第十四章 全等三角形--几何模型（一线三等角） 题型归纳练 2026-2027学年数学人教版八年级上册

**基本信息** 以一线三等角模型为核心，按同侧/异侧、直角/等角分类训练，通过全等三角形判定与性质解决问题，体现几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同侧一线三直角|3题|利用垂直与同角余角证全等|从特殊直角模型切入，建立角边关系| |异侧一线三直角|4题|通过对顶角/平角转化角关系|拓展位置关系，强化全等条件分析| |同侧一线三等角|4题|借助等腰三角形性质推导等角|从直角到一般等角，提升模型普适性| |异侧一线三等角|4题|利用外角性质证角相等|深化位置变式，培养动态几何思维| |构造一线三直角|5题|添加辅助线构造模型|综合应用，提升问题转化与模型意识|

第十四章全等三角形几何模型（一线三等角）题型归纳练 20262027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、同侧一线三直角模型 1.如图，为测量信号塔AB(垂直于地面BD)的高度，小明首先在信号塔AB前的地面BD上选一点P, 使BP=2.5m,并测得∠APB=70°，然后把竖直的竿 CD(CD=2.5m)在BP的延长线上移动，使 ∠DPC=20°时竿子停止移动，此时测得BD=12m,则信号塔AB的高度为一 m A信号塔 Bh 口D 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若 BD=6,CE=4,则DE= 3.为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB:将旗杆 顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B,C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度：在C处放置直 角三角板OMN,让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合.随后小明后退，当看到点N,O共线 时（即N,O,E共线），停在D点 M -- B C(O D (I)小明认为CD的长等于旗杆高度AB,你认同他的观点吗？请说明理由. (2)若DE=1.7米，DB=16米，求旗杆高度AB. 二、异侧一线三直角模型 4.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,若DE=2,BE=1,则 AD长为一· E 5.如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,过点C作 CF⊥AD交AD于点F,若BE=6,则CF的长为一 E 6.△ABC和△CDE的位置如图所示，点B在CD边上，∠ACE=∠D=∠ABC=90°，AC=CE. B (I)求证：AB=CD: (2)已知AB=6,DE=2,求BD的长度. 7.根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球.实验者调节 摆球的初始位置，观察周期性运动， 素材2：如图2，开始时摆球位于点A处，已知摆线长OA=OB=OC=50cm,小亮将摆球拉至点C处进 行单摆实验，当摆球摆动至点B时，OB⊥OC,过点B作BD⊥OA于点D,过点C作CE⊥OA于点E, 测得AD=10cm 0 铁架台 摆线 B D 何标记 O摆球 图1 图2 问题解决： (①)△COE与△OBD全等吗？请说明理由； (2)求CE的长？ 三、同侧一线三等角模型 8.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D,若∠ADE=∠B,CD =3BD,则CE等于() D 9 9 A.3 B.2 C.4 D.2 9.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，点D在BC上，AD=DE,若∠ADE=∠B=∠C. CD=3BD,则CE等于一. D 1O.如图，△ABC与△CED的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在BE上方，∠B=∠ACD=∠E, AB=CE,求证：AC=CD D 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D,E分别在边BC,AC上，且AB=DC,∠ADE=∠B,求证： BD=CE 四、异侧一线三等角模型 12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，且DC=3BD,点E,F在线段 AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BC,若S=20.则S+m() ,则 D A.9 B.12 C.15 D.18 BD 1 1B.如图，在等腰△MBC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，且BC=4,点E、F在线段AD上， 满足∠BED=∠CFD=∠BAC,若SABC=20,则SABE十SACDF是 E D 14.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E,F在线段AD上，连接BE,CF,满足 BE=AF,∠BED=∠DFC=∠BAC D (I)求证：AE=CF: (②)若∠ACF=I5°，∠CAD=2LBAD,∠ABC=∠ACB,请求出∠BDE的度数. 15.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，点E,F在线段AD上，且∠AEB=∠AFC=130°， ∠BAC=50°.请说明：AE=CF B 五、构造一线三直角模型 16.如图，在RtABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,D为AC中点，P为AB上的动点，连接PD, 过点D作DP⊥DP且DP'=DP,连接CP',则线段CP'的最小值为 A B 17.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点，CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连 接BE,若BC=16,则△BCE的面积为， C 18.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D在直线AC左侧，满足DC⊥AC且DC=AC,垂足为 C.连接BD,若aBCD的面积为16，则BC的长为一. B D 19.【建立模型】如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点E,可证明得到△ADC≌△CEB 图1 图2 图3 【模型应用】 ()如图1，若AD=5,BE=3,则DE=一： (②如图2，等腰RtM0B中，∠A0B=90,OM=OB,点B的坐标为 ,4)，求点A的坐标： (③)如图3，在平面直角坐标系中，已知 点P(-3,),连接OP,是香存在一点2，使得△0P 是等腰直角 三角形，且∠OPQ=90°？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 8 12 答案 A 1.9.5 先利用三角形内角和定理求出∠A的度数，发现∠A=∠DPC,结合已知直角和边长相等，利用AAS证明 △ABP≌aPDC,从而得出AB=PD,最后利用线段的和差关系求解 解：∠APB=70°、 在△ABP中，∠PAB=180°-90°-70°=20°， 即∠PAB=∠DPC=20°， .∠ABP=∠PDC=90°，BP=CD=2.5m. 在△ABP与△PDC中， I∠PAB=∠DPC ∠ABP=∠PDC=90° BP=CD △ABP≌APDC(AAS) .AB=PD, .BD=12m, .AB=PD=12-2.5=9.5m 2.10 利用垂直的定义得到∠BDA=∠AEC,由平角的定义及同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE,利用AAS证 得△ABD2aACE,由全等三角形对应边相等得到DB=AE=6,AD=CE=4,由DE=AD+AE即可求 出DE长 解：'BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠BDA=∠AEC=90° .∠BAD+∠ABD=90°， .∠BAC=90°， .·∠BAD+∠CAE=90°」 .∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， [∠ADB=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA △ABD≌△ACE(AAS) ∴.DB=AE=6,CE=AD=4, 则DE=AD+AE=4+6=10 3.(1) 解：认同小明的观点，理由如下： 由题意可知：AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACE=90°，BC=DE, .∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠A=90°， .∠A=∠ECD 在△ABC和△CDE中， 「∠ABC=∠CDE ∠A=∠ECD BC=DE ∴.△ABC≌aCDE(AAS) .AB=CD 因此认同小明的观点· (2)14.3米 (1)利用全等三角形判定定理证明△ABC和△CDE全等，进而判断线段相等. (2)因为已知DE、DB的长度，且DB=BC+CD,可求CD的长度，且由第(1)问的结论可知 AB=CD,即可得解. (1)略 (2),△ABC≌△CDE, .BC=DE=1.7米， 又：DB=16米， CD=DB-BC=16-1.7=14.3米， 由(1)已证AB=CD AB=14.3米 3 根据垂直的定义得到∠ADC=∠CEB=90°，利用同角的余角相等证明∠CAD=∠BCE,结合AC=BC利 用AAS证明△ACD2aCBE,根据全等三角形对应边相等得到AD=CE,CD=BE,结合线段的和差关系计 算即可 解：AD⊥CE,BE LCE ∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠CAD=90°， ∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB {∠CAD=∠BCE AC=CB .△ACD≌aCBE(AAS) ∴AD=CE,CD=BE .BE=1,DE=2 .CD=1 CE=CD+DE=1+2=3, AD=3. 5.6 利用AAS判定△BDE≌△CDF,从而得出对应边相等. 解：：AD是△ABC的中线， .BD=CD :BE⊥AD,CF⊥AD ·∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中， [∠BED=∠CFD ∠BDE=∠CDF BD=CD ∴.△BDE≌△CDF(AAS) ...CF=BE=6 6.(1)证明：：∠ACE=∠D=∠ABC=90°， .∠ACB+∠DCE=90°，∠ACB+∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DCE. 在△ABC和△CDE中， 「∠ABC=∠D=90° :∠BAC=∠DCE AC=CE ∴.△ABC≌ACDE(AAS) ..AB=CD, (2)4 (1)首先，由∠ACE=∠D=∠ABC=90°，证得∠BAC=∠DCE,再由AC=CE,证得 △ABC≌aCDE(AAS) 可得AB=CD (2)由(1)知△ABC≌aCDE,可得AB=CD=6,BC=DE=2,再由BD=CD-BC可得答案. (1)略 (2)解：由(1)知：△ABC≌aCDE, ∴.AB=CD=6,BC=DE=2. ∴.BD=CD-BC=6-2=4. 7.(1) ACOE≌AOBD 解：OB⊥OC,CE⊥OA,BD⊥OA, .∠ODB=∠CEO=∠BOC=90°， .∴∠BOD+∠COE=90°，∠COE+∠C=90°」 ∴.∠BOD=∠C ∠ODB=∠CE0=90°，OB=OC, ∴.△COE≌AOBD(AAS) (2)40cm (1)根据垂直的定义通过角度等量代换求出∠BOD=∠C,结合己知条件，利用AAS即可证明 ACOESAOBD (2)利用已知条件求出OD长度，结合△COE≌aOBD证明OD=CE,即可求出CE长度. (1)略 (2)解：OA=50cm,AD=10cm, ..OD=04-AD=50-10=40cm. 由(1)可知aCOE≌△OBD, ..CE =OD=40cm. 8.A 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,推出∠BAD=∠CDE,根据线段垂直平分线的性质得到AD= ED,根据全等三角形的性质得到CD=AB=9,BD=CE,即可得到结论， 解：AB=AC=9, .∠B=∠C, .'∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, .'.∠BAD=∠CDE, AE的中垂线交BC于点D, ∴AD=ED, 在△ABD与△DCE中， 「∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=ED .△ABD≌△DCE(AAS), ∴.CD=AB=9,BD=CE, ∵CD=3BD, ∴CE=BD=3 故选：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题. 9.3 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题 的关键.通过角度关系推导出三角形全等，再利用线段比例和全等性质求解CE的长度， 解：，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,且∠ADE=∠B, .∠BAD=∠CDE 又，AB=AC ∴.∠B=∠C 在△ABD和△DCE中， ∠B=∠C ∠BAD=∠CDE AD=DE △ABD≌aDCE(AAS). .AB=DC=9.BD=CE ·CD=3BD BD=3. .CE=3 故答案为：3 10.证明：，∠ACE=∠B+∠A,∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠B=∠ACD. .∠A=∠DCE, 在△ABC和△CED中， 「∠A=∠DCE AB=CE ∠B=∠E :△ABC≌△CED(ASA) .AC=CD 根据三角形的外角性质可得∠A=∠DCE,再证明△MBC≌aCED(ASA） 即可得到结论 证明：略 11.见解析 根据三角形外角的性质求出∠BAD=∠CDE,证明 ABD≌ADCE(ASA) 可知BD=CE 证明：：∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B, ∴.∠BAD=∠CDE '∠B=∠C,AB=DC, ∴.△ABD≌△DCE(ASA) ..BD=CE 12.C 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，根据 △ABE≌△CAF 得出△1CF与△MBE的面积相等，可得 S能+S,cr=S,4@m,即可得出答案。 解：：∠BED=∠CFD=∠BAC,∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠CFD=∠FCA+∠CAF, ∴.∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA, 在△ABE和△CAF中， I∠ABE=∠CAF AB=AC ∠BAE=∠ACF' △ABE≌ACAF(ASA) ,S△Ms=SAACE SRE+S CDF=S.ACD .DC=3BD ∴.BC=4BD. :5mc=20 w=3 SABE+S.CDF=S.4CD=15 故选：C. 13.15 BD 1 先证△ABE≌△CAF得出△ABE和△CAF的面积相等，可得SAB+SAcD-SACP, 然后再根据BC4求解 即可. 解：，∠BED=∠CFD=∠BAC, ∠BED∠BAE+∠ABE,∠BAC-∠BAE+∠CAF,∠CFD=∠FCA+∠CAF ∴，∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA 在△ABE和△CAF中 I∠ABE=∠CAF AB=AC ∠BAE=∠FCA △ABE≌ACAF(ASA) SARE =S.CAF SAME+S.CDF=S.CAF+S.CDF =S.4CD BD 1 BC=4 S.A0C=20 :8n-=15 4 故答案为15 14.(1)证明：∠BED=∠DFC, ∴.180°-∠BED=180°-∠DFC, ∠BEA=∠AFC, :∠BED=∠BAC, .∴.∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAF ∴∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中， I∠BEA=∠AFC BE=AF ∠ABE=∠CAF ∴.△ABE≌ACAF(ASA) .AE=CF; (2)∠BDE=97.5° (1)证明△1BE2ACMF(ASA) 即可证得结论： (2)先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得∠BAE=∠ACF=15°，∠CAD=2∠BAD=30°， 则∠BAC=45°，然后根据三角形的内角和定理求得∠ACB=67.5°，最后利用三角形的外角性质求解即可. (1)略 (2)解：：△ABE≌ACAF ∴∠BAE=∠ACF=15 ∴.∠CAD=2∠BAD=30° ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=45° ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ABC=∠ACB, ∴24CBx030-459)-6750 .∠BDE=∠CAD+∠ACB=30°+67.5°=97.5° 15.证明：∠AEB=130°， .∠ABE+∠BAE=∠I80-AEB=50°， '∠BAC=∠BAE+∠FAC=50°， .∠ABE=∠FAC, 在△ABE和△CAF中， I∠ABE=∠FAC ∠AEB=∠AFC AB=AC 、△ABE≌ACAF(AAS) ..AE=CF 先明∠ABE=∠BC.适有结合已知让明△MBE2,C1MS),根知金等三角形的性质即可得正。 略 16.2 本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出∠ADP=∠EPD. 先过P'作PE⊥AC于E,根据△DAP≌APED,可得P'E=AD=2,再根据当AP=DE=2时，DE=DC, 即点E与点C重合，即可得出线段CP的最小值为2. 解：，点D是AC中点，AC=4, .AD=CD=2, 如图所示，过P'作PE⊥AC于E,则∠A=∠PED=90°， A D B DP=P'D,∠PDP'=90° .∠ADP=∠EPD=90°-∠CDP', .DP=P'D ∴.ADAP2△P'ED(AAS) .P'E AD=2, .当AP=DE=2时，DE=DC, 即点E与点C重合，此时CP'=EP'-2, 线段CP的最小值为2. 故答案为：2. 17.64 本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关 键.作AG⊥BC于点G,作EF⊥BD于点F,三线合一，得到BG=CG=8,证明△AGC≌aCFE,进而 得到EF=CG,再利用面积公式进行求解即可. 解：作AG⊥BC于点G,作EF⊥BD于点F,则∠AGC=∠EFC=90°， B GC F D AB=AC, :BG-CG-1BC-8, AC⊥CE, .∠ACE=90°， ∴.∠ACG=∠CEF=90°-∠ECF, 又，AC=CE .△AGC≌aCFE(AAS) ..EF=CG=8. &ABCE的面积为)EF.BC16x8=64 故答案为：64， 18.8 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为 解题的关键， 如图：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BF于E,即∠DFC=∠AEC=9O°，先证明 △FDC≌ECA(AAS)可得DF=EC,再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得DF-BC,最后根据 21 △BCD的面积为16列方程求解即可. 解：如图：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BF于E,即∠DFC=∠AEC=9O°， .∠DCF+∠FDC=90°， DC⊥AC, .∠DCF+∠ACE=90°， ∴.∠FDC=∠ACE」 .DC=AC. ,△FDC≌ECA(AAS) .DF=EC, ,AE⊥BC,AB=AC, 1 六BC=2EC=2DF,即DF=)BC 2 △BCD的面积为16， 1 &CDF=l6,即5BC·B0 解得：BC=8(已舍弃负值). 故答案为：8. 19.(1)8 ②点4的坐标为42）， ③)存在，点2坐标为-2,4)或4，-2) I)由“AAS”可证△DAC≌aECB可得CE=AD=5,CD=BE=3,据此计算即可求解： (2)过点A作ACLx轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,证明△CAO≌△DOB,求得AC=OD=2, OC=BD=4,据此求解即可； (3)分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可. (1)解：∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， .∠DAC=90°-∠ACD=∠ECB, .CA=CB △DAC≌AECB(AAS) .'CE=AD=5,CD=BE=3, .DE=3+5=8. (2)解：过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, D :∠AOB=90°，AC⊥x轴，BD⊥x轴， .∠ACO=∠ODB=∠AOB=90°， .∠CA0=90°-∠AOC=∠DOB, .OA=OB ,△CAO≌△DOB(AAS) 点B的坐标为 2,4) .AC=OD=2,OC=BD=4. ·点4的坐标为4,2） (3)解：存在点Q,使得△OP吧是等腰直角三角形， 如图，当点O在第二象限内时，过点P作EF⊥x轴于F,过点O作EQ⊥FE于E, :点P3) .PF=1,FO=3. EF⊥FO,EQ⊥EF, .∠E=LOPQ=∠PF0=90 .∠EPQ+∠OPF=90°=∠POF+∠OPF .∠POF=∠EPQ. 又.Pg=OP △PFO≌AQEP(AAS) ..PF=EO=1,PE=OF=3, ∴.EF=4, 点(24到 如图，当点Q在第三象限内时，过点P作EF⊥y轴于F,过点作QE1FP交FP的延长线于E, y E PFO≌△OEP(AAS) 同理 P-3) ..PF=EO=3,PE=OF=1, .EF=4, 点(4-2) 综上所运：点9坐标为24)或4-2列