2026-2027学年高一上学期10月月考模拟卷数学试题（湖南省）

2026-2027学年湖南省高一上学期10月月考模拟巻 数学试题 （范围：人教A：必修一第1章到第2章） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设集合A＝{周长为4 cm的正方形}，B＝{面积为4 cm2的长方形}，则正确的是（    ） A.A，B都是有限集 B.A，B都是无限集 C.A是无限集，B是有限集 D.A是有限集，B是无限集 2.已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　) A.   B. C.   D. 3.设是两个非空集合，且它们互不包含，那么等于(  ) A.S∩T B.S C.∅ D.T 4.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{－1,3,5}   D.x≤－或x≥3 5.已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（） A. B. C.或 D. 6.关于的不等式的解集可能是(  ) A. B. C. D. 7.已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 8.若，，且，则（） A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数y＝为二次函数的充分不必要条件可以是(　　) A.m＝1 B.(m－1)(m－3)＝0 C.m＝3 D.m＝4 10.设正实数、满足，则（） A.有最大值 B.有最小值 C.有最小值 D.有最大值 11.已知，则下列结论正确的是（） A. B.的最小值为2 C.若，则的最小值是9 D.若，则的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知.若是的充分条件，则实数的取值范围是                   13.设，，且，则的最小值为                   . 14.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是                  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤－5或x≥8}，N＝{x|a－1≤x≤2a＋1}. (1)若a＝5，求(∁UM)∩N； (2)若M∩N＝N，求实数a的取值范围. 16.已知集合，. (1)若，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17.某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体，房高为2.5 m)，前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧用2.5 m高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5 m，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米售价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米的材料费为200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．设房前后墙的长均为x m，两侧墙的长均为y m，每套房所用材料费为P元． (1)试用x，y表示P. (2)当前面墙的长度为多少时，简易房的占地面积最大？并求出最大面积． 18.对于函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)，若存在x0∈R，使得y＝a＋(b＋1)x0＋(b－1)＝x0成立，则称x0为y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)的不动点． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)的不动点； (2)若对任意实数b，函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围． 19.某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年湖南省高一上学期10月月考模拟巻 数学试题 （范围：人教A：必修一第1章到第2章） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设集合A＝{周长为4 cm的正方形}，B＝{面积为4 cm2的长方形}，则正确的是（    ） A.A，B都是有限集 B.A，B都是无限集 C.A是无限集，B是有限集 D.A是有限集，B是无限集 【答案】D 【解析】集合A：周长为4 cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个． 所以为有限集． 集合B：面积为4 cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个， 所以为无限集． 故选：D． 2.已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　) A.   B. C.   D. 【答案】B 【解析】∵∅{x|x2－x＋a＝0}， ∴方程x2－x＋a＝0有实根， ∴Δ＝1－4a≥0，解得a≤.故实数a的取值范围是.故选B. 3.设是两个非空集合，且它们互不包含，那么等于(  ) A.S∩T B.S C.∅ D.T 【答案】B 【解析】. 4.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{－1,3,5}   D.x≤－或x≥3 【答案】C 【解析】选项中只有x∈{－1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件． 5.已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（） A. B. C.或 D. 【答案】C 【解析】命题为真，得，恒成立， 由均值不等式得时，当且仅当时等号成立，故. 命题为真，得一元二次方程有实根， 故判别式，解得或. 由均为真命题，取两个范围的交集，由此可得或. 故选：C. 6.关于的不等式的解集可能是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以函数的图象与轴有两个交点， 又，由二次函数图像可知原不等式的解集不可能是B，C，D. 7.已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A可得，当时，不等式不成立，错误； 对于B，，当时，满足，但，错误； 对于C，因为，而，所以，则，正确； 对于D，当时，满足，不等式不成立，错误． 故选：C. 8.若，，且，则（） A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 【答案】C 【解析】对于选项A:因为且,由, 当且仅当时等号成立, 故的最大值为,A错误. 对于选项B:由,得, 当且仅当时等号成立, 故的最小值为,B错误. 对于选项C:由,又, 故,得, 当且仅当时等号成立, 故的最小值为,C正确. 对于选项D:由, 又,故, 得,即, 当且仅当时等号成立, 故的最大值为,D错误. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数y＝为二次函数的充分不必要条件可以是(　　) A.m＝1 B.(m－1)(m－3)＝0 C.m＝3 D.m＝4 【答案】AC 【解析】若函数y＝为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1. 10.设正实数、满足，则（） A.有最大值 B.有最小值 C.有最小值 D.有最大值 【答案】ACD 【解析】已知正实数，满足. 分析选项A：由基本不等式，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为，A正确. 分析选项B：，则，展开得， 由基本不等式，，当且仅当且时， 得，，但为正实数，故等号不成立，，B错误. 分析选项C：， 由，得，当且仅当时等号成立，C正确. 分析选项D：，最大值为，D正确. 故选：ACD. 11.已知，则下列结论正确的是（） A. B.的最小值为2 C.若，则的最小值是9 D.若，则的最大值为4 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当即时取等号，故A正确； 将原式化为， 由，得，且 等号成立条件即不成立，故B错误； 由，得， 当且仅当即时取等号，故C正确； 由， 得， 当且仅当即时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知.若是的充分条件，则实数的取值范围是                   【答案】 【解析】是的充分条件，故， 由此列出不等式组, 分别求解三个不等式得，，，取交集得. 故答案为： 13.设，，且，则的最小值为                   . 【答案】 【解析】由，，，得. 整理得， 由均值不等式得， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 14.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是                  ． 【答案】 【解析】方法一　由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1， 可得x2＝， 所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝， 当且仅当＝4y2， 即y＝±时取等号． 所以x2＋y2的最小值为. 方法二　设x2＋y2＝t>0，则x2＝t－y2. 因为5x2y2＋y4＝1， 所以5(t－y2)y2＋y4＝1， 所以4y4－5ty2＋1＝0. 由Δ＝25t2－16≥0， 解得t≥. 故x2＋y2的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤－5或x≥8}，N＝{x|a－1≤x≤2a＋1}. (1)若a＝5，求(∁UM)∩N； (2)若M∩N＝N，求实数a的取值范围. 【答案】解　(1)当a＝5时，N＝{x|4≤x≤11}. 又M＝{x|x≤－5或x≥8}， ∴∁UM＝{x|－5<x<8}. 因此(∁UM)∩N＝{x|4≤x<8}. (2)由于M∩N＝N，知NM. 当N＝时，则a－1>2a＋1， ∴a<－2，满足NM. 当N≠时，2a＋1≥a－1，则a≥－2. 要使NM，则2a＋1≤－5或a－1≥8， 解之得a≤－3或a≥9. 又a≥－2，所以a≥9. 综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥9或a<－2}. 16.已知集合，. (1)若，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】解：(1)由得,又, 故; (2)由“”是“”的充分不必要条件得,故且,解得, 故实数的取值范围为. 17.某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体，房高为2.5 m)，前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧用2.5 m高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5 m，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米售价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米的材料费为200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．设房前后墙的长均为x m，两侧墙的长均为y m，每套房所用材料费为P元． (1)试用x，y表示P. (2)当前面墙的长度为多少时，简易房的占地面积最大？并求出最大面积． 【答案】解　(1)根据题意，可知前后墙的费用之和为2x·450元，两侧墙的费用之和为2y·200元，房顶面积为xy m2，费用为200xy元， ∴P＝2x·450＋2y·200＋200xy＝900x＋400y＋200xy. (2)设简易房的占地面积为S m2，则S＝xy，且P≤32 000. 由题意，可得P＝900x＋400y＋200xy≥200S＋2＝200S＋1 200(当且仅当900x＝400y时等号成立)，∴200S＋1 200≤P≤32 000， ∴()2＋6－160≤0， ∴0<≤10， 当且仅当即x＝时，S取得最大值，最大值为100. 故当前面墙的长度为 m时，简易房的面积最大，最大面积为100 m2. 18.对于函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)，若存在x0∈R，使得y＝a＋(b＋1)x0＋(b－1)＝x0成立，则称x0为y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)的不动点． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)的不动点； (2)若对任意实数b，函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围． 【答案】解　(1)当a＝1，b＝－2时，y＝x2－x－3， 由y＝x得x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3， 所以当a＝1，b＝－2时，函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)的不动点为－1或3； (2)若对任意实数b，函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有不动点， 即方程ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，a≠0时恒有实数解， 则ax2＋bx＋(b－1)＝0，Δ＝b2－4ab＋4a≥0，在b∈R上恒成立， 则有解得0<a≤1， 所以a的取值范围为{0<a≤1}. 19.某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 【答案】解　(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件的售价为 万元， 即万元. 所以该企业的年销售收入为·Q=万元. 所以W=48Q+-32Q-3-x=16Q+(x≥0). (2)因为W=(x≥0)， 所以W= =-+50=-+50 ≤-2+50=42. 当且仅当即x=7时，等号成立. 所以Wmax=42. 所以当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万 学科网（北京）股份有限公司 $