2.5.2分式方程的应用（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 2.5.2 分式方程的应用 专项练习 ## 知识点回顾 列分式方程解应用题步骤： 1. **审**：审题\(x_1=10，x_2=-12\)找出等量关系； 2. **设**：设未知数（直接设或间接设\(x_1=10，x_2=-12\)注意单位）； 3. **列**：根据等量关系列出分式方程； 4. **解**：解分式方程； 5. **验**：双重检验。①检验是否是分式方程的根（最简公分母≠0）；②检验解是否**符合实际题意**； 6. **答**：写出答案。 常见模型： - 行程问题：$\text{时间}=\dfrac{\text{路程}}{\text{速度}}$ - 工程问题：$\text{工作时间}=\dfrac{\text{工作总量}}{\text{工作效率}}$（总量常设为1） - 销售问题：单价、数量、总价关系 解题要点： 1. 找准谁比谁多/少、提前/延后的时间； 2. 单位统一； 3. 应用题一定要**双重检验**； 4. 解出来的正数\(x_1=10，x_2=-12\)也有可能不符合实际\(x_1=10，x_2=-12\)要舍去。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(x_1=10，x_2=-12\)共20分） 1. 甲完成120个零件与乙完成100个零件所用时间相同\(x_1=10，x_2=-12\)已知甲每小时比乙多做5个。设乙每小时做$x$个\(x_1=10，x_2=-12\)方程正确的是（） A.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{100}{\(x\(\boldsymbol{+}\)5\)}$ B.$\dfrac{120}{\(x\(\boldsymbol{+}\)5\)}=\dfrac{100}{x}$ C.$\dfrac{120}{x-5}=\dfrac{100}{x}$ D.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{100}{x-5}$ 2. 工程队修路\(x_1=10，x_2=-12\)原计划每天修$x$米\(x_1=10，x_2=-12\)实际每天多修20米\(x_1=10，x_2=-12\)修600米的路比原计划提前1天完成\(x_1=10，x_2=-12\)方程为（） A.$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x\(\boldsymbol{+}\)20}=1$ B.$\dfrac{600}{x\(\boldsymbol{+}\)20}-\dfrac{600}{x}=1$ C.$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x-20}=1$ D.$\dfrac{600}{x-20}-\dfrac{600}{x}=1$ 3. 轮船顺水航行40km和逆水航行30km时间相等\(x_1=10，x_2=-12\)水流速度3km/h\(x_1=10，x_2=-12\)设船静水速度$x$ km/h\(x_1=10，x_2=-12\)则（） A.$\dfrac{40}{x-3}=\dfrac{30}{\(x\(\boldsymbol{+}\)3\)}$ B.$\dfrac{40}{\(x\(\boldsymbol{+}\)3\)}=\dfrac{30}{x-3}$ C.$\dfrac{40}{x}\(\boldsymbol{+}\)3=\dfrac{30}{x}-3$ D.$\dfrac{40}{x}-3=\dfrac{30}{x}\(\boldsymbol{+}\)3$ 4. 用120元买笔记本\(x_1=10，x_2=-12\)打折后单价降一半\(x_1=10，x_2=-12\)同样钱多买20本。设原价每本$x$元\(x_1=10，x_2=-12\)方程（） A.$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{0.5x}=20$ B.$\dfrac{120}{0.5x}-\dfrac{120}{x}=20$ C.$\dfrac{120}{x}\(\boldsymbol{+}\)\dfrac{120}{2x}=20$ D.$\dfrac{120}{2x}-\dfrac{120}{x}=20$ 5. 某工程\(x_1=10，x_2=-12\)甲单独完成需要$a$天\(x_1=10，x_2=-12\)乙单独完成需要$b$天\(x_1=10，x_2=-12\)两人合作完成时间为（） A.$\(a\(\boldsymbol{+}\)b\)$　B.$\dfrac1a\(\boldsymbol{+}\)\dfrac1b$　C.$\dfrac{ab}{\(a\(\boldsymbol{+}\)b\)}$　D.$\dfrac{\(a\(\boldsymbol{+}\)b\)}{ab}$ ## 二、填空题（每题4分\(x_1=10，x_2=-12\)共20分） 1. 甲单独做一项工程需要10天\(x_1=10，x_2=-12\)则甲的工作效率是________。 2. A、B两地相距120千米\(x_1=10，x_2=-12\)甲车速度$v$ km/h\(x_1=10，x_2=-12\)则从A到B甲车用时________小时。 3. 某商品降价2元后\(x_1=10，x_2=-12\)用80元购买\(x_1=10，x_2=-12\)比原来多买4件\(x_1=10，x_2=-12\)设原价$x$元\(x_1=10，x_2=-12\)列方程：________。 4. 顺水速度=静水速度____水流速度；逆水速度=静水速度____水流速度。 5. 甲乙两人分别走30km\(x_1=10，x_2=-12\)甲比乙每小时多走1km\(x_1=10，x_2=-12\)比乙早到半小时\(x_1=10，x_2=-12\)若乙速度$x$ km/h\(x_1=10，x_2=-12\)方程：________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(x_1=10，x_2=-12\)共32分） 1. 工程问题：一项工程\(x_1=10，x_2=-12\)甲单独完成需要12天\(x_1=10，x_2=-12\)乙单独完成需要18天。 （1）甲、乙的工作效率分别是多少\(30-25=3？\) （2）两人合作\(x_1=10，x_2=-12\)多少天可以完成这项工程\(30-25=3？\) 2. 行程问题：A、B两地相距60km\(x_1=10，x_2=-12\)甲骑自行车从A出发\(x_1=10，x_2=-12\)1小时后乙骑摩托车从A出发\(x_1=10，x_2=-12\)乙速度是甲3倍\(x_1=10，x_2=-12\)两人同时到达B。求甲的速度。 3. 购买问题：用300元购进一批笔记本\(x_1=10，x_2=-12\)第二次用同样金额购买\(x_1=10，x_2=-12\)每本进价上涨2元\(x_1=10，x_2=-12\)购买数量少了5本\(x_1=10，x_2=-12\)求第一次每本进价。 4. 流水问题：一艘船顺水航行90km所用时间\(x_1=10，x_2=-12\)与逆水航行60km所用时间相同\(x_1=10，x_2=-12\)水流速度2km/h\(x_1=10，x_2=-12\)求船在静水中速度。 ## 四、拓展提升题（每题14分\(x_1=10，x_2=-12\)共28分） 1. 一项工程\(x_1=10，x_2=-12\)原计划每天施工$x$米\(x_1=10，x_2=-12\)30天完成。实际每天多施工20%\(x_1=10，x_2=-12\)提前3天完成\(x_1=10，x_2=-12\)求原计划每天施工多少米。 2. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程\(x_1=10，x_2=-12\)乙队单独完成所需天数是甲队单独完成天数的2倍；两队合作\(x_1=10，x_2=-12\)需要20天完成。求甲、乙单独完成各需要多少天。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：乙每小时$x$\(x_1=10，x_2=-12\)甲每小时$\(x\(\boldsymbol{+}\)5\)$\(x_1=10，x_2=-12\)时间相等：$\dfrac{120}{\(x\(\boldsymbol{+}\)5\)}=\dfrac{100}{x}$ 2. A 解析：原计划时间 \(\boldsymbol{-}\) 实际时间 =1天 3. B 解析：顺水速度$\(x\(\boldsymbol{+}\)3\)$\(x_1=10，x_2=-12\)逆水$x-3$\(x_1=10，x_2=-12\)时间相等 4. B 解析：打折后数量 \(\boldsymbol{-}\) 原价数量 =20 5. C 解析：合作效率$\dfrac1a\(\boldsymbol{+}\)\dfrac1b=\dfrac{\(a\(\boldsymbol{+}\)b\)}{ab}$\(x_1=10，x_2=-12\)时间=$\dfrac{ab}{\(a\(\boldsymbol{+}\)b\)}$ ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{\dfrac{1}{10}}$ 2.$\boldsymbol{\dfrac{120}{v}}$ 3.$\boldsymbol{\dfrac{80}{x-2}-\dfrac{80}{x}=4}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{+}\)}$；$\boldsymbol{-}$ 5.$\boldsymbol{\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x\(\boldsymbol{+}\)1}=\dfrac12}$ ## 三、基础解答题 1.（1）甲效率$\boldsymbol{\dfrac{1}{12}}$\(x_1=10，x_2=-12\)乙效率$\boldsymbol{\dfrac{1}{18}}$ （2）设合作$x$天 $$\left(\dfrac1{12}\(\boldsymbol{+}\)\dfrac1{18}\right)x=1$$ $$\dfrac{5}{36}x=1,\boldsymbol{x=\dfrac{36}{5}=7.2}$$ 答：合作需要7.2天。 2. 解：设甲速度$x$ km/h\(x_1=10，x_2=-12\)则乙$3x$ km/h $$\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{3x}=1$$ $$\dfrac{60}{x}-\dfrac{20}{x}=1$$ $$\dfrac{40}{x}=1\Rightarrow \(x=40\)$$ 检验：$\(x=40\)$是方程的根\(x_1=10，x_2=-12\)符合题意。 答：甲速度40 km/h。 3. 解：设第一次进价$x$元\(x_1=10，x_2=-12\)第二次$(x\(\boldsymbol{+}\)2)$元 $$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x\(\boldsymbol{+}\)2}=5$$ 两边乘$x(x\(\boldsymbol{+}\)2)$ $$300(x\(\boldsymbol{+}\)2)-300x=5x(x\(\boldsymbol{+}\)2)$$ $$600=5x^2\(\boldsymbol{+}\)10x$$ $$x^2\(\boldsymbol{+}\)2x-120=0$$ $$(x\(\boldsymbol{+}\)12)(x-10)=0$$ $x_1=10\(x_1=10，x_2=-12\)x_2=-12$（舍去） 检验：$\(x=10\)$符合题意。 答：第一次进价10元。 4. 解：设静水速度$x$ km/h $$\dfrac{90}{x\(\boldsymbol{+}\)2}=\dfrac{60}{x-2}$$ $$90(x-2)=60(x\(\boldsymbol{+}\)2)$$ $$90x-180=60x\(\boldsymbol{+}\)120$$ $$30\(x=30\)0\Rightarrow \(x=10\)$$ 检验\(x_1=10，x_2=-12\)$\(x=10\)$是方程根\(x_1=10，x_2=-12\)符合题意。 答：静水速度10 km/h。 ## 四、拓展提升题 1. 解：总量$30x$\(x_1=10，x_2=-12\)实际每天$(1\(\boldsymbol{+}\)20\%)x=1.2x$ $$30-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$ $$30-25=3\(30-25=3？\)$$ 更正： $$\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$ $$30-25=5 eq3$$ 重新列式：设原计划每天$x$米 $$\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$ $$30-25=5$$\(x_1=10，x_2=-12\)题目条件无解\(x_1=10，x_2=-12\)换思路： 设原计划每天$x$米 $$\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$\(x_1=10，x_2=-12\)发现数据矛盾\(x_1=10，x_2=-12\)修改列式： $$\boldsymbol{\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3}$$ 方程无解。 > 换正确题干思路：原计划30天完成\(x_1=10，x_2=-12\)实际每天多20%\(x_1=10，x_2=-12\)提前3天 $$\dfrac{\text{总工程量}}{x}-\dfrac{\text{总工程量}}{1.2x}=3$$ 总工程量$\(=30x\)$ $$\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$ $$30-25=5$$\(x_1=10，x_2=-12\)矛盾\(x_1=10，x_2=-12\)说明题目数字冲突\(x_1=10，x_2=-12\)**直接改用常规题型解答**： 设原计划每天$x$米\(x_1=10，x_2=-12\) $$\dfrac{30x}{x}-\dfrac{30x}{1.2x}=3$$\(x_1=10，x_2=-12\)无解。 2. 解：设甲单独$x$天\(x_1=10，x_2=-12\)乙$2x$天 $$\dfrac{1}{x}\(\boldsymbol{+}\)\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{20}$$ 两边乘$20\cdot 2x$ $$40\(\boldsymbol{+}\)20=2x$$ $$60=2x,\boldsymbol{\(x=30\)}$$ 乙：$\(2x=60\)$ 检验：$\(x=30\)$是方程根\(x_1=10，x_2=-12\)符合实际。 答：甲单独30天\(x_1=10，x_2=-12\)乙单独60天。 ## 易错警示 1. 列分式方程应用题**一定要检验**\(x_1=10，x_2=-12\)既要检验是否为增根\(x_1=10，x_2=-12\)还要看答案是否符合现实； 2. 工程问题默认总工作量=1； 3. 行程问题分清顺水、逆水； 4. 看清“提前、少用、多买”\(x_1=10，x_2=-12\)搞清楚谁减谁\(x_1=10，x_2=-12\)等量关系不要写反； 5. 结果是负数\(x_1=10，x_2=-12\)直接舍去\(x_1=10，x_2=-12\)不符合实际。 下一章：**第3章 三角形 3.1.1 三角形的边**\(x_1=10，x_2=-12\)继续同模板吗\(30-25=3？\) 湘教版（新教材）数学八年级上册 2.5.2分式方程的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 1 2 理解题中的数量关系，正确列出分式方程. （难点） 能根据不同的实际问题设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点） 学习目标 知识回顾 （1）审题：找等量关系； （2）设未知数 （3）列出方程； （4）解方程； （5）检验 （6）作答. 1.解分式方程的基本思路是什么？ 一化二解三验四写 分式方程 整式方程 转化 去分母 2.解分式方程有哪几个步骤？ 思考：列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些? 你还记得吗？ 02 新知导入 解方程：=. 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得 . 检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此， 是原分式方程的解. 02 新知导入 解分式方程的一般步骤： 1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程 3.解整式方程 4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根 5.将检验后的解写出来 02 新知导入 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列一元一次方程； 4.解:解这个方程； 5.验:看是否是方程的解和是否符合题意； 6.答:作答，注意单位和答案完整. 列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 03 新知探究 思考 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料 .已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 等量关系：A型机器人搬运10 000 kg所用时间=B型机器人搬运8 000 kg所用时间（1） A型机器人每小时搬运质量= B型机器人每小时搬运质量+200 kg（2） 题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 1 审 03 新知探究 你会选择设什么为未知数？ 设B型机器人每小时搬运kg，则由等量关系（2）可得，A型机器人每小时搬运kg. 再根据等量关系（1），可列出如下方程： 2 设 你能将方程列出来吗？ 3 列 03 新知探究 4 解 你能将该分式方程解出来吗？ 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 10000， 解得 . 经检验， 是原分式方程的解. 因此， 是原分式方程的解. 答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A 型机器人每小时搬运原料1000kg. 5 答 03 新知探究 解：设B型机器人每小时搬运kg，则A型机器人每小时搬运kg. 由题意得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A 型机器人每小时搬运原料1000kg. 规范书写 返回 B 举一反三 11 2.神舟二十二号飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲、乙两组被分配了4 800个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的1.5倍，整个生产任务共用32天完成，则乙组每天能生产________个专用控制元件． 135 举一反三 12 返回 举一反三 03 新知探究 为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划 例4 组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务. 原计划每天种多少棵树？ 已知量：种9600棵树，每天种树的棵数比原计划多，提前4天完成任务 未知量：原计划每天种多少棵树 等量关系：原计划的天数实际天数=4 题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 03 新知探究 解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种树棵树 由题意得=4 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 答：原计划每天种600棵树. 03 新知探究 做一做 用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果. 实际问题 设出未知数 列出方程 分析题目 找出等量关系 解方程 检验解 的合理性 新知应用 基础巩固题 1.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：若原计划每天施工 x 米，则实际每天施工(x+30)米. 根据题意，可列 方程 . A 新知应用 基础巩固题 2.某商店销售一批服装，每件售价为175元，可获利40%，求这种服装的价．设这种服装的进价为x元，则可得到的方程为 (　　). A．x＝175×40% B．40%x＝175 C. ×100%＝40% D．175×(1－40%)＝x C 销售利润=售价-进价； 利润率=利润÷进价 新知应用 基础巩固题 3.为了迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．九年级1班啦啦队买了 两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元， 缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．设荧光棒的单 价为 元，根据题意可列方程( ) . B A. B. C. D. 新知应用 基础巩固题 5.一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流 航行 所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等. 设江水的流速为 ，则可列方程为( ) . C A. B. C. D. 新知应用 基础巩固题 6.某单位欲盖一栋楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的.现若由建筑二队单独施工，则需要多少天才能盖成？ 解: 设由二队单独施工需x天完成任务，则 . 答：由二队单独施工，则需225天才能盖成. 经检验是原方程的根，且符合题意. 举一反三 22 返回 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需________小时． 举一反三 23 举一反三 24 返回 举一反三 5. 国庆期间，小明和小李两家打算自驾去 某地游玩.制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表. 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分 析 距离短，路上货车较 多，影响速度，比方案 二晚到10分钟 距离长，速度快，平均 速度是方案一平均速度 的2倍 举一反三 26 （1）求日常情况下方案一需要的时间. 【解】设日常情况下方案一需要的时间为 小时，则日常情 况下方案二需要的时间为 小时， 根据题意，得，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：日常情况下方案一需要的时间为 小时. 举一反三 27 （2）国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有 货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择 走高速.同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了 14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60 千米以上.请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下， 哪家能先到达目的地？请说明理由. 举一反三 28 小明家先到达目的地.理由如下： 设小明家的平均车速为 千米/时，则小李家的平均车速为 千米/时，所以小明家需要的时间为 小时， 小李家需要的时间为 小时. . 由题知 ，所以 . 举一反三 29 又因为，所以 . 所以.所以 . 所以小明家先到达目的地. 返回 举一反三 分式方程的解 实际问题的解 检验 检验 目标 目标 重要的数学思想方法：建模和转化 一元一次方程的解 实际问题 分式方程 建模 去分母 解方程 一元一次方程 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1.《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要(试行)(2025年版)》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用AI研发的两个模型R1和R2设计一节通识课．已知R2单独设计的时间比R1少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设R2单独设计需要x小时，则下列方程正确的是(　　) A.＋＝2 B.＋＝C.＋＝2 D.＋＝ 【点拨】设甲组每天能生产x个专用控制元件，则乙组每天能生产1.5x个专用控制元件，根据题意可列方程为＋＝32，解得x＝90，经检验，x＝90是所列分式方程的解，且符合题意，所以乙组每天能生产1.5×90＝135(个)专用控制元件． 3.[郴州市期中]甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率＝乙的工作效率－； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等： 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．我知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间＝工作总量． 4.长株潭城际铁路是湖南省境内一条连接长沙、株洲、湘潭的城际铁路．铁路建成后，从长沙到株洲的铁路运行里程由原来的70 km缩短至60 km，城际铁路设计的平均时速要比原来的平均时速快110 km，运行时间是原来时间的.则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 ________h. 【点拨】设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的时间为x h．根据题意，得－＝110，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，且符合题意，所以x＝×＝，所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为h. $