海南海口市金宇学校 2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测试题

海口市金宇学校 2026-2027学年九年级数学上册第1次月考试题（华师版） 一、单选题 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，均不是最简二次根式， 是最简二次根式，故选项C符合题意． 4．是整数，正整数n的最小值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，可知n=2. 【详解】∵是整数， ∴=，即n=2，选B. 【点睛】此题主要考查二次根式的应用. 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．和不是同类二次根式，不能直接相加减，计算错误，不符合题意． 6．若，则的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据的取值范围判断绝对值内式子和二次根式底数的正负，再化简计算. 【详解】解：∵. ∴，. ∴，. ∴原式. 7．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 8．如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（     ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）． 9．对于一元二次方程 下列说法： ①若，方程必有一根为1； ②若方程有两个不相等实根，则 ③若，则方程必有一个根是0； ④若方程一根为，则．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】涉及根的相关结论用代入法结合根的定义判断，涉及根的个数与判别式关系的用判别式性质判断． 【详解】解：①将代入，得， ∵， ∴是方程的根，故①正确； ②∵一元二次方程（）有两个不相等的实根， ∴，故②正确； ③将代入，得， ∵， ∴是方程的根，故③正确； ④将代入，得， ∵是方程的根， ∴，故④正确； 综上，正确的说法共4个． 10．已知代数式的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】对代数式配方后代入求值，可简化运算． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 11．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 12．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 二、填空题 13．计算：__________；__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：；． 14．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 15．数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 【答案】 / 【分析】将根号内的式子变形整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解： ． 16．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 【答案】5或9 【分析】先确定运动时间的取值范围，因为两点同时出发且一点到终点即停止，所以根据、的速度和对应边长度计算的最大取值．用含的代数式分别表示、的长度，再结合的长度，推导和在水平方向上的距离表达式．过点P作的垂线，构造以为斜边的直角三角形，因为矩形的边长等于该直角三角形的一条直角边，另一条直角边等于，当斜边时，根据勾股定理列关于的方程．求解方程，结合的取值范围筛选符合条件的解． 【详解】解：点P沿运动，长、速度，到达终点的时间为； 点Q沿运动，长、速度，到达终点的时间为． 因此运动总时长不超过， 即​． 过P作于E， 由矩形性质可知，是直角三角形． 由运动速度得：，， 因此P、Q两点在水平方向的距离差为． 在中，根据勾股定理：， 代入、， ， 整理得， ∴， 解得，， 均满足​； 即两个解均符合运动边界要求． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和二次根式混合运算的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， （3）解： 或 ， （4）解： 或 ， 19．如图，，，分别为，的中点，点在的延长线上，． (1)与有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的猜想． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)解：且，证明如下， ∵，分别为，的中点，点在的延长线上， ∴， ∵，分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得，即可得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出； （2）根据三角形中位线的性质得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据平行四边形的性质即可求出四边形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，分别为，的中点，， ∴， ∵，分别为的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：． 20．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 【答案】(1)12米 (2)不能，理由如下： 假设能围成面积为的矩形花园，设的长度为米，同理可得垂直于墙的边的长度为米， 根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵墙最长可利用，，，均不符合题意， ∴不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设矩形与墙平行的边的长度为米，根据总砌墙长度表示出垂直于墙的边的长度，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙的最长利用长度筛选出符合条件的解； （2）同（1）根据面积公式列出方程，求解后判断所得的长度是否符合墙的限制条件，若超出则不能围成． 【详解】（1）解：设的长度为米，则垂直于墙的边的长度为米， 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当矩形的长为12米时，矩形花园的面积为． （2）略 21．在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题： (1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 【答案】(1)73，92 (2)第一四分位数是80，第三四分位数是96，绘制乙同学测试成绩的箱线图如下： (3)解：选乙． 理由： 甲的成绩平均数：，乙的成绩的平均数： 乙的成绩的平均数高，乙的成绩更稳定． 甲的中位数90，乙的中位数92，甲的众数是73，乙的众数是92， 乙的中位数和众数都是90以上，说明乙的成绩更稳定． 观察图可知，乙的箱线图更窄一些，说明四分位距更小， 乙的成绩波动更小，发挥更稳定． 综上所述，应选派乙同学参加比赛． 【分析】（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的数就是众数）和中位数的定义（一组数据按照从小到大顺序排列，若是奇数个，取最中间数；若是偶数个，取最中间两个数平均数）即可分别求出和的值． （2）利用第一四分位数和第三四分位数的定义求出两个值，根据求出的数值补充箱线图即可． （3）分别对比甲乙的中位数、众数、平均数以及观察箱线图，即可判断哪个同学成绩波动较小，发挥稳定，即可求出应派谁参加比赛． 【详解】（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下， ， 出现次数最多的是73，即． 乙的成绩按照从小到大的顺序排列如下， ， 中位数． （2）解：解法一：乙同学的中位数是， 乙同学测试成绩的第一四分位数是前部分的中位数：，第三四分位数是后半部分的中位数：. 解法二：乙同学的成绩为， 由可知，第一四分位数是第三个数据和第四个数据的平均值，即， 由可知，第三四分位数是第9个数据和第10个数据的平均值，即． 图略． （3）略． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 23．在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市金宇学校 2026-2027学年九年级数学上册第1次月考试题（华师版） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．是整数，正整数n的最小值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B．2 C． D． 7．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 8．如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（     ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A． B． C． D． 9．对于一元二次方程 下列说法： ①若，方程必有一根为1； ②若方程有两个不相等实根，则 ③若，则方程必有一个根是0； ④若方程一根为，则．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知代数式的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．计算：__________；__________． 14．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 15．数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 16．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 三、解答题 17．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（12分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（8分）如图，，，分别为，的中点，点在的延长线上，． (1)与有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的猜想． (2)若，，求四边形的周长． 20．（10分）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 21．（10分）在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两名同学在之前的12次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲：； 乙：． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 请根据以上信息解答下列问题： (1)表格中，______，______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 23．（13分）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $