2. 如图，在 △ABC 中，AB=AC>BC，点 D 在 BC 上，CD=2BD，点 E，F 在线段 AD 上，∠1=∠2=∠BAC。若 △ABC 的面积为 12，求 △ABE 与 △CDF 的面积之和。 解：设 ∠1=∠2=∠BAC=α（由图可知 ∠1 是顶点 E 处的角 ∠BED，∠2 是顶点 F 处的角 ∠EFC）。 ∵A、F、E、D 依次在同一条直线上，∴∠AEB=180°−∠BED=180°−α，∠AFC=180°−∠EFC=180°−α。 在 △ABE 中，∠BAE=∠BAD，∴∠ABE=180°−∠BAD−(180°−α)=α−∠BAD。又 ∠CAD=∠BAC−∠BAD=α−∠BAD，∴∠ABE=∠CAD=∠CAF。 在 △ACF 中，∠CAF=∠CAD，∴∠ACF=180°−∠CAD−(180°−α)=α−∠CAD=∠BAD=∠EAB。 在 △ABE 和 △CAF 中，∠ABE=∠CAF，∠AEB=∠AFC=180°−α，AB=CA，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE=CF，S△ABE=S△CAF。 ∵F 在线段 AD 上，∴S△ACF+S△CDF=S△ACD，∴S△ABE+S△CDF=S△ACD。 ∵CD=2BD，∴CD=BC。△ACD 与 △ABC 同高（都以点 A 到直线 BC 的距离为高），∴==，∴S△ABE+S△CDF=×12=8。 本题的枢纽是把「面积和」换成 S△ACD：由 ∠BED=∠BAC 得 ∠ABE=∠CAF，由 ∠EFC=∠BAC 得 ∠ACF=∠EAB，于是 △ABE≌△CAF（AAS），既得 AE=CF，又得两块面积相等。与顶角 α 的大小无关，答案只由 CD=2BD 决定。 1 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章全等三角形题集（上) 目录 第1课时初识全等（一）全等发现…4 题型①一次全等. .4 题型② 二次全等… 5 第2课时初识全等（二)常规辅助线 题型①连接法 8 题型②延长法。 .8 题型③作垂线法 .9 题型④截长补短法… 9 第3课时线段和差的处理方法 .12 题型1代换一条线段 .12 题型2代换两条线段」 12 第4课时线段和差的处理方法。 .14 第5课时中点的处理方法. ...16 题型1倍长中线（或作平行线) .16 题型2倍长类中线（或作平行线) 17 题型3作垂直.… 17 第6课时中点的处理方法 .20 题型1作平行.… .20 题型2作垂直… 21 第7课时角平分线的处理方法 22 题型1作一垂. .22 题型2作两垂.… .23 第8课时角平分线的处理方法 .24 题型①直接用判定 .24 题型② 旁心… ..25 题型③隐角平分线 .25 第9课时角平分线的处理方法， .26 题型①面积法求线段长 ..26 题型②面积法证线段比.27 第10课时角平分线的处理方法. ….30 题型①对角互补遇角平分线。 30 题型②内心作垂构对称型全等 .30 题型③直角梯形遇角平分线… .31 第11课时角平分线的处理方法 32 题型①单角平分 .32 题型②梯形双角平分 33 题型③60°的三角形双角平分 33 第12课时角平分线的处理方法..34 题型①延长构对称全等 .34 题型②延长构对称型、旅转型全等 .35 第13课时角平分线的处理方法。 ..36 题型①对角「90°+90°」型… 36 题型②对角「a°+(180°-a°)」型 .37 第14课时角平分线的处理方法. 39 2 题型①同旁张双直角.39 题型② 同旁张双等角 .40 第15课时一线三等角模型 41 题型①构造同侧一线三垂直 41 题型②构造异侧一线三垂直 .42 题型③构造三垂直 .42 第16课时一线三等角模型 45 题型①两点在轴上，“一点垂” .45 题型②一点在轴上，“两点垂” .46 题型③无点在轴上，“一平两垂” 46 题型④顶，点不确定，分类讨论 .47 第17课时一线三等角模型.… 50 题型①同侧一线三等角. 50 题型②异侧一线三等角… .51 3 第1课时初识全等（一)全等发现 一、全等的五种基本类型 类型 平移型 旋转型 对称型 平移+对称型 平移+旋转型 图形 二、典例精讲 题型① 一次全等 【例1】如图，CACB,CDCE,∠BCA∠DCE。求证：BEAD。 A D E 【例2】如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC边上，ADAB,AEAC,DEBC,DE 交AB于点0。若∠1=25°，求∠2的度数。 4 A D 0 B 2 E C 题型②二次全等 【例3】如图，BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE,CD交于点O,ADAE。求证： 0B0G。 A DE E 0 B C 5 【例4】如图，点B,C,E,F在同一条直线上，∠B∠E,AC∥DF,ABDE。若AM,DN 分别是△ABC和△DEF的角平分线，求证：AM作D。 M B D 三、实战演练 1.如图，B,E,C,F四点在同一直线上，BECF,ABDE,且AB∥DE,判断线段AC, DF的数量与位置关系并证明。 B E 2.如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BECF。求证： AEAF。 6 B D C 3.如图，在△ABC中，ABAC,∠BAC90°，D是BC的中点，M是BD上一，点，过 点B作BN⊥AM于点N,交AD的延长线于点E。求证：C胀AE。 M D N E 7 4.如图，BECF是△ABC的高，M为BE上一点，且B作AC,N为CF延长线上一 ,点，且CNAB。 (1)求证：△AB≌△WCA;（2)求证：AM⊥AW。 E M B 第2课时初识全等（二)常规辅助线 一、四种常规辅助线 类型 连接共边 延长补形 截长补短 作垂 图形 二、典例精讲 题型① 连接法 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B∠D90°，点E,F分别在AB,AD上， AEAF,CECF,求证：CBCD. 8 D 86 E 题型② 延长法 【例2】如图，AGBD,∠BAC∠BDC90°，求证：ABCD。 A D 题型③ 作垂线法 【例3】如图，在△ADE中，∠DAE90°，AF⊥DE,且AFDE。若AD4,求S△ADFo D E 9 题型④截长补短法 【例4】如图，在△ABC中，ABAC,AD平分∠BAC,P是AD上一点，求证： PB-PCKAB-AC B C 三、实战演练 1.如图，AB,CD交于点O,ABCD,ACBD。求证：∠朵∠D。 A D B 10 2.在五边形ABCDE中，F为CD上一点，连接AF。 (1)如图1，若ABAE,∠B∠E,BGED,AF⊥CD。求证：F为CD的中点； (2)如图2，若ABAE,∠B∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点F。求证：F为CD 的中点。 B E CF D B E C F D 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAC90°，过，点D作DE⊥AC交BC于点E。若 DEBC,AC4,S△c=6,求CE的长。 11 D A— B E C 4.如图，在△ABC中，∠F100°，∠ABC40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD 至，点E,使DEAD,连接EC。求证：BC-AB+CE。 A E D B C 12 第3课时线段和差的处理方法 一、方法技巧 通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两条线段相 等的问题；通过全等得到线段相等，直接代换，把分散的线段转化到同一条直线上解决 问题。 题型1代换一条线段 【例1】如图，D为BC上一，点，ABAC,ADAE,∠BAG∠DAE。求证：BCCD+CE。 E B D 题型2代换两条线段 【例2】如图，∠BAC90°，ABAC,直线DE过点A,BD⊥DE,垂足为D,CE⊥DE,垂 足为E。 (1)如图1，求证：DEC+BD: (2)如图2，求证：DE-CE-BD 图1 图2 13 实战演练 如图，在△ABC中，ABBC,D为AB的中，点，∠ABG∠BAE=90°，BE⊥CD交AC于 ,点F。求证：CD-BF+DF。 A E 分 0 B C 14 第4课时线段和差的处理方法 一、方法技巧 截长：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，再证明剩下的部分等于另一条。 补短：把一条短线段延长，使延长部分等于另一条短线段，再证明新线段等于长线段： 或者把短线段直接延长到与长线段相等。 【例】 如图，在等腰Rt△ABC中，ACBC,∠ACB90°，D、E分别是CA的延长线和AC的 延长线上一点，ADCE,F为BA延长线上的一点，且∠CFF∠DFA。求证： DF+BE-CF。 实战演练 1.如图，在△ABC中，∠ABC∠ACB,,点F在AB上，满足∠CF在∠A,过，点B作 BE⊥AC于点E,延长BE至点D,使DEBE,连接CD (1)求证：∠ACD∠ABC: (2)求证：AE+BF-CE。 15 D E 2.如图，在五边形ABCDE中，ABAE,BG+DECD,∠ABC+∠AED180°。 (1)求证：DA平分∠CDE; (2）求证：∠BAE2∠GAD。 E 16 第5课时中点的处理方法 一、知识梳理 类型 倍长中线 倍长类中线 作垂直 A E B B 条件 BD-CD BD-CD BD-CD 方法 延长AD至点E, 延长ED至点F, 作CE⊥AD, DE-AD DF-ED BF⊥AD于点E、 F 结论 ①△ADC≌△EDB: ①△EDC≌△FDB: ①△EDG≌△FDB ②BEAC,BEI∥AC。 ②BF-EC,BFI∥EC. ②BFEC, DF-ED 二、典例精讲 题型1倍长中线（或作平行线) 【例1】如图，AD是△ABC的中线。 (1)求证：AB卧AC2AD: (2)若AB6,AD4,求AC的取值范围。 17 题型2倍长类中线（或作平行线) 【例2】如图，在△ABC中，D为BC上一点，E是BC的中，点，EF∥AD交CA的延 长线于点F,交AB于点G,BGCF。求证：AD为△ABC的角平分线。 F G E D 题型3作垂直 【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E、F分别在BD、AD上，且 DECD,EF∥AB。求证：EFAC。 18 B E D 三、实战演练 1.如图，在四边形BEFC中，D为BC的中点，∠EDF=90°，BE4,CF1。若EF的 长为整数，求EF的长。 D 19 2.如图，在四边形ABFG中，∠作∠B90°，E为AB的中，点，且EGL EF。若 AG2,BF3,求GF的长。 G dB E 3.如图，AD是△ABC的中线，且CDAB,AE是△ABD的中线。求证：AC2AE。 RE 20 4.如图，ABAD,ACAE,∠BAD∠CAE90°，F为DE的中点，连接AF。求证： BC2AF。 第6课时中点的处理方法 一、知识梳理 类型 作平行 作垂直 作延长 A B B4 D月 E 方法 过点B作BE∥AC, 作BE⊥AD,CF⊥AD, 知 BF∥AC,延长 再证 再证△BDE≌△CDF。 AD、FB △BDE≌△CDA. 交于点E,证 △AGD≌△EBD. 结论 BD-CD BD-CD BD-CD 21 二、典例精讲 题型1作平行 【例1】如图，AB、CD交于点E,ADBC,∠C4∠DF180°。求证：AEBE。 题型2作垂直 【例2】如图，D为BC上一点，F为AD上一点，BFAC,∠BFD∠CAD。求证： BDCD。 B D 22 题型3作延长 【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为AB上一点，CE平分∠BCD,且 DE平分∠ADC。求证：E为AB的中点。 第7课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 条件 结论 B E ①OG平分∠AOB:②PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E。 得PDPE。 D 角平分线的性质：角平分线上的，点到角两边的距离相等。用它可以证线段相等，关键是 「见到角平分线就作垂」，把角相等转化为距离相等。 23 题型1作一垂 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B∠C90°，E为BC上一点，且AE平分 ∠BAD,DE平分∠ADC。求证：BECE。 A B E D C 题型2作两垂 【例2】如图，在四边形ABCD中，∠ABG90°，BD平分∠ABC,ADCD。求证： AD⊥CD。 24 D ☑ B C 实战演练 如图，在四边形ABCD中，∠BAC∠BDC36°，∠ADB72°。求证：ABAC。 B 第8课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 25 判定 旁心图 隐角平分线 图形 EB …E D A 条件 PD⊥OA, PE⊥OB, OP平分∠AOB,AP平分 OP平分∠A0B, PD-PE. ∠BAD, ∠OAPA∠BAP-180°。 PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB. 结论 00平分 ∠AOB。 PB平分∠ABE。 ①PA平分∠BAD: ②PB平分∠ABE。 角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此「证角平分」常常 转化为「证两条垂线段相等」。旁心图（三角形一内角平分线与两外角平分线共点）在 解题中常用来直接给出角平分线。 题型①直接用判定 【例1】如图，在△ABC中，ACBC,E为△ABC外一点，且∠CAE∠CBE。求证：CE 平分△ABE的外角。 B 26 题型② 旁心 【例2】如图，在△ABC中，AP平分∠BAC,B即平分∠CBD。 (1)求证：CP平分∠BCE; (2)设∠BAGa,则∠BPG（用含a的式子表示)。 题型③ 隐角平分线 如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD180°，且GE平分∠ACD。若∠EADa,求 ∠DEC的度数。 27 第9课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 类型1内心向三边作垂 类型2面积比与边长比 D 条件：/是△ABC三条角平分线的交 条件：AD是△ABC的角平分线。 点。 方法：过，点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC 方法：过点/分别向三边作垂线段。 结论：①DEDF: 结论：①/D/E/F: ②S△ABD:S△ACAB:：ACBD:CD。 ②S△/BCtS△ActS△1ABS△ABc; ③IDF2S△ABc÷(AB+BC+AG。 面积法的两条主线：①同一个三角形换底（等面积）一用一个面积的不同底高表示搭 桥；②角平分线上的点到两边距离相等一把「距离相等」变成「高相等」，于是面积 比就等于底边长之比。 题型① 面积法求线段长 【例1】如图，在△ABC中，∠G90°，0是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且 BG8cm,AC6cm,AB10cm,求S△4o8o B 28 题型② 面积法证线段比 BD AB 【例2】如图，AD是△ABC的角平分线。求证： CDAC B D 题型③构全等转化面积 【例3】如图，△ABC的角平分线BD、CE交于点P,∠F60°，△ABC的面积为16， 四边形AEPD的面积为5，求△BPC的面积 公 D P B C 29 实战演练 1.如图，在△ABC中，∠ABC90°，/为△ABC各内角平分线的交点，过点/作 AC的垂线，垂足为H。若BC3,AB4,AC5,求IH的长。 A H 2.如图，在△ABC中，S△AB21,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,E为AD的 AB 中点，连接BE,F为BE上一点，且BF2EF。若Se2,求AC的值。 B 0 C 30 3.如图，在△ABC中，AB3,AC4,BC5,∠BAC90°，AD平分∠BAC。求DC的 长。 D 4.如图，在△ABC中，∠BAC90°，ABAC,BD是△ABC的角平分线，若BD8,求 △BDC的面积。 31 第10课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 类型 梯形图 互补图 内心图 图形 C E D D D a B a a a B B B D E 「作垂构对称型全等」的要点：遇角平分线就向两边作垂，得到两条相等的垂线段：若 题目还给了「对角互补」（或同角的补角相等），就能用AAS把两个直角三角形全等 起来，从而得到线段相等。梯形的内错角、平行线带来的等角也常用来「换角」。 题型①对角互补遇角平分线 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC∠DE180°，AC平分∠BAD。求证：CBCD。 32 题型②内心作垂构对称型全等 【例2】如图，在△ABC中，ABAC,AK、BK、CK分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB, KD⊥BC于点D。求证：AB-ACBD-CD。 