精品解析：江苏无锡外国语学校2026-2027学年高一上学期9月学情反馈数学试题

无锡外国语学校2026~2027学年度第一学期高一学情反馈 数学试题 2026.9 考试时间：120分钟 总分：150分 出卷人：康宏德 审卷人；孙少辉 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 已知集合，，若满足，则的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. D. 5 7. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为或 11. ，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数，的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 已知集合，试用列举法表示集合__________． 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 17. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）若正数x，y满足：，求xy的取值范围. 18. 某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 19. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡外国语学校2026~2027学年度第一学期高一学情反馈 数学试题 2026.9 考试时间：120分钟 总分：150分 出卷人：康宏德 审卷人；孙少辉 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解. 【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误， 故选：. 5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，当，满足，但是，故B错误. 对于C，，所以，同时除以正数，不等号方向不变，所以，故C正确. 对于D，当时，，不满足题意，故D错误. 6. 已知集合，，若满足，则的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集，知，分类讨论，求出a的值，检验是否符合题意，即得答案. 【详解】由，则， 若，则，，则，不符合题意； 若，当时，，违反了集合元素的互异性，不合题意； 当时，，，符合题意， 故选：C 7. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：符号表示元素和集合的从属关系，是集合，并非集合的元素， 正确关系应为 ，故A错误； 选项B：集合具有无序性，两个集合的元素完全一致，因此集合相等，故B正确； 选项C：若集合A的所有元素都属于集合B，则，两个集合元素完全相同， 任意集合都是其本身的子集，故C正确； 选项D：是集合，不是集合的元素，正确关系应为，故D错误. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式与二次函数的关系得到，.再代入各选项验证即可. 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 由二次函数的性质可知，，故A正确. 对于B，利用零点式可得一元二次不等式为. 对比，可得. ，故B正确. 对于C，，因为， 所以，故C错误. 对于D，，因为， 所以不等式等价于，所以解集为或，D正确. 11. ，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数，的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】结合高斯取整函数的定义：对任意实数，是不超过的最大整数，满足，对各选项逐一判断，特称命题可通过举特例验证，全称命题可通过定义或举反例判断正误. 【详解】 选项A：根据取整函数定义，对任意，都有恒成立， 不存在满足，故A错误； 选项B：取，则，，等式成立，故B正确； 选项C：取，，则，， 此时，故C错误； 选项D：由取整函数定义得， 故函数的值域为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令内层表达式求出对应的值，代入已知解析式即可计算． 【详解】令，解得， 将代入得：． 13. 已知集合，试用列举法表示集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】要使，必然有是4的约数， 而4的约数有共六个，则的可能取值为， 又，则为， 故． 故答案为：. 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【小问1详解】 集合，， 则； 或，所以或. 【小问2详解】 若“”是“”的必要条件，则有， 有，解得，即a的取值范围为. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 不等式化为，即， 解得或，所以原不等式解集为. 【小问2详解】 不等式移项得，即 ， 得，解得，所以原不等式解集为. 【小问3详解】 由不等式可知，，故， 时，，不等式即， 解得，满足，所以原不等式解集为. 17. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）若正数x，y满足：，求xy的取值范围. 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）当时，，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为； （2）当时，，变形得， 由基本不等式得， 因此， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为； （3），由基本不等式得，当且仅当时取等号， 代入条件，得， 令，不等式化为， 解得或（舍去），因此，即， 故的取值范围是. 18. 某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】（1）3 （2）方案①较合算，理由如下： 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 【解析】 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【小问1详解】 由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； 【小问2详解】 略 19. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分、、三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可； （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. 【小问2详解】 由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $