18.5 分式方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

初中数学 · 八年级上册 18.5 分式方程 第十八章 分式 18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 基础题 ▍ 知识点1 分式方程的概念 1. 下列方程中，是分式方程的是（　） A. B. C. D. 2. 【新考向】【开放性问题】利用式子 ，，3 组成一个分式方程：＿＿＿. ▍ 知识点2 分式方程的解法 3. 解分式方程 ，去分母得（　） A. B. C. D. 4. 分式方程 的解是（　） A.3 B.2 C. D. 方法指导 解 型的分式方程，采取交叉相乘，即 的方法，可以避免寻找最简公分母的烦恼，既轻松快捷，又能成功去掉分母. 5. 分式方程 的解为＿＿＿. 6. 若分式 与 相等，则 ＿＿. 7. 已知关于 的方程 的解为 ，则 ＿＿. 8. 解下列方程： (1) . (2) . ▍ 易错点1 在解分式方程时忽略各步骤的注意事项而算错 9. 小明解分式方程 时，出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得 . …第一步 解得 . …第二步 ∴原分式方程的解为 . …第三步 (1)小明解答过程是从第＿＿步开始出错的，这一步正确的解答结果为＿＿＿＿＿，根据是＿＿＿. (2)小明的解答过程缺少什么必要步骤？ (3)请写出此题正确的解答过程. ▍ 易错点2 考虑问题不全面致错 10. 关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围为＿＿＿. 中档题 11. 对于实数 ，，定义一种新运算“⊗”：，这里等式右边是实数运算. 例如：，则方程 的解是（　） A. B. C. D. 12. 当 ＿＿时，关于 的方程 的解与方程 的解相同. 13. 已知关于 的方程 无解，则 ＿＿＿. 14. 解下列方程： (1) . (2) . 15. 如图，点 ， 在数轴上，点 在点 的左侧，它们所表示的数分别是 和 ，且点 到原点的距离比点 到原点的距离大 3，求 的值. 综合题 16. 【新考向】【阅读理解】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程 的解为 ，； 方程 的解为 ，； 方程 的解为 ，； …… (1)观察上述方程的解，猜想方程 的解是＿＿＿＿＿. (2)根据上面的规律，猜想方程 的解是＿＿＿＿＿. 知识拓展： (3)根据上述规律，解方程：. 第2课时 分式方程的实际应用 基础题 ▍ 知识点1 工程问题 1. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修 9 千米，乙工程队需要修 12 千米. 已知乙工程队每个月比甲工程队多修 1 千米，最终用的时间比甲工程队少半个月. 设甲工程队每个月修 千米，则可列出方程为（　） A. B. C. D. 2. 国内某 AI 公司研发的两个 AI 模型 R1 和 R2 共同处理一批数据. 已知 R2 单独处理数据的时间比 R1 少 2 小时，若两模型合作处理，仅需 1.2 小时即可完成. 设 R1 单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（　） A. B. C. D. 3. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片.”某种稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品. 某收割队承接了 60 hm 水稻的收割任务，为了让大米早日上市，实际工作效率比原来提高了 20％，结果提前 2 天完成任务. 设原计划每天收割的面积为 hm，则列方程为＿＿＿. 4. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产 100 件，改造后生产 600 件的时间与改造前生产 400 件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为＿＿＿. ▍ 知识点2 行程问题 5. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，在某路口的斑马路段 A－B－C 横穿双向车道，其中， 米，在人行绿灯亮时，小刚共用时 10 秒通过 AC 段，其中通过 BC 段的速度是通过 AB 段速度的 1.2 倍，求小刚通过 AB 段的速度. 设小刚通过 AB 段的速度为 米/秒，则根据题意列方程为（　） A. B. C. D. 6. 一艘货轮在静水中的航速为 40 km/h，它以该航速沿江顺流航行 120 km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行 80 km 所用时间相等，则江水的流速为（　） A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 7. 列分式方程解应用题： 小峰和小伟相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求小伟乘公交车、小峰骑自行车每小时分别行多少千米. 中档题 8. 小强的爸爸平常开车从家到小强奶奶家，匀速行驶需要 4 h. 某天，他以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了 20 km/h，到达奶奶家时共用了 5 h，则小强家到他奶奶家的路程是＿＿＿＿ km. 9. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间. 某农产品加工企业有甲、乙两个组共 35 名工人，甲组每天加工 3 000 件农产品，乙组每天加工 2 700 件农产品. 已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 1.2 倍，求甲、乙两组各有多少名工人. 10. 小刚家到学校的距离是1 800米. 某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有 20 分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校. 已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用时间少 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍. (1)求小刚跑步的平均速度. (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由. 综合题 11. 下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程. 根据以上信息，解答下列问题. (1)冰冰同学所列方程中的 表示＿＿＿＿＿＿＿，庆庆同学所列方程中的 表示＿＿＿＿＿. (2)两个方程中任选一个，写出它的等量关系. (3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题. 参 考 答 案 第1课时 分式方程及其解法 1. B 2. （答案不唯一，合理即可） 3. D 4. D 5. 6. 3 7. 2 8. 解：(1)方程两边乘 ，得 . 解得 . 检验：当 时，. ∴原分式方程的解为 . (2)方程两边乘 ，得 . 解得 . 检验：当 时，，∴ 不是原方程的解. ∴原分式方程无解. 9. 解：(1)一　　等式的性质2 (2)小明的解答过程缺少检验. (3)去分母，得 . 解得 . 检验：当 时，. ∴原分式方程的解为 . 10. 且 11. B 12. 13. 6 14. 解：(1)方程两边乘 ，得 . 解得 . 检验：当 时，. ∴原分式方程的解为 . (2)方程两边乘 ，得 . 解得 . 检验：当 时，. ∴原分式方程无解. 15. 解：根据题意，得 . 解得 . 经检验， 是分式方程的解. ∴ 的值为 1.5. 16. 解：(1)， (2)， (3)原方程可变形为 . 由上述规律，得 或 . 解得 ，. 经检验，， 是原方程的解. ∴，. 第2课时 分式方程的实际应用 1. A 2. C 3. 4. 300 5. C 6. D 7. 解：设小峰骑自行车每小时行 千米，则小伟乘公交车每小时行 千米. 由题意，得 ，解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. ∴. 答：小伟乘公交车、小峰骑自行车每小时分别行 30 千米、15 千米. 8. 240 9. 解：设甲组有 名工人，则乙组有 名工人. 根据题意，得 ，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. ∴. 答：甲组有 20 名工人，乙组有 15 名工人. 10. 解：(1)设小刚跑步的平均速度为 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为 米/分. 根据题意，得 ，解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 答：小刚跑步的平均速度为 150 米/分. (2)他不能在上课前赶回学校. 理由如下：由(1)得，小刚跑步的平均速度为 150 米/分，则小刚跑步所用时间为 (分)，骑自行车所用时间为 (分). ∵在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 (分). ∵，∴小刚不能在上课前赶回学校. 11. 解：(1)甲队每天修路的长度　甲队修路 400 m（或乙队修路 600 m）所用的时间 (2)冰冰同学所列方程的等量关系：甲队修路 400 m 所用的时间＝乙队修路 600 m 所用的时间；庆庆同学所列方程的等量关系：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20 m. (3)选冰冰同学所列的方程：，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. ∴甲队每天修路的长度为 40 m. 选庆庆同学所列的方程：，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. ∴. ∴甲队每天修路的长度为 40 m. 第 1 页 · 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $