宁夏回族自治区固原市西吉县九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.2.2《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》）

应用场景：人教版九上26.2.2《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》课时作业。 数形结合探抛物线，素养落地研函数 ——二次函数 的图象与性质课时作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【人教版九上26.2.2《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》课时作业】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【 九年级】 教材版本 【人教版】 对应内容 【第26章二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与性质 】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长30分钟 设计者 【张尚】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、数学抽象、逻辑推理、数学运算；帮助学生感悟数形结合，学会利用二次函数顶点式分析图象特征，能用函数解决简单实际问题。教材地位：本课时是二次函数由一般式过渡到顶点式的核心内容，是研究抛物线平移、顶点、对称轴、增减性的重要载体，为后续二次函数综合题、中考复习奠定基础。 · 教学重难点：重点是掌握y=a(x-h)2+k的图象性质，理解图象平移规律；难点是抛物线平移规律辨析、参数a,h,k对图象的影响。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，了解抛物线开口、对称轴、顶点概念，初步接触函数图象平移，具备基础数形结合意识。 现有困惑 容易混淆左右平移方向（“左加右减”理解容易出错）；不能快速由顶点式读出顶点与对称轴；难以把参数 变化和图形变化建立对应联系，数形转化能力薄弱。 差异分析 基础薄弱学生能识别简单函数的顶点，但平移规律容易记反；中等学生能完成基础题，综合辨析容易出错；学有余力学生可以自主探究参数变化，解决图象变式、简单综合问题。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 本作业立足九年级学生认知，以数形结合思想为主线，分层设置基础巩固、辨析理解、拓展探究类习题，引导学生理解y=a(x-h)2+k中参数的几何意义，理清抛物线平移规律，在练习中发展几何直观，落实数学核心素养，同时兼顾不同层次学生学习需求，实现减负提质。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能够识别二次函数顶点式 ，准确写出抛物线顶点坐标、对称轴，判断开口方向 数学抽象 正确率、概念复述 能力运用 B 运用抛物线平移规律，实现 与 之间图象转化，解决简单函数问题 数学运算、几何直观 过程记录、方法选用 思维发展 C 对比、归纳参数 对图象的影响，辨析平移易错点，推理函数增减性 逻辑推理 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 认同数形结合的数学思想，在探究中感受函数图象变化之美，形成严谨审题习惯 数学文化 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 基础：判断y=a(x-h)2+k 开口方向、顶点坐标 A 巩固顶点式基础概念，快速识别顶点、对称轴 开口向上，顶点（3，1） ；评价：概念准确即得分 2 填空题 写出抛物线 对称轴，判断增减性 A、C 区分 正负，理解对称轴与增减性 直线x=-2；x<-2时，y随x增大而增大；评价：符号不混淆为合格 3 解答题 抛物线由 如何平移得到 B、C 考查左加右减、上加下减平移规律，突破易错点 向右平移4个单位，向上平移2个单位；评价：平移方向写清楚，步骤完整 4 创新探究题 已知抛物线顶点（1，-3），且过（2-1），写出顶点式解析式，并说明a的作用 B、C 逆向运用顶点式，综合求解函数，发展推理； y=a(x-h)2+k；a决定开口方向、开口宽窄；评价：列式思路清晰，能解释参数意义 ··· 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 第I卷（选择题） 一、单选题 1．二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，若点、是它图象上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．点A的坐标为 B．图象的对称轴为 C． D．当时，y随x的增大而减小 5．已知，则二次函数的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 第II卷（非选择题） 二、填空题 7．如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为________． 8．如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 9．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为______． 10．抛物线的图象如图所示，则______． 11．二次函数的图象如图，则它的解析式是______． 12．如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 三、解答题 13．已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 14．已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 15．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 16．创新与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案与解析 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A A A C C 1．D 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 2．A 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 3．A 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 由图象可知，当时，随着增大而增大，从而可得与的大小关系． 【详解】解：由图象可知，当时，随着增大而增大， ∵点、在函数图象上，且， ∴， 故选：A． 4．A 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象判断，根据顶点式判断对称轴，增减性．本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数顶点式等相关内容，熟练掌握相关内容是解题基础． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 选项C不合题意． 二次函数的图象与轴交于、两点， 抛物线的对称轴为：直线，，两点关于对称轴对称， 的坐标为． 选项B不合题意．选项A符合题意． 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小． 选项D不符合题意． 故选：A 5．C 【难度】0.7 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式的性质，结合对应字母的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，位于第二象限， ∴只有C选项的图象符合题意. 6．C 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 二、填空题 7． 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键； 根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线对称，由于点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵与轴平行，点，均在抛物线上 ∴点A与点B关于直线对称 ∵点A的坐标为 ∴点的坐标为   故答案为：. 8．3 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、矩形的性质，先利用抛物线的顶点式求出顶点坐标为，再根据矩形的性质得到，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为， ∵矩形， ∴， ∵轴于点C， ∴当点A在抛物线的顶点时，有最小值，最小值为3， ∴对角线的最小值为3． 故答案为：3． 9． 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 10． 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点问题． 由图象可知，图象过，把代入，即可得． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线，且图象过， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解图象；由图象易得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，则二次函数解析式为， ∴， 解得：； ∴二次函数的解析式为； 故答案为． 12． 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 三、解答题 13．(1)向下，，，，， (2) 描点作出函数图象： (3) (4)< 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得； （2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得； （3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得； （4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）略 （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 14．(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 15．(1)对称轴为直线； (2)5 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 16．创新与实践 (1) 平面直角坐标系如下： ， ， (2) 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【详解】（1）解：抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． $