18.5 分式方程 同步训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

数学 · 八年级上 18.5　分式方程 第1课时 分式方程及其解法 【巩固提升】 1．分式方程 的解是（　） A． B． C． D． 2．若关于 的分式方程 有解，则 的取值范围为（　） A． B． C． D． 3．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是＿＿． 4．已知关于 的分式方程 无解，求 的值． 5．解方程： (1)； (2)． 【素养创新】 6．阅读材料，解答下列问题：当 时，一般来说会有 ，然而当 和 是特殊的分数时，这个等式却是成立的．例如：，，………… 【特例验证】(1)请再写出一个具有上述特征的等式：＿＿＿＿＿＿． 【猜想结论】(2)用 （ 为正整数）表示分数的分母，上述等式可表示为＿＿＿＿＿＿． 【证明推广】(3)①(1)(2)中得到的等式一定成立吗？请说明理由．②等式 （， 为任意实数，且 ）成立吗？若成立，请写出一个这种形式的等式（要求 ， 中至少有一个为无理数）；若不成立，请说明理由． 第2课时 实际问题与分式方程 【巩固提升】 7．某次自然灾害导致某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段长 m 的铁路隧道，施工队每天比原计划多修 m，结果提前 天完成任务，原计划每天修多少米？设原计划每天修 m，则所列方程正确的是（　） A． B． C． D． 8．张老师和李老师住在同一个小区，距离学校 m，某天早晨，张老师和李老师分别于 时 分、 时 分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的 倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是 m/min，则可列得方程为（　） A． B． C． D． 9．某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，在全市打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买 A，B 两种绿植，已知 A 种绿植的单价是 B 种绿植单价的 倍，用 元购买的 A 种绿植比用 元购买的 B 种绿植少 株．设 B 种绿植的单价是 元，则可列方程是（　） A． B． C． D． 10．小明和同学们去距离学校 km 的某景点参观，小明骑自行车先走，过了 min，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度比小明骑车的速度快 km/h．设小明骑车的速度为 km/h，则所列方程正确的是（　） A． B． C． D． 11．某市为绿化环境计划植树 棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多 ，结果提前 天完成任务．若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方程为＿＿＿＿＿＿ ． 12．A，B 两地相距 km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行驶的长途客车的平均车速提高了 ，从 A 地到 B 地的时间缩短了 h．若设原来的平均车速为 km/h，则根据题意可列方程为＿＿＿＿＿＿ ． 13．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共 名工人．甲组每天加工 件农产品，乙组每天加工 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 倍，甲、乙两组各有多少名工人？ 14．某校八年级两个班均为某敬老院捐款 元．已知 (2) 班比 (1) 班人均多捐款 元，(2) 班的人数比 (1) 班的少 ．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 15．乡村振兴路先行，修路便民暖人心．为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两个施工队合作完成任务，尽快修一条全长 m 的道路，最终甲队所修的道路长度比乙队所修的 倍少 m． (1)甲、乙两队各修道路多少米？ (2)实际修路过程中，甲队每天修的长度是乙队每天修的 倍，最终甲队完成任务的时间比乙队多 天，则甲队每天修道路多少米？ 【素养创新】 16．某消防队训练，两个小组从某栋楼一楼同一起点同时开始攀登，该栋楼共 层（每层楼的高度约为 m，不考虑实际楼层的高度差异），第一小组的攀登速度是第二小组的 倍，第一小组比第二小组早 min 到达顶楼． (1)求第二小组的攀登速度； (2)两个小组在顶楼休息片刻后同时下楼，他们下楼的速度都比各自上楼的速度快 m/min，哪个小组先回到一楼起点？比另一个小组快多长时间？ 【提优挑战】 17．甲、乙两个工程队参与某项工程，甲队单独施工需 个月才能完成任务，若乙队先单独施工 个月，甲、乙两队再合作 个月可完成这项工程．甲队每月施工费为 万元，乙队每月施工费为 万元． (1)乙队单独施工需几个月才能完成任务？ (2)计划两年内完工且为了降低成本，甲、乙两队同时施工，甲队完成一部分工程用 个月，乙队完成另一部分工程用 个月，甲队施工不超过 个月，乙队施工不超过 个月，， 都为正整数，则施工方案有几种？哪种施工方案的费用最低？ 参考答案 1．C　解析：方程去分母，得 ，解得 ．检验：当 时，．所以，原分式方程的解为 。 2．C　解析：方程两边乘 ，得 ．因为原分式方程有解，所以 ，即 ，所以 。 3．　解析：解不等式 ，得 ．解不等式 ，得 ．由题意，得 ，解得 ．解关于 的分式方程 ，得 ，且 ．由题意，得 ，且 是整数，即 ，且 是整数．当 时，；当 时，（不合题意，舍去）；当 时，，所以符合条件的 的值为 ，．因为 ，所以所有满足条件的整数 的值之和是 。 4．解：方程去分母并整理，得 ．①当 ，即 时，整式方程 无解，则原分式方程也无解；②当 时，要使原分式方程无解，则 或 ．当 时，，解得 ；当 时，，矛盾．综上所述， 的值为 或 ． 5．解：(1)方程两边乘 ，得 ，解得 ．检验：当 时，，因此 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．(2)方程两边乘 ，得 ，解得 ．检验：当 时，．所以，原分式方程的解为 ． 6．解：(1)（答案不唯一）(2)．(3)①成立．理由有如下：因为 ，，所以 ．②成立．例如：．（答案不唯一） 7．B　解析：由题意，得实际每天修 m，所以实际修完需要的时间为 天，计划修完需要的时间为 天．因为提前 天完成任务，所以可列方程为 。 8．A　解析：由题意，得李老师骑自行车的速度是 m/min．根据题意可得 。 9．C　解析：因为 A 种绿植的单价是 B 种绿植单价的 倍，B 种绿植的单价是 元，所以 A 种绿植的单价是 元．根据题意，得 。 10．D　解析： min h．因为小明骑车的速度为 km/h，所以汽车的速度为 km/h，根据题意，得 。 11．　解析：因为原计划每天植树 棵，所以实际每天植树 (棵)．根据题意，得 。 12．　解析：因为 A，B 两地间行驶的长途客车的平均车速提高了 ，所以现在长途客车的平均速度为 km/h．因为从 A 地到 B 地的时间缩短了 h，所以利用时间差值可得 ，即 。 13．解：设甲组有 名工人，则乙组有 名工人．根据题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．所以 ．答：甲组有 名工人，乙组有 名工人． 14．解：答案不唯一，合理即可．举例如下：问题 1：求两个班的人均捐款各是多少元．解：设 (1) 班人均捐款 元，则 (2) 班人均捐款 元．根据题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．所以 ．答：(1) 班人均捐款 元，(2) 班人均捐款 元．问题 2：求两个班各有多少人．解：设 (1) 班有 人，则 (2) 班有 人．根据题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．所以 ．答：(1) 班有 人，(2) 班有 人． 15．解：(1)设甲队修道路 m，乙队修道路 m．由题意，得 解得 答：甲队修道路 m，乙队修道路 m．(2)设乙队每天修道路 m，则甲队每天修道路 m．由题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．所以 (m)．答：甲队每天修道路 m． 16．解：(1)设第二小组的攀登速度为 m/min，则第一小组的攀登速度为 m/min．因为该栋楼共 层，每层楼的高度约为 m，所以攀登的高度为 层楼的高度，即 (m)．依题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．所以第二小组的攀登速度是 m/min．(2)由(1)，知第一小组的攀登速度是 (m/min)．所以第一小组下楼的速度是 m/min，下楼所用的时间为 min；第二小组下楼的速度是 m/min，下楼所用的时间是 min．所以 (min)．答：第一小组先回到一楼起点，比第二小组快 min． 17．解：(1)设乙队单独施工需 个月才能完成任务，记总工作量为 ．根据题意，得 ，解得 ．经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工需 个月才能完成任务．(2)由题意，得 ，所以 ，所以 ．因为 ，，所以 解得 ．因为 ， 都为正整数，所以 为 的倍数，即 或 或 所以甲、乙两队的施工方案有 种．施工方案①：安排甲队施工 个月，乙队施工 个月，费用为 (万元)；施工方案②：安排甲队施工 个月，乙队施工 个月，费用为 (万元)；施工方案③：安排甲队施工 个月，乙队施工 个月，费用为 (万元)．所以安排甲队施工 个月，乙队施工 个月，所支付费用最低． 人教版八年级上 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $