精品解析：天津市建华中学2026－2027学年度第一学期八年级阶段性练习数学

2026-2027学年度第一学期八年级阶段性练习 数学 温馨提示：本试卷包含第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分100分，考试时间共100分钟，祝同学们考试的顺利！ 第Ⅰ卷　选择题（共24分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 4. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（） A. B. C. D. 7. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（ ） A. 只有甲、乙能求出 B. 只有甲、丙能求出 C. 只有乙、丙能求出 D. 甲、乙、丙都能求出 11. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷　非选择题（共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. 如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 14. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 15. 若a，b，c是的三边的长，化简______________． 16. 如图，在中，于点，于点，且，，，则_________． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 三、解答题（本大题共8小题，共61分） 18. 如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）． 19. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一边等于6，另一边等于4， 则它的周长为 ． （2）等腰三角形一边等于6，另一边等于3， 则它的周长为 ． 20. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为，则的面积______； （2）当，时，求的度数． （3）若，的周长比的周长多，求的长度． 21. 如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； （1）求的度数； （2）求的度数. 22. 如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB//DE，AB=DE，AD=CF．求证：BC//EF． 23. 某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 24. 如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图，平分，平分，若，求的度数． （2）如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． （3）如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级阶段性练习 数学 温馨提示：本试卷包含第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分100分，考试时间共100分钟，祝同学们考试的顺利！ 第Ⅰ卷　选择题（共24分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 3. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 4. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题突破口为三角形高的定义，即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】∵ 线段  是  的高 ， ∴ ． A选项中 ，不符合题意． B选项中 ，不符合题意． C选项中 ，不符合题意． D选项中 ，符合题意． 5. 如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，，则此项错误，符合题意； D、，则此项正确，不符合题意． 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 7. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 8. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 9. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可．解题的关键是掌握三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（ ） A. 只有甲、乙能求出 B. 只有甲、丙能求出 C. 只有乙、丙能求出 D. 甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【解析】 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 11. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴． 12. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 第Ⅱ卷　非选择题（共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. 如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 14. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 【答案】 ##15度 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再结合三角板的角度特征和三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15. 若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 16. 如图，在中，于点，于点，且，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：根据三角形面积公式可得，， ∵AB=3，BC=6，CE=5， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共61分） 18. 如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）． 【答案】作法：取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，如图所示： 点即为所求， 【解析】 【分析】取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】解：作图见答案， 理由： 是正方形的对角线，是矩形的对角线，是矩形的对角线， 平分，， 则， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 19. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一边等于6，另一边等于4， 则它的周长为 ． （2）等腰三角形一边等于6，另一边等于3， 则它的周长为 ． 【答案】（1）14或16 （2）15 【解析】 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，它的周长为14或16； 【小问2详解】 解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，它的周长为15． 20. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为，则的面积______； （2）当，时，求的度数． （3）若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【小问1详解】 解：是的中线，的面积为， ； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； 【小问3详解】 解：是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 21. 如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； （1）求的度数； （2）求的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的外角, ∴， 即； 【小问2详解】 解： ， 即． 22. 如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB//DE，AB=DE，AD=CF．求证：BC//EF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据“SAS”证明，得到问题得证． 【详解】证明：， ． 在和中， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明出是解题关键． 23. 某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】（1） （2），理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 24. 如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图，平分，平分，若，求的度数． （2）如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． （3）如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）①；②大小不变，度数恒为． （3）①；②的度数为或． 【解析】 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； ②大小不变，度数恒为， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为； 【小问3详解】 解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 整理得：． ②由①得：，，． 情况1：， ， ， ． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】（1）， （2） （3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点．   【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 【小问2详解】 解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $