26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过拱桥曲线情境导入，类比一次函数探究方法，引导学生用描点法画图，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，梳理函数图象与性质的研究脉络。 特色在于对比a的正负与绝对值影响，结合描点画图和参数问题分析，培养几何直观与推理意识。例1对称取点画图、例2参数讨论性质，落实数形结合，提升学生观察分析能力，帮助教师高效突破重难点。

26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 教学目标 1.能用描点法画出二次函数y＝ax2的图象. 2.能根据二次函数y＝ax2的图象理解其有关性质. 3.通过类比的方法由一次函数的探究方式得到特殊的二次函数图象及其性质的探究方式，并根据数形结合的思想探究函数之间的联系和区别. 重点难点 重点：画出二次函数y＝ax2的图象，根据函数的图象分析其性质. 难点：探究二次函数y＝ax2的图象特点和性质的过程. 教学过程 情景导入 图中的拱桥是什么曲线？这条曲线有什么特点？能否类比研究一次函数的性质的方法来研究这条曲线的性质？ 探究新知 探究点一　二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法 【例1】（1）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝x2；③y＝－x2；④y＝－x2. （2）说说解析式中二次项的系数a对抛物线的形状有什么影响？ 【解析】列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数y＝x2和y＝－x2放在一起，把函数y＝x2和y＝－x2放在一起，列表时会方便一些.一般情况下，包括顶点，描出5或7个点即可.连线时要注意平滑，图象的两边要延伸出去. 【解】（1）列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 2 0 2 … y＝－x2 … －2 － 0 － －2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … 　　描点：用表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出. 连线：用平滑的线连接，如图所示. （2）｜a｜相同，两条抛物线的形状就相同；｜a｜越大，开口越小. 【规律总结】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，开口方向向上或向下.画抛物线时一定要注意图象的对称性，在坐标轴左右对称取x的值，除顶点外，同一个“y值”对应着两个“x值”，可同时描出两个点. 探究点二　二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和性质 【例2】根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围： （1）函数y＝（2m－1）x2有最小值； （2）函数y＝（m－2）x2，当x＜0时，y随着x的增大而增大； （3）y＝（m＋1）x2与y＝2x2的函数图象形状相同； （4）函数y＝m的图象是开口向下的抛物线. 【解析】（1）由于函数有最小值，故其抛物线开口向上，从而可得2m－1＞0；（2）由增减性可知m－2＜0；（3）由两抛物线形状相同得出｜m＋1｜＝｜2｜，解方程即可；（4）由其图象是开口向下的抛物线，得出m2＋m＝2且m＜0，解方程，即可求出m. 【解】（1）∵函数y＝（2m－1）x2有最小值， ∴2m－1＞0， ∴m＞. （2）∵当x＜0时，y随着x的增大而增大， ∴m－2＜0， ∴m＜2. （3）∵y＝（m＋1）x2与y＝2x2的函数图象形状相同， ∴｜m＋1｜＝｜2｜， ∴m＝1或－3. （4）∵函数y＝m的图象是开口向下的抛物线， ∴m2＋m＝2且m＜0， 解m2＋m＝2，得m1＝－2，m2＝1. ∵m＜0， ∴m＝－2. 【方法技巧】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口方向、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围. 抛物线y＝ax2（a≠0）的形状由决定，当相同时，抛物线的形状相同. 课堂训练 1.已知点（－1，y1），（2，y2），（3，y3）均在抛物线y＝－4x2上，下列说法中正确的是（　　） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y3＜y2＜y1 2.在平面直角坐标系中画出二次函数y＝0.2x2的图象，并填空. 二次函数y＝0.2x2的图象是一条开口向　　　　的抛物线，对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　.当x＝　　　　时，y取最　　　　值，最　　　　值为　　　　. 3.已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）. （1）求a的值； （2）当x＝3时，求y的值； （3）说出此二次函数的三条性质. 板书设计 26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 1.图象形状：抛物线. 2.三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标. 3.增减性：以对称轴为分界. 课堂小结 二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它的性质可以从开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值、增减性、开口大小等方面进行分类总结. 教学反思 　　本节课让学生自己经历用描点法画二次函数图象的过程，从“形”上直观地观察其性质.然后通过所画的几个二次函数图象，归纳总结出y＝ax2的图象和性质.学生在经历知识的形成过程中，体会类比、数形结合、分类讨论等思想的应用，从而提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力. 答案 课堂训练 1.D 2.解：函数图象如图所示. 上　y轴　（0，0）　0　小　小　0 3.解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3）， ∴a×12＝3， ∴a＝3. （2）把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27. （3）示例：①抛物线的开口向上； ②对称轴为y轴； ③当x＞0时，y随着x的增大而增大. 学科网（北京）股份有限公司 $