4.1.1三角形的有关概念及三边关系 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 \(\boldsymbol{3}\).\(\boldsymbol{3}\).2 二次根式的混合运算 专项练习 ## 知识点回顾 运算顺序：**先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内**。 整式的运算法则、乘法公式在二次根式中全部适用： 1. 分配律：$\(m(a+b)=ma+mb\)$ 2. 平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ \(\boldsymbol{3}\). 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$ 解题要点： 1. 乘除优先，加减最后；加减前必须化成最简二次根式，只合并同类二次根式； 2. 利用乘法公式可以简化计算； \(\boldsymbol{3}\). 结果一定要化为**最简二次根式**，分母不含根号； 4. 注意符号，去括号仔细。 满分：1\(\boldsymbol{0}\)\(\boldsymbol{0}\)分 时间：4\(\boldsymbol{0}\)分钟 ## 一、选择题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 1. 计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$的结果是（） A.$\sqrt{16}-\sqrt2$　B.$2$　C.$4-\sqrt2$　D.$6$ 2. $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$等于（） A.$1$　B.$2$　C.$\(\boldsymbol{3}\)$　D.$5-4$ \(\boldsymbol{3}\). $(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+1)^2$的结果是（） A.$4$　B.$4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$　C.$\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)$　D.$\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$ 4. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$ B.$\sqrt8\div\sqrt2=2$ C.$\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt2=\(\boldsymbol{3}\)$ D.$\sqrt2\times\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$ 5. $(2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$等于（） A.$2-\sqrt2$　B.$2-\sqrt6$　C.$\sqrt2$　D.$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2$ ## 二、填空题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 1.$(\sqrt{\(\boldsymbol{7}\)}+\(\boldsymbol{3}\))(\sqrt\(\boldsymbol{7}\)-\(\boldsymbol{3}\))=$________。 2.$(\sqrt5-\sqrt2)^2=$________。 \(\boldsymbol{3}\).$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt{12}-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))=$________。 4.$(\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt2)(\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)=$________。 5.$\sqrt{24}\times\dfrac12-\sqrt6=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分，共\(\boldsymbol{3}\)2分） 1. 计算： （1）$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt6-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$　　（2）$\sqrt{8}(\sqrt2-\sqrt{\dfrac12})$ 2. 计算： （1）$(2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\))(2-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$　　（2）$(\sqrt5+\sqrt2)^2$ \(\boldsymbol{3}\). 计算： （1）$(\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}-\sqrt{12})\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$　　（2）$(\sqrt{18}-\sqrt8)\times\sqrt2$ 4. 计算：$\sqrt{12}+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\times(\sqrt6-\sqrt2)$ ## 四、拓展提升题（每题14分，共28分） 1. 计算：$(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+\sqrt2)^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)^2$ 2. 已知$a=\sqrt2+1$，求代数式$a^2-2a+1$的值。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：$\sqrt2\times\sqrt8-\sqrt2\times\sqrt2=\sqrt{16}-2=4-2=2$ 2. A 解析：平方差，$(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$ \(\boldsymbol{3}\). B 解析：完全平方，$(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)^2=\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)=4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$ 4. B 解析：A不能合并；C结果$2\sqrt2$；D结果$\sqrt6$ 5. A 解析：$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=2-\sqrt2$ ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{-2}$ 2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)-2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$ \(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)}$ 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)}$ ## 三、基础解答题 1.（1） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{18}-\sqrt9\\ &=\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\) \end{align}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\)}$ （2） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt8\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt{\dfrac12}\\ &=\sqrt{16}-\sqrt4=4-2=\boldsymbol{2} \end{align}$ 2.（1）原式$=2^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2=4-\(\boldsymbol{3}\)=\boldsymbol{1}$ （2）原式$=(\sqrt5)^2+2\sqrt5\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)+2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$ \(\boldsymbol{3}\).（1） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt{12}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\\ &=\sqrt9-\sqrt4=\(\boldsymbol{3}\)-2=\boldsymbol{1} \end{align}$ （2） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{18}\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt2\\ &=\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)6}-\sqrt{16}=6-4=\boldsymbol{2} \end{align}$ 4. 解： $\begin{align} \text{原式}&=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt{18}-\sqrt6\\ &=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6 \end{align}$ $\boldsymbol{2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： 方法一：完全平方展开 $\begin{align} \text{原式}&=(\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt6+2)-(\(\boldsymbol{3}\)-2\sqrt6+2)\\ &=5+2\sqrt6-5+2\sqrt6=\boldsymbol{4\sqrt6} \end{align}$ 2. 解： $a^2-2a+1=(a-1)^2$ 代入$a=\sqrt2+1$ $\begin{align} \text{原式}&=(\sqrt2+1-1)^2=(\sqrt2)^2=\boldsymbol{2} \end{align}$ ## 易错警示 1. 混合运算顺序不能乱，**先乘除，后加减**； 2. 乘法公式可以直接套用，简化计算； \(\boldsymbol{3}\). 不要把被开方数直接加减； 4. 除法分配律只适用于**分子是和差、分母是单项式**的情况，不能反过来拆分分母； 5. 结果必须化为最简二次根式。 下一节：**第4章 一元二次方程 4.1.1 一元二次方程的概念**，继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.1.1三角形的有关概念及三边关系 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 1 2 3 理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形．（重点） 理解三角形按边的数量关系分类；（重点） 掌握三角形三边关系并运用它解决相关问题。（难点） 学习目标 导入新课 观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来. 02 新知导入 不在同一直线上 议一议 观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？ 首尾相接 4 03 新知探究 探究一 三角形的概念及表示方法 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 三角形可用符号“”来表示，如图中的三角形可记作“ABC ”，读作“三角形 ABC ”. 03 新知探究 A，B，C 叫作ABC 的顶点； ∠A，∠B，∠C叫作ABC 的内角（简称ABC 的角）； 线段AB，BC，CA叫作ABC 的边. 通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示. 03 新知探究 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 03 新知探究 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 注意 03 新知探究 探究二 三角形三边之间的关系 思考 在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？ 基本事实：两点之间，线段最短 AB+AC >BC, AB+BC >AC, AC+BC >AB. 9 03 新知探究 三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差有什么关系？ 三角形的任意两边之差小于第三边. 03 新知探究 由于AB+AC >BC, 根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC, 即BCAC< AB, 同理可得ACAB< BC, ABC< AC. 三角形三边之间的关系: 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 03 新知探究 如图，D是ABC的边AC上一点，且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系. 例1 解：因为AC=AD+DC， 又AD=BD， 则AC=BD+DC. 在BDC 中，BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边）， 所以AC >BC. 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 返回 2. 如图所示，以A为顶点的三角形有______个，以∠C为内角的三角形有________________________．在△ACE中，AC所对的角是________，∠C所对的边是________，以线段AD为边的三角形有____________________． 6 ，， △ABD，△ADE，△ADC 举一反三 返回 3．如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(　　) A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 D 举一反三 15 03 新知探究 探究三 三角形的高、角平分线、中线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高. 16 03 新知探究 做一做 如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线. 17 03 新知探究 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC. 几何语言 ∵ AD是ABC 的角平分线， ∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC. 18 03 新知探究 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC. 几何语言 ∵AE是ABC的中线， ∴BE=EC. 19 03 新知探究 说一说 任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？ 它们相交于一点. 20 03 新知探究 三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心. 三角形的重心一定在三角形的内部. 注意 21 03 新知探究 例2 解： 图中有6个三角形，它们分别是： ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC. 如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 . （1） 图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2） 图中哪些三角形的面积相等？ 03 新知探究 例2 解： 因为AD是ABC的中线， 所以BD=DC. 因为AE是ABC的高线，也是ABD和ADC的高线， 所以= BD⋅AE， = DC⋅AE， 因此=. 如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 . （2） 图中哪些三角形的面积相等？ 新知应用 基础巩固题 1.下列图形属于三角形的是( ) . B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3，4，8 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 5，6，10 （ ） （4） 3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 三角形的任意两边之和大于第三边 3+48 3+58 新知应用 基础巩固题 3. 五条线段的长分别为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成____个三角形. 3 4.如图所示的三角形中，是等腰三角形的有________.（填序号） ①②④ 三角形的任意两边之和大于第三边 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 新知应用 基础巩固题 5.如图. （1）图中共有___个三角形，它们分别__________ ________________________________________； （2）以AD为边的三角形有_______________________； （3）∠AED是的______，______内角. 6 △ABD、 △ADE、 △AEC、 △ABE、 △ADC、 △ABC △ABD、 △ADE △ABE △ADE、 △ADC 返回 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足 a2－6a＋b2－4b＋13＝0，c为奇数，则△ABC按边分类 为___________三角形． 等腰 举一反三 27 返回 5. 满足下列条件的三条线段，， ，能组成三角形的有 ( ) C ，，；，， ； ；， ， . A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 举一反三 返回 6. 若使用如图所示的①②两根铁丝做成一 个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成 两段的铁丝是( ) A A. 只有①可以 B. 只有②可以 C. ①②都可以 D. ①②都不可以 举一反三 29 7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是______________． 3b－a－c 返回 举一反三 30 返回 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长 的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___. 8 【点拨】因为是等腰三角形， 为底边， 所以.①当时， ; ②当时， ,此时不符合三角形 的三边关系，所以不能构成三角形，故不符合题意. 所以腰 的长为8. 举一反三 31 9. 如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木 条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相 邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相 邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹 C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大为( ) 举一反三 32 课堂小结 三角形的相关概念及三边关系 三角形 按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形，用符号“△”来表示 三角形的顶点、内角、边 等边三角形 腰和底边不相等的三角形 谢谢观看 THANKS $