26.2.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章　二次函数 26.2.2　二次函数 y=a(x−h)² 的图象和性质（教学设计） 一、教学目标（核心素养导向） 1．会用描点法画二次函数 y=a(x−h)2 的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性； 2．理解抛物线 y=a(x−h)2 与 y=ax2 之间的位置关系，掌握 y=a(x−h)2 的图象的平移规律； 3．在探索 y=a(x−h)2 图象和性质的过程中，进一步运用数形结合的思想与方法解决问题。 二、教学重点 会画二次函数 y=a(x−h)2 的图象。 三、教学难点 掌握二次函数 y=a(x−h)2 的性质并会应用它解决问题。 四、教学过程 活动一：复习铺垫，引出新课 【复习导入】 1．填表回顾二次函数 y=ax2+k 在不同 a、k 取值下的图象特征： y=ax2+k a＞0，k＞0 a＞0，k＜0 a＜0，k＜0 a＜0，k＞0 开口方向 向上 向上 向下 向下 对称轴 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 (0,k) (0,k) (0,k) (0,k) 增减性 x＜0 递减，x＞0 递增 x＜0 递减，x＞0 递增 x＜0 递增，x＞0 递减 x＜0 递增，x＞0 递减 最值 最小值 k 最小值 k 最大值 k 最大值 k 2．二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a≠0）的图象有何关系？ 【参考答案】1．见上表。2．y=ax2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移 |k| 个单位得到，即“上加下减”。 3．函数 y=a(x−h)2 的图象，能否也可以由函数 y=ax2 平移得到？ 【教学建议】动态演示 k 值变化，组织分组讨论，重点强化“上加下减”的平移规律，注意区分正负 k 对应的方向。 【设计意图】复习旧知，通过对比填表引导学生自主发现图象上下平移的规律，渗透类比与数形结合思想。 活动二：平移探究，形成新知 探究点1　二次函数 y=a(x−h)2 的图象和性质 探究： (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=−(x+1)2，y=−(x−1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。 (2) 这两条抛物线与抛物线 y=−x² 有什么关系？ 列表如下： x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … y=−(x+1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … x … −2 −1 0 1 2 3 4 … y=−(x−1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … 描点、连线，如图所示： 【参考答案】(1) y=−(x+1)² 的图象开口向下，对称轴是直线 x=−1，顶点是 (−1,0)；y=−(x−1)² 的图象开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点是 (1,0)。(2) 把抛物线 y=−x² 向左平移 1 个单位得到 y=−(x+1)²，向右平移 1 个单位得到 y=−(x−1)²，三条抛物线形状相同，只是位置不同。 想一想：通过上述例子，得出函数 y=a(x−h)² 的图象特征和性质是什么？ 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=−(x+1)2 向下 直线 x=−1 (−1,0) y=−(x−1)2 向下 直线 x=1 (1,0) 做一做：根据图象回答下列问题： (1) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性：_______________________。 【参考答案】(1) 低（高）——本题两条抛物线开口向下，顶点都是最高点，函数都有最大值，都为 0；(2) 以 y=−(x−1)² 为例：当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小（y=−(x+1)² 以 x=−1 为分界，规律相同）。 想一想：函数 y=a(x−h)2（a＞0）的性质是什么？函数 y=a(x−h)2（a＜0）的性质又是什么？ 归纳总结 y=a(x−h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称性 对称轴是直线 x=h 对称轴是直线 x=h 顶点 (h,0)，是最低点 (h,0)，是最高点 最值 最小值 0 最大值 0 增减性 x＜h 时递减，x＞h 时递增 x＜h 时递增，x＞h 时递减 【教学建议】让学生动手描点作图，结合动画演示平移过程，强调“左加右减”这一易错点；引导学生对比 a 正负的异同，重点强调对称轴位置由 h 决定，避免符号错误。 【设计意图】通过描点画图、对比观察，让学生自主发现左右平移规律，深化对“左加右减”的理解；再从具体实例归纳一般性质，培养由特殊到一般的抽象概括能力。 探究点2　二次函数 y=ax2 与 y=a(x−h)2 的图象的关系 想一想2：抛物线 y=−(x+1)2，y=−(x−1)2 与抛物线 y=−x2 有什么关系？ 【参考答案】抛物线 y=−x² 向左平移 1 个单位得到 y=−(x+1)²，向右平移 1 个单位得到 y=−(x−1)²；反过来，y=−(x+1)² 向右平移 1 个单位、y=−(x−1)² 向左平移 1 个单位都回到 y=−x²。 要点归纳：二次函数 y=a(x−h)2 与 y=ax2 的图象的关系（a≠0）可以看作由平移得到（h＞0）：y=ax2 向右平移 h 个单位得到 y=a(x−h)2；y=ax2 向左平移 h 个单位得到 y=a(x+h)2。左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变。 对应练习 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=(x+2)2，y=(x−2)2。指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况。 【参考答案】三条抛物线形状相同，顶点分别为 (0,0)、(−2,0)、(2,0)，可看作 y=x² 左右平移得到（作图略）。开口都向上；对称轴依次为 y 轴、直线 x=−2、直线 x=2；增减性：y=x² 在 x＜0 时递减、x＞0 时递增；y=(x+2)² 在 x＜−2 时递减、x＞−2 时递增；y=(x−2)² 在 x＜2 时递减、x＞2 时递增。 活动三：变式训练，深化理解 1．抛物线 y=3(x−2)2 可以由抛物线 y=3x2 向_______平移_______个单位得到。 2．二次函数 y=−2(x−1)2 的图象开口方向是_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______。 3．要得到抛物线 y=(x−4)2，可将抛物线 y=x2（　　）。 A．向上平移 4 个单位　　B．向下平移 4 个单位 C．向右平移 4 个单位　　D．向左平移 4 个单位 4．写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点： （1）y=−(x+2)2；（2）y=3(x−1)2。 5．若 A(−，y₁)，B(−，y₂)，C(，y₃) 为二次函数 y=(x−2)² 图象上的三点，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系为__________。 6．顶点为 (−5，0)，且开口方向、形状与函数 y=−x2 图象相同的抛物线是（　　）。 A．y=−(x−5)2　　B．y=−x2−5　　C．y=−(x+5)2　　D．y=(x−5)2 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=a(x+c)2 的图象可能为（　　）。 【参考答案】1．右；2。2．向下；(1,0)；直线 x=1。3．C（自变量左加右减，x−4 说明向右平移 4 个单位）。4．(1) 开口向下，对称轴是直线 x=−2，顶点 (−2,0)；(2) 开口向上，对称轴是直线 x=1，顶点 (1,0)。5．抛物线 y=(x−2)² 开口向上，对称轴是直线 x=2，三点到对称轴的距离依次为：|−3.25−2|=5.25，|−0.75−2|=2.75，|0.25−2|=1.75，距离越远函数值越大，所以 y₁＞y₂＞y₃。6．选 C。顶点 (−5,0) 对应解析式 y=a(x+5)²，与 y=−x² 同形且开口向下取 a=−1，故 y=−(x+5)²。7．选 D。a＞0 时抛物线开口向上、直线上升，且抛物线对称轴 x=−c 与直线 y 轴交点 (0,c) 符号对应一致；a＜0 时开口向下、直线下降，逐一检验只有 D 中两图象的 a、c 符号同时自洽。 【教学建议】重点讲解第 5、7 题的易错点，引导学生用“点到对称轴的距离”比较函数值大小，结合排除法判断图象。 【设计意图】通过分层练习巩固平移规律与图象性质，强化“左加右减”口诀，提升学生灵活运用的能力。 活动四：归纳反思，布置作业 【随堂训练】随堂完成《练习册》“随堂小练”中本课时的配套题目，做完后小组内核对答案。 【课堂总结】结课前，师生共同结合思维导图回顾本节课，提问引导学生梳理： 1．二次函数 y=a(x−h)2 的图象是由 y=ax2 怎样平移得到的？平移规律是什么？ 2．函数 y=a(x−h)2 的对称轴和顶点坐标分别是什么？ 3．a 的正负对开口方向、最值和增减性分别有什么影响？ 【参考答案】1．向右平移 h 个单位得到 y=a(x−h)²，向左平移 h 个单位得到 y=a(x+h)²，规律是“自变量左加右减，括号外不变”。2．对称轴是直线 x=h，顶点坐标是 (h,0)。3．a＞0 时开口向上，顶点是最低点，最小值 0，x＜h 递减、x＞h 递增；a＜0 时开口向下，顶点是最高点，最大值 0，x＜h 递增、x＞h 递减。 【知识结构】 【作业布置】 1．教材习题 26.2 中与本节相关的题目； 2．《同步练习》本课时对应训练。 五、板书设计 二次函数 y=a(x−h)² 的图象与性质 平移规律：左加右减（括号内） y=ax² 向右平移 h 个单位 → y=a(x−h)²；y=ax² 向左平移 h 个单位 → y=a(x+h)² 图象性质：对称轴是直线 x=h；顶点是 (h,0)； a＞0：开口向上，有最小值 0；a＜0：开口向下，有最大值 0。 六、教学反思 本节课把描点作图与动态演示结合起来，学生较好地掌握了“左加右减”的平移规律，但仍有部分学生对 h 的正负与平移方向分辨不清，需要在后续练习中加强对比训练。整体课堂节奏适中，探究活动充分，学生参与度较高。 学科网（北京）股份有限公司 $