K B 题型③直角梯形遇角平分线 如图，在四边形ABCD中，∠F∠B90°，E为AB上一点，ED平分∠ADC,EC平分 ∠BGD. (1)求证：DE⊥CE;(2)求证：AEBE;(3)求证：AD+BCCD:(4)若AB12,GD13,求 S△GDEo 33 E C 第11课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 典型 梯形双角平分 60°的三角形双角平分 图形 图形 条件 AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分 0是两角平分线的交点 ∠BCD 方法 截取BFAB 延长BA、 GE交于 截取BFBE 点6 结论 △BAE≌△BFE: △BEG≌△BEG: △B0E≌△B0F: △CDE≌△GFE △DEC≌△AEG △G0D2△C0F 「截长补短」构对称型全等的思路：角平分线是角的对称轴，在角的一边上「截」出与 另一边相等的线段（或在另一边上「补」出一段)，就能翻折出全等三角形，把分散的 线段「接」到一起比较。梯形的内错角、60°三角形的「∠B0G120°」都是配套使用 的条件。 34 题型①单角平分 【例】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,BGCD。求证：∠ADG4∠BE180°。 (原书另附一张备用图) D B 题型② 梯形双角平分 1.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD,AB+CD-AC,E是BD上一，点，且BEDE。求 证：CE平分∠ACD。 D E 题型③60°的三角形双角平分 2.如图，在△ABC中，∠卡60°，△ABC的角平分线BD,CE相交于点O。 35 (1)求∠B0E的度数； (2)若BC7,BE4,求CD的长。 第12课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 典型 延长得对称全等 延长得双全等 图形 图形 A E D 条件 BD平分∠ABC, ∠ACB∠ADB90°， ∠ADG∠BCD-90°， BD L CD。. ACBC. BE平分∠ABC, BD平分∠ABC。 BE⊥AE。 方法 延长CD交AB于点E 延长AD、BC交于点E 延长AE、BC交于点F 结论 △BDG≌△BDE; △ADB≌△EDB: △BEA≌△BEF: S△ADG-S.△ADE BF2AD:S△BA=AD 1 S△BM4AB·CD 「角平分线+垂线」是配对出现的：角平分线是角两边的对称轴，若还有一条线段垂 直于它，把这条线段延长（或把另一边延长)就能翻折出全等三角形。常见的三种结 36 局：①得到对称全等，从而两条斜线段相等、两个三角形面积相等；②延长出两个全等 三角形，出现「一半」或「二倍」关系；③用面积公式二4AB·D这类漂亮结论收 尾。 题型①延长构对称全等 【例1】如图，在△ABC中，ABC,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P。 (1)若∠ACB48°，∠PAC22°，求∠BAP的度数： (2)连接PC,若△ABC的面积为4，求△BPC的面积。 B C 题型②延长构对称型、旋转型全等 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABG45°，D为边AB上一点，DE⊥AE 1 于点E,AC与DE交于点F,∠ADE22.5°。求证：S△Ao=4DF。 B 37 变式：如图，AB∥GD,CM平分∠BCD,M在AD上，BM L CM。 (1)求证：AM作DM:(2)试探究BC、CD、AB之间的数量关系。 A B M D 第13课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 模型 模型1作垂 模型2截长 模型3补短 D 图形 2 E 条件 ∠1=∠2， ∠1=∠2， ∠BADH∠BCD180° ∠BAD+∠BCD180° DA-DC DA-DC 方法 作DE⊥BC,DF⊥AB 截取BEAB 延长BC至E,使 CE-AB 38 模型 模型1作垂 模型2截长 模型3补短 结论 △DAF≌△DCE: △BDA≌△BDE: △BAD≌△ECD: △DBF≌△DBE ∠BAD+∠BCD180° BD平分∠ABC 四边形中「一组对角互补」+「一条对角线平分一个角」，本质是「角平分线+对角互 补」型。三条思路都是把这条对角线（或它所在的角）补成对称图形：①向两边作垂 线，由角平分线得两条垂线段相等，再证一次全等；②在一条邻边上截取与另一条邻边 相等的线段；③把一条邻边延长，使补出的线段等于另一条邻边。做出来的核心结论是 「ADCD和「∠BA0+∠BCc180°」，由此还能推出BD平分∠ABC面积公式S2 B0等。 题型①对角「90°+90°」型 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC∠ADG90°，BD平分∠ABC。 (1)求证：ADCD: (2)求证：Sr1回边1Aa2BD。 D B 题型②对角「a°+(180°-a°)」型 【例2】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CBCD,CF⊥AD于点F。 (1)求证：∠ABC4∠ADGC180°： (2)求证：∠ACF2∠BCD: 39 (3)若AF6,求ABAD的长； (4)若DF2,求ADAB的长； (5)若AFAB2,求DF的长； (6)若Srl四边粉ABo20,求AF·CF的值； (7）若S△ACDS△ABc4,求S△GFD0 C B A 公 实战演练 1.如图，∠BAC90°，BDCD,∠BDG90°。 (1)求证：AD平分∠BAC: 40 (2)若AB5,AC9,求S△4B0的值。 B 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC于点G,且BGCG,DE⊥AB于点 E。 (1)求证：ABAC2BE; (2)若AE8,求AB+AC的值。 E B G D 41 第14课时角平分线的处理方法 一、方法技巧 模型 作垂 截长 补短 图形 E A D B 条件 ∠BAG∠BDC, ∠BAG∠BDC, ∠BAC∠BDC, AD平分∠GAC BD-CD BD-CD 方法 作DE⊥AB,DF⊥AC 截取CFBA 延长BA使BFCA 结论 △BDE≌△CDF: △BDA≌△CDF: △BDF≌△CGDA; △ADE≌△ADF AD平分∠EAC AD平分∠FAC 「同旁张等角」指的是：∠BAC与∠BDC相等，且两条角的两边（AB、AC与DB、 D在BC的同侧「张开」。此时若再补上一条角平分线（或一对相等的邻边），就能 造出对称型全等。三条路：①作垂（作垂线利用角平分线得等距)；②截长（在角的一 边上截出与另一条邻边等长的线段)；③补短（把一条邻边延长到与另一条邻边相 等)。无论走哪条路，最终都会得到「一对全等三角形+一条新的角平分线」。 题型①同旁张双直角 【例1】如图，在△ABC中，ABAC,∠BAC90°，CD⊥BD于点D,AF⊥BD于点F, 连接AD。 (1)求证：∠ADB45°； (2)求证：BF-DFCD: (3)求证：BD-CD2AF。 42 题型② 同旁张双等角 【例2】如图，AP是△ABC的外角平分线，PML BA,交BA的延长线于点M,且 ∠BPG∠BAC。 (1)求证：PBPC: (2）求证：ACAB2AM: (3)若B胀3，求ABAC的值。 M A B C 实战演练 如图，∠ABC∠ADC-90°，∠DBC45°。 (1)求证：ADCD: 1 (2）求证： SABDG-SAAGU2BD。 D B 43 第15课时一线三等角模型 一、方法技巧 模型 模型1 同侧一线三 模型2异侧一线三垂直 模型3三垂直 垂直 图形 E B C D 「一线三等角」：一条直线上有三个相等的角（顶点都在这条直线上），只要再配上一 对相等的对应边，就能得到一对全等三角形，把分散的线段「搬」到同一条线的两侧去 比较。当这三个相等的角都是直角时，就叫「一线三垂直」。 模型1（同侧）：B,C,D在同一条直线上，A、E在直线的同侧，∠ABC∠CDE90°， AC⊥CE且ACCE,则△ABC≌△CDE,得BCDE,ABCD. 模型2（异侧)：B,C,D在同一条直线上，A、E在直线的异侧， ∠ABG∠ACE∠CDE-90°，ACCE,则△ABC≌△CDE,得ABCD,BGDE。 模型3（三垂直）：等腰直角三角形中，过一个顶点作另一腰（或某条线段）的垂线， 再补出一条垂线即得第三个直角，仍用「一线三垂直」证全等（见题型③)。 题型①构造同侧一线三垂直 【例1】如图，AB⊥BC,且ACL CE,ACCE,连接BE。若BC6,求△BCE的面积。 44 题型②构造异侧一线三垂直 【例2】如图，∠ACB-90°，AGBC,∠ADC-90°。若△BCD的面积为8，求CD的 长。 C D B 题型③构造三垂直 【例3】如图，在△ABC中，ABAC,∠BAC90°，D为AC的中点，AF⊥BD于点F, 交BC于，点E,连接DE。求证：∠ADB∠CDE。 45 E D F B 实战演练 1.如图，AE⊥AB,且AEAB,BCL⊥CD,且BCGD,EF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G, DHL AC于点H。请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 0 E B O 6 A G C H 46 2.如图，在四边形ABCD中，∠ADC∠C-90°，BC7,AD4,过点A作AE⊥AB,且 AEAB,连接DE。求△ADE的面积。 E D A B C 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，ACBC,E为BC上一点，连接AE,作 AF⊥AE,且AFAE,BF交AC于点D。 (1)求证：D为BF的中点：(2)求证：BE2CD。 D B 47 第16课时一线三等角模型 一、方法技巧 坐标系中的三垂直：题中若出现「两条线段垂直且相等」（如ACL BC且 ACBC)，就把直角顶点看作「一线三等角」的中间顶点，把两个斜置的端，点分别向坐 标轴（或向过中间顶，点的一条水平线、竖直线）作垂线，得到一对全等的直角三角形， 于是斜线段的「横、纵分量」就可以在两，点之间互相「搬运」。 四种常用类型：①两点在轴上，作「一点垂」一用坐标轴（或另一点到轴的垂线）把 斜线段拆成水平、竖直两段：②一点在轴上，作「两，点垂」一另两，点分别向该，点所在 的坐标轴作垂线；③无，点在轴上，作「一平两垂」一过直角顶，点作一条平行于x轴 的直线，另两点向它作垂线；④只给出斜边两个端点（直角顶，点不确定)一分类讨 论，直角顶点在斜边两侧各有一个，两解都要保留。 48 题型① 两点在轴上，“一点垂” 【例1】如图，在Rt△ABC中，AGBC,∠ACB90°，，点A(4,0),C(0,-2)。求点B 的坐标。 δ 0 题型② 一点在轴上，“两点垂” 【例2】如图，在△ACB中，∠ACB90°，ACBC,点C的坐标为(-2,0)，点A的坐 标为(-6,3)。求点B的坐标。 49 题型③ 无点在轴上，“一平两垂” 【例3】如图，在Rt△ABC中，ACAB,∠BAC90°，点B(2,2),C(4,-2)。求点A 的坐标。 B 题型④ 顶点不确定，分类讨论 【例4】如图，已知点A(0,3),B(4,1),以AB为斜边作等腰Rt△ABC,则直角顶点C 的坐标为 、 y1 ●B 50 实战演练 1.如图，在△ABC中，∠BAC90°，ABAC。若点A(-2,-2),B(0,m,C(n,0),求 m,n之间的数量关系。 y B 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A,C分别在X轴和y轴上，ACBC, ∠ACB90°，BC交X轴于点D,且AD恰好平分∠BAC。若A(-4,0),D(m0),,点B 的纵坐标为n,求2什m的值。 ↑y D B 51 3.如图，在Rt△ABC中，ACBC,∠ACB90°，点A(-1,0),C(1,3)。求点B的坐 标。 4.如图，点B在y轴的正半轴上，ACL BC,ACBC。若A(-2,a),B(0,b),C(1,C), 求bc的值。 52 ↑y B 53 第7课时一线三等角模型 一、方法技巧 模型 模型1点P在线段AB上 模型2点P在线段AB的延长线上 图形 D 条件 ∠1=∠2=∠3，PGPD 结论 △ACP≌△BPD 同一条直线上有三个相等的角，是「一线三等角」的标志。识别方法是：一条直线上出 现三个相等的角，且其中两个角的「非公共边」上一对对应线段相等（如PGPD)，就 能证出另一对三角形全等。证明的通用套路是「角的关系转相等」：把一个角拆成"两 角之和"，利用三点共线的邻补角关系，把∠3换成180°-∠1-∠2的形式，再用 AAS或ASA判定全等。 题型①同侧一线三等角 【例1】如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AB,AC上的，点。若 ∠EDF∠B∠C,BDCF,求证：DEDF。 A E B D 54 题型②异侧一线三等角 【例2】如图，ABAC,∠BAC60°，D为△ABC内一点，点E在AD上， ∠ADB∠AEG120°。探究BD,CE与DE之间的数量关系。 D 实战演练 1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB90°，D,E分别为AB,BC上的，点，且 GDDE,∠GDE45°。求证：BDBC。 55 2.如图，在△ABC中，AB-AC>BC,点D在BC上，CD2BD,点E,F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC。若△ABC的面积为12，求△ABE与△CDF的面积之和。 A 2 E 1/ D 56