精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高一上学期第二次基础测试（12月）数学试卷

2025-2026学年高一第二次基础测试数学试卷 2025.12 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. , B. C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】命题“，”的否定为“”. 故选：B. 2. 已知幂函数过点，则解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求幂函数解析式为，将点的坐标代入函数解析式，求出实数的值，即可得出幂函数的解析式. 【详解】设所求幂函数解析式为，由已知条件可得，可得， 因此，所求幂函数的解析式为. 故选：C. 3. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出的值，再由求解即可. 【详解】解：因为，是第四象限角， 所以， 所以. 故选：D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数运算和指数幂运算即可. 【详解】原式. 故选：B. 5. 已知第二象限角的终边上有一点（t，15），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知和求出，求出，再化简即得解. 【详解】由题得， 因为是第二象限角，所以.所以, 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征．函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项C,D. 再通过特殊值确定答案. 【详解】解：由题设，函数的定义域为，关于原点对称. 所以，所以函数是奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以排除选项C,D. 又，所以排除选项B，选A. 故选：A 8. 已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：不妨设，由图像知，所以，选D. 考点：函数图像 【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 10. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断． 【详解】，A错；，B正确； 当时，，C正确； 时，，所以，D错． 故选：BC． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，以下结论正确的是（ ） A. 在R上是增函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将函数分离常数，结合指数函数的性质得到单调性和值的分布，再利用奇偶性定义判断奇偶性，根据性质或特殊值法排除，逐一判断选项的正误即可. 【详解】函数，定义域为R， 又指数函数是单调递增的，可知是单调递减的，取值为， 故是单调递增的，值域为，故A正确； 当时，，当时，， 故的值域是，D正确； 又，故是奇函数，即C正确； 因为，故，，故，即，故不可能是偶函数，B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于读懂题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的性质，突破难点. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角终边经过点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角终边经过点，可得， 又由，根据三角函数的定义，可得且，解得. 故答案为： 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式与方程的根的关系，结合韦达定理可得的关系，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以且是方程的两根， ∴，， 则不等式可变形为（注意）， 即为， 解得， ∴关于的不等式的解为． 故答案为：． 14. 函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果. 【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，， ∴，则， 则等价于， 当时为增函数，则，即对任意恒成立， 设，则，解得，又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集是R，集合或，. （1）若a=1，求； （2）已知，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求出答案； （2）根据，分和两种情况讨论，从而可求得答案. 【小问1详解】 解：因为或，所以， 若，则，所以； 【小问2详解】 解：因为，由于，所以 当时，则有，即； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设函数． （1）求函数的定义域、周期、和单调区间； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）定义域为，周期为，增区间为，；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果； （2）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）根据函数，可得，， 求得，故函数的定义域为． 周期为． 令，，得， 故函数的增区间为，． （2）求不等式，即，∴， 求得，故不等式的解集为，． 17. 已知函数的定义域是，对定义域内任意两个实数，都有. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）如果，且函数在上单调递增，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）函数为偶函数，证明如下： 令，则，得 取，则 所以函数为偶函数； （3）或. 【解析】 【分析】（1）在已知式中令，可得； （2）同（1）令，得，然后只要令可得与的关系，得奇偶性； （3）根据函数定义求得，从而也有，然后由偶函数性质得上的单调性，然后分类和解不等式． 【详解】（1）令，则 ∴； （2）函数为偶函数，证明略； （3）函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减 又，不等式为 得或，解得或 所以不等式的解集为或. 【点睛】本题考查抽象函数，考查求抽象函数的函数值，确定奇偶性，解抽象函数不等式，掌握奇偶性与单调性的性质的应用是解题关键． 18. 函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数. （1）求φ的值. （2）若f（x）图象上的点关于M（π，0）对称. ①求ω满足的关系式； ②若f（x）在区间[0，]上是单调函数，求ω的值. 【答案】（1）；（2）①，②或2. 【解析】 【分析】（1）根据，，以及0≤φ≤π可解得结果； （2）①根据可求得结果；②根据，，求出且，验证时，在区间[0，]上是否单调即可得解. 【详解】（1）因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数， 所以，， 因为0≤φ≤π，所以，＝； （2）①由f（x）的图象关于点M对称，得， 所以， 又＞0，所以＝+kπ，， ∴，， ②由于，， 因为f（x）在区间[0，]上是单调函数，所以，即， 所以，所以且， 当k＝0时，，f（x）＝sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意； 当k＝1时，，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意； 所以，综合得ω＝或2. 【点睛】关键点点睛：利用三角函数的奇偶性、对称性和单调性求解是解题关键. 19. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数为奇函数，试求的值； （3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】将代入函数的解析式，解对数不等式，并写出解集； （2）根据函数为奇函数，由奇函数的定义可得，由此可解得实数的值； （3）关于的方程，化为，满足，针对进行讨论， 求出的范围. 【小问1详解】 当时，， 由可得，即，即，可得，解得或， 因此，当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 函数为奇函数，恒成立， 即， ，即， 故，即， 则，解得. 此时，，令，解得或. 则函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意. 因此，； 【小问3详解】 依题意，，，①； 可得，即，②； 当时，方程②的解为，代入①式，成立； 当时，方程②的解为，代入①式，成立； 当且时，方程②的解为或； 若为方程①的解，则，即； 若为方程①的解，则，即. 要使得方程①有且仅有一个解，则. 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为. 【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用对数型复合函数的奇偶性求参数以及由对数方程根的个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二次基础测试数学试卷 2025.12 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. , B. C. , D. , 2. 已知幂函数过点，则解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是第四象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 已知第二象限角的终边上有一点（t，15），且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征．函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 若，则 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，以下结论正确的是（ ） A. 在R上是增函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的值域是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角终边经过点，若，则______. 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解是___________． 14. 函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集是R，集合或，. （1）若a=1，求； （2）已知，求实数a的取值范围. 16. 设函数． （1）求函数的定义域、周期、和单调区间； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数的定义域是，对定义域内任意两个实数，都有. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）如果，且函数在上单调递增，解关于的不等式. 18. 函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数. （1）求φ的值. （2）若f（x）图象上的点关于M（π，0）对称. ①求ω满足的关系式； ②若f（x）在区间[0，]上是单调函数，求ω的值. 19. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数为奇函数，试求的值； （3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $