湖南长沙市望城区第六中学2026-2027学年高一上学期第一次学业质量检测数学试题

望城区六中2026级高一第一次学业质量检测 数学 一、单选题 1.D【解析】已知，. 由交集的定义，. 故选：D. 2.C【解析】取. 计算得，. 由得成立. 故命题为真命题，为假命题. 取. 代入得，不满足. 故命题为假命题，为真命题. 由此可得和都是真命题. 故选：C. 3.A【解析】由移项通分得，等价于， 解得或. 记集合，， 由得可推出，反之不成立， 故”“是”“的充分不必要条件. 故选：A. 4.C【解析】由含全称量词“”、含全称量词“任意”, 得AB为全称量词命题,不符合题意. 由含存在量词“”、含存在量词“至少存在两个”, 得CD为存在量词命题. 对于C： 取,得,故为真命题. 对于D： 质数中仅2为偶数且平方为偶数, 其余质数的平方均为奇数, 故不存在至少两个质数的平方是偶数,为假命题. 答案为C. 5.B【解析】由题设得，，，且， 故需在的基础上添加至少一个取自的元素. 枚举所有满足条件的集合为，，，共个. 故选：B. 6.B【解析】由，将分为和，得，结合， 故. 由得， 故选项A错误. 因为中所有元素都属于，是中不含元素的集合， 所以， 故选项B正确. 结合，不含中去掉的元素， 故，选项C错误；又中存在不属于的元素， 故，选项D错误. 故选：B. 7.C【解析】因为，，满足，所以. 由均值不等式得，当且仅当时取等号. 结合得取等条件为，，从而，即的最小值为. 故选：C. 8.C【解析】∵M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}， S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}， ∴M＝{ x|x＝5（k－1）+3，k∈Z }， S＝{ x|x＝5×2m＋3，m∈Z }， 故SP＝M，故选C. 二、多选题 9.ABC【解析】对于选项A： 由不等式的解集为或, 得二次函数开口向下,故,A正确. 对于选项B： 由解集知是方程的两根, 由韦达定理得, 故； 因为,所以,B正确. 对于选项C： 由且,得,C正确. 对于选项D： 由,代入, 得； 两边除以得, 即, 解得,故D错误. 答案为ABC. 10.AC【解析】当时，. 由基本不等式，当且仅当时取等号），得. 故. 当且仅当， 即时取等号. 因此为真命题. . 令， 则， 设. 因为在上单调递增， 所以. 故的最小值为，而非. 因此为假命题. 由基本不等式，当且仅当时取等号），得. 因为， 所以. 当且仅当， 即时取等号. 因此为真命题. 取正实数，，满足，， 即. 此时. 故“的最大值为”不成立. 因此为假命题. 故选：AC. 11.ACD【解析】A选项中，，，得，， 由对称差定义得， 故A正确. B选项中， 由，取，得，， 故，此时， 故B错误. 当且，互不包含时，将全集划分为互不相交的四个区域：①，②，③，④，为①④，为①③④，为①， 故为③④，又为①②， 故为③④，得. 当时，记①，，，， 故，又， 故，等式成立. 当时，为全集去掉的部分，， 故，又△=-， 故，等式成立. 当时，记①，②，，，， 故，又， 故，等式成立. 综上，对任意，， 故C正确. D选项中，将全集中三个集合划分出八个互不相交的区域：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧， 由对称差定义得， 故，又， 故，对任意包含关系的，经检验等式均成立， 故，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12.0【解析】由得对应元素相等， 故， 解得或. 当时，，集合出现重复元素，违反集合元素互异性， 故舍去， 由此可得. 故答案为：. 13.【解析】命题”使“是假命题, 故其否定”“是真命题. 由二次函数恒成立条件得, 解得. 14.．【解析】解不等式得或， 故. 由是的必要不充分条件，得， 由此可得，或，或. 分别求解上述不等式得，或，或，合并得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15.(1) 解：当时，. . 结合， 故. (2) 解：由是的充分条件，得. . 解，得. 解，得. 故的取值范围为. 16. 解：(1)由”“是”“的必要不充分条件，得，结合，，，得， 化简得. (2)由，得， 由中只有一个整数，得，且该整数只能为， 由此得， 解得. 17.(1) 解：时,,解得. . 时,. 时,,化简得. 故. (2) 解：时,, 当时,. 时,. 结合基本不等式,,当且仅当即时取等号. 代入得,即当时,.,故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为8990万元. 18. 解：(1)不等式的解集为， 得和是方程的两个根，且. 由根与系数的关系得，解得，故. (2)不等式对任意恒成立， 整理得对任意恒成立. 令，得，解得， 故实数的取值范围为. (3)由得，分解因式得. 当时，不等式化为， 解得，解集为. 当时，，不等式化为， 解得或，解集为. 当时，，解得，解集为. 当时，不等式化为，解集为. 当时，， 解得，解集为. 19.(1) 解：不等式即，整理得. 由解集为，可知对应二次方程的两根为，，且二次项系数. 由韦达定理得，. 代入数值，有，. 解得. 将代入，得. 故实数，的值分别为，. (2) 解：由(1)得，则. 原不等式化为，即. 由分母不为零，有且，即且. 当时，不等式等价于. 移项通分得，即，整理为. 此分式不等式等价于，即. 解得. (3) 解：结合前提条件，可得解集为. 方程即有两个正实数根，. 由根与系数的关系，有，. 由两根为正，得，，故，. 判别式需满足. 已知条件，由，得. 整理得. 将代入判别式不等式，得，即. 因，解得. 目标式为. 将代入，得. 令，则，且由得. 代入化简，. 由于，则，且. 考虑，由，有. 对正数，由均值不等式，当且仅当即，结合得时取等号. 于是. 从而. 当时，，代入，得（满足）. 故的最大值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区六中2026级高一第一次学业质量检测 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将正确答案填写在答题卡上 一、单选题(共8小题,共40分) 1.（5分）设集合，，则（） A. B. C. D. 2.（5分）已知命题，，命题，，则（） A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 3.（5分）“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（5分）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ） A. B.任意两个无理数之和仍是无理数 C. D.至少存在两个质数的平方是偶数 5.（5分）已知集合满足，且，则满足条件的集合有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.7个 6.（5分）已知全集，集合，，则正确的关系是（） A. B. C. D. 7.（5分）已知正数，满足，则的最小值为（） A.2 B.4 C.3 D.6 8.（5分）集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S＝PM C.SP＝M D.P＝MS 二、多选题(共3小题,共18分) 9.（6分）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（） A. B. C. D.的解集为 10.（6分）下列命题中的真命题有（ ） A.当时，的最小值是 B.的最小值是 C.当时，的最大值是 D.对正实数，，若，则的最大值为 11.（6分）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（） A.若，，则 B.若，且，则 C.若，，则 D.若，，，则 三、填空题(共3小题,共15分) 12.（5分）已知集合，且，则的值为                  . 13.（5分）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为                   . 14.（5分）已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是                   ． 四、解答题(共5小题,共77分) 15.（13分）已知集合，集合. (1) （6分）当时，求； (2) （7分）若是的充分条件，求的取值范围. 16.（15分）设集合，集合． (1)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围． 17.（15分）某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完． (1) （6分）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式． (2) （9分）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本） 18.（17分）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式． 19.（17分）已知函数． (1) （4分）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2) （6分）在（1）的前提下，求不等式的解集； (3) （7分）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $