15.3 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

初中数学 · 八年级上册 15.3 等腰三角形 第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 基础题 ▍ 知识点1 等边对等角 1. 一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为（　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，点分别在的延长线上，且，则的度数是（　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（　） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则＿＿＿. 5. 如图，在中，是边上的一点. 若，，则的度数为＿＿＿. 6. 如图，在中，，. (1)图中共有＿＿＿个等腰三角形. (2)求的度数. ▍ 知识点2 三线合一 7. 如图，在中，，于点，则下列结论中不一定成立的是（　） A. B. C. D. 8. 已知是等腰三角形底边上的高，若点到直线的距离为，则点到直线的距离为（　） A. B. C. D. 9. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，是的中点，且顶角，则＿＿＿. 10. 如图，在中，，是边上的中线，于点. 求证：. ▍ 易错点 等腰三角形的角不明确，需要分类讨论 11. (1)若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形底角的度数为＿＿＿. (2)若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形底角的度数是＿＿＿. 中档题 ▍ 新考向 真实情境 12. 某平板电脑支架的示意图如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若增大，则的变化情况是（　） A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 13. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图所示. 其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，，则下列推断错误的是（　） A. B. C. D. 14. 有一个问题：如图1，已知，只用无刻度的直尺和圆规判断是否为直角. 小意同学的方法如下：如图2，在上分别取点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则. 小意同学判断的依据是＿＿＿. 15. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是＿＿＿. ▍ 方程思想 16. 如图，在中，，点分别在上，且，，求的度数. 综合题 17. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点. (1)若，求的度数. (2)如果将(1)中的度数改为，其余条件不变，则的度数为＿＿＿. (3)你发现与有什么数量关系，直接写出你的结论. 第2课时 等腰三角形的判定 基础题 ▍ 知识点1 等腰三角形的判定 1. 根据图中所标的数据，下列说法正确的是（　） A.①是等腰三角形 B.②是等腰三角形 C.①和②均是等腰三角形 D.①和②都不是等腰三角形 2. 如图，在中，，，是上一点，且，则图中等腰三角形的个数为（　） A. B. C. D. 3. 如图，，，交于点. 求证：是等腰三角形. ▍ 知识点2 等腰三角形性质与判定的综合 4. 如图，在中，，是边上的中点，连接，则（　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别在边上取点，使. 若，则的度数为＿＿＿. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，. 若，则的长是＿＿＿. 7. 如图，在中，，，平分交于点，于点. 求证：. ▍ 知识点3 用尺规作等腰三角形 8. 已知等腰三角形的底边长为，顶角的平分线的长为，求作这个等腰三角形. ▍ 易错点 因不明确等腰三角形的腰长和底边长而出错 9. 如图，已知是射线上一动点，. 当＿＿＿时，是等腰三角形. 中档题 10. 如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点. 若，，则＿＿＿. 11. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的点处，它以海里/时的速度向正北方向航行，小时后到达位于灯塔的北偏东的点处，则点处与灯塔的距离为（　） A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 12. 如图，下列个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　） A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④ 13. 如图1，在中，，为延长线上一点，且交于点. (1)求证：是等腰三角形. (2)如图2，在(1)的条件下，为的中点. 求证：. 综合题 14. 如图，在中，，，点在线段上运动（点与两点不重合），连接，作，交线段于点. (1)当时，＿＿＿；当点从点向点运动时，逐渐变＿＿＿（填“大”或“小”）. (2)当时，求的度数. (3)在点的运动过程中，的形状也在改变. 请判断当等于多少度时，是等腰三角形（直接写出结论，不用说明理由）. 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 基础题 ▍ 知识点1 等边三角形的性质 1. 下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（　） A.等边三角形的三条边都相等 B.等边三角形的三个内角都等于 C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D.等腰三角形具有等边三角形的性质 2. 如图，在等边三角形中，是边的中点. 若，则＿＿＿＿＿，＿＿＿. 3. 已知等边三角形的边长如图所示，那么＿＿＿. 4. 如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上. 若，则的度数是＿＿＿. 5. 如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接. 求证：. ▍ 知识点2 等边三角形的判定 6. 下列说法中，正确的是＿＿＿.（填序号） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形； ⑤三边都相等的三角形是等边三角形. 7. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（，为小路的两端点）和一棵小树（为小树位置），测得，， m，则＿＿＿m. 8. 如图，以直角顶点为圆心，适当长为半径画一条弧，分别交直角两边于，两点. 若再以点为圆心，的长为半径画弧，与前弧交于点，则＿＿＿. 9. 如图，已知为的中点，，，垂足分别为，，且，. 求证：是等边三角形. 中档题 ▍ 新考向 真实情境 10. 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且. 若的长度为 cm，则此时，两点之间的距离为（　） A.40 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 11. 如图，是等边三角形，点，，分别在，，上. 若，，则（　） A. B. C. D. 12. 含角的直角三角板与直线，的位置关系如图所示，已知，，以下四个结论中正确的是＿＿＿（填序号）. ①为等边三角形；②；③；④. 综合题 13. 如图，在四边形中，，，，为上一点，连接，相交于点，. (1)判断的形状，并说明理由. (2)若，，求的长. 14. 如图1，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接. (1)和全等吗？请说明理由. (2)求证：. (3)如图2，动点运动到边的延长线上，仍为等边三角形，请问是否仍有？证明你的猜想. 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 基础题 ▍ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1. 如图，在Rt中，，，，则的长是（　） A.6 B.7 C.8 D.9 2. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 m处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则这棵树折断前的高度为（　） A.6 m B.9 m C.10 m D.12 m 3. 如图，是等边三角形，是的中点，，，则（　） A.6 B.8 C.9 D.12 4. 如图，在中，，，，，则的长为（　） A.2 B.4 C.8 D.16 5. 如图，在Rt中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点. 若，则＿＿＿. 6. 如图，在中，，，交于点. 若，则的长为＿＿＿. 7. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择一种进行证明. 选择方法＿＿＿. 中档题 8. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕. 在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为 m，则底边上的高是（　） A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 9. 如图，在Rt中，，的垂直平分线分别交，于点，，平分，，＿＿＿. 10. 如图，，点在边上，，点，在边上，. 若，则＿＿＿. 11. 高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点，之间的距离为 cm，双翼的边缘 cm，且与闸机侧立面夹角. 一名旅客携带如图2所示的长方体行李箱进站（单位：cm），当双翼收回闸机箱内时，通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机. 综合题 12. 如图，在中，，， cm，点从点以 cm/s的速度向点运动，同时点从点以 cm/s的速度向点运动，运动时间为 s. (1)当＿＿＿时，为等边三角形. (2)当为何值时，为直角三角形？ 参 考 答 案 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1. B 2. B 3. B 4. 5. 6. 解：(1) (2)∵，，∴，. 设，则. ∴，∴. 在中，，∴，解得. ∴. 7. D 8. C 9. 10. 证明：∵，是边上的中线，∴，. ∵，∴. ∴. ∴. 11. (1)或 (2) 12. D 13. B 14. 等腰三角形“三线合一” 15. 或 16. 解：设. ∵，∴. ∵，∴. ∴. 又∵，∴. ∵，∴. ∵，∴. 在中，，∴，解得. ∴. 17. 解：(1)∵，∴. ∴. ∵，∴. (2) (3). 理由如下：∵，∴. ∴. ∵，∴. 第2课时 等腰三角形的判定 1. B 2. C 3. 证明：∵，∴. ∵，∴. ∴是等腰三角形. 4. A 5. 6. 7. 证明：∵平分，∴. ∵，∴. ∴. ∴为等腰三角形. ∵，∴. 8. 解：图略. 9. 或或 10. 11. D 12. D 13. 证明：(1)∵，∴. ∵，∴，. ∴. ∵，∴. ∴. ∴是等腰三角形. (2)过点作于点. ∵，∴. ∵，，∴. ∵为的中点，∴. 在和中，，，，∴(AAS). ∴. ∴. 14. 解：(1) 小 (2)∵，，∴，. ∵，∴. ∴. ∵，∴. ∴. (3)当或时，是等腰三角形. 第1课时 等边三角形的性质与判定 1. D 2. ； 3. 4. 5. 证明：∵是等边三角形的中线，∴，. ∴. ∵，∴. ∵，∴. ∴. 6. ①②⑤ 7. 8. 9. 证明：∵是的中点，∴. ∵，，∴和都是直角三角形. 在Rt和Rt中，，，∴RtRt(HL). ∴. ∴. ∵，，∴. ∴是等边三角形. 10. C 11. D 12. ①②④ 13. 解：(1)是等边三角形. 理由：∵，，∴是等边三角形. ∴. ∵，∴，. ∴. ∴是等边三角形. (2)连接. ∵，，∴是线段的垂直平分线. ∵是等边三角形，∴. ∵，∴. ∴. ∴. ∵是等边三角形，∴. ∴. 14. 解：(1). 理由：∵，是等边三角形，∴，，. ∴，即. 在和中，，，，∴(SAS). (2)证明：∵，∴. 又∵，∴. ∴. (3)仍有. 证明：∵，为等边三角形，∴，，. ∴，即. 在和中，，，，∴(SAS). ∴. 又∵，∴. ∴. 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 1. C 2. B 3. D 4. C 5. 6. 7. 解：选择方法一，证明：延长至点，使，连接. ∵，，∴，. ∴. 在和中，，，，∴(SAS). ∴. ∴是等边三角形. ∴. ∵，∴. 选择方法二，证明：在上截取，连接. ∵，，∴. ∴是等边三角形. ∴，. ∴. ∴. ∴. ∴，即. 8. B 9. 10. 11. 解：过点作于点，过点作于点. ∵，，∴ cm， cm. 当双翼收回闸机箱内时，闸机入口宽度为(cm). ∵，∴该旅客的行李箱可以通过闸机. 12. 解：(1) (2)在中，∵，，∴. 由题意，得 cm， cm，∴cm. ①当为直角时，. ∴，即，解得；②当为直角时，. ∴，即，解得. 综上所述，当或时，为直角三角形. 第 1 页 · 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $