15.3 等腰三角形 能力诊断2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3 等腰三角形 能力诊断2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列说法：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；②有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．其中正确的说法有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在等腰中，，过点C作且，过点A作于点D，过点E作交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 5．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 7．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 8．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 9．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①连接，，则；②；③；④平分；⑤．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题 11．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 12．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 13．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 14．如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短． 15．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________． 三、解答题 16．如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形． 17．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 18．如图，在同一地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，两点间的距离为． (1)求的度数． (2)求两点之间的距离． 19．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 20．如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C B C D D B 1．【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 2．【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的判定性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，根据相关知识点逐一判断各说法即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角外角的一半与底角相等，形成同位角或内错角，所以顶角的外角平分线与底边平行，∴ ①正确； ∵ 两边和一角对应相等可能为，不一定全等，∴ ②错误； ∵ 等腰三角形顶角平分线平分顶角，由可证全等，∴ ③正确； ∵ 角的内部到两边距离相等的点必在角平分线上，∴ ④正确. ∴ 正确说法有3个， 故选B． 3．【答案】B 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质． 先由三线合一得到，再证明，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，根据等角对等边可得，，于是可得结论． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为： . 7．【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选C． 8．【答案】D 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查的是角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形性质与全等三角形判定的综合运用．灵活运用垂直平分线的性质可得，结合角平分线的性质可得，再利用含角的直角三角形性质推导，最后通过全等三角形推导，而平分无法由题干条件直接推出． 【详解】解：如图，连接，， 垂直平分， ， ①正确； 平分，，， ， ②正确； ，平分， ， ， ， ， 同理得，， ， ③正确； 由题意得，， ， 假设平分， ， 和重合， 但仅当时，它们才重合，而题中也不能证得一定等， 不能判断一定平分， ④错误； 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确． 故选：． 10．【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 11．【答案】9 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 12．【答案】等边 【知识点】等边三角形的判定、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、绝对值方程 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 13．【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】100 【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答． 利用相似三角形的性质求解EC即可． 【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米， 延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点． 延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°， ∴△A1HB1是等腰直角三角形， ∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°， ∴∠A1CE=45°， ∴EC=A1E=100， ∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短， 故答案为：100． 【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键． 15．【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先通过在上截取构造等边，结合已知的等边和，利用等边三角形的边与角的性质，证明与全等，得到，再结合是中点的条件，推导出，从而确定和的值并计算． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴ ∵为定值， ∴，， ∴． 16．【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可． 【详解】略 17．【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的识别与有关概念、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 18．【答案】(1) (2)两点之间的距离为． 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、直角三角形的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）先说明，再根据等角对等边可得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 答：两点之间的距离为． 19．【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 20．【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $