第2章 分式【章末复习】（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学分式章末复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程，通过知识框架图和核心知识点梳理，将分式定义、基本性质、四则运算、方程解法及应用等内容串联，帮助学生构建完整的知识逻辑网络。 其亮点在于结合高频易错点设计分层练习，如基础填空题巩固分式有意义条件，应用题训练行程问题建模，培养学生的运算能力和模型意识。这种设计让不同水平学生有效巩固知识，教师也能通过专项练习精准把握学情，提升复习效率。

湘教版数学八年级上册第2章 分式 章末复习专项练习 一、本章知识体系框架 本章是初中代数核心内容，承接整式运算，为后续函数、方程学习奠定基础，整体分为分式概念与性质、分式运算、分式方程及应用三大模块，知识点层层递进、紧密关联。核心学习目标：掌握分式的定义与基本性质，熟练进行分式的四则运算，精通可化为一元一次方程的分式方程解法，能利用分式方程解决实际生活问题。 二、核心知识点全面梳理 （一）分式的基本概念与性质 1. 分式定义：形如$$\frac{A}{B}$$（A、B为整式，且B中含有未知数，B≠0）的式子叫做分式。判断关键：分母含未知数，与分子无关。分式有意义的条件：B≠0；分式无意义的条件：B=0；分式值为0的条件：A=0且B≠0，二者缺一不可。 2. 分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，公式表示为$$\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}$$、$$\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}$$（C≠0）。该性质是分式约分、通分的理论依据，也是分式运算的基础。 3. 约分与通分：约分是将分子分母的公因式约去，化为最简分式；通分是找几个分式的最简公分母，将异分母分式化为同分母分式，最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积。 （二）分式的四则运算 1. 乘除运算：分式乘法法则$$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$$；分式除法法则$$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$$。运算技巧：先因式分解，再约分，最后相乘，简化计算过程。 2. 加减运算：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法则计算，最后结果化为最简分式。 3. 混合运算：遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，全程注意因式分解和约分，杜绝计算冗余，结果必须化为最简形式。 （三）分式方程及实际应用 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程，核心特征区别于整式方程。 2. 解法核心：去分母，将分式方程转化为一元一次整式方程求解。标准步骤：找最简公分母→去分母化为整式方程→解整式方程→检验（必步骤）→写结论。 3. 增根知识点：增根是去分母后整式方程的解，但该解使原分式方程的最简公分母为0，导致原方程无意义，因此分式方程求解必须检验，增根需舍去。 4. 实际应用：核心题型为工程问题、行程问题、销售价格问题、工作量问题。解题六步法：审题、设元、列方程、解方程、双重检验（方程+实际意义）、作答，是本章重难点，也是考试高频考点。 三、本章高频易错点汇总 1. 概念误区：忽略分式有意义的条件，解题后不检验分母不为0；混淆分式值为0的条件，只令分子为0，忽略分母不为0的限制。 2. 运算误区：分式加减运算时，通分错误、分子加减漏括号；乘除运算未先因式分解，导致无法约分、计算繁琐；混合运算顺序混乱，随意省略步骤。 3. 方程误区：解分式方程去分母时，常数项漏乘最简公分母；省略检验步骤，误将增根当作方程的解。 4. 应用误区：实际问题求解后，未舍去负数、不符合场景的解，忽略实际数量的取值限制。 四、章末综合专项练习 （一）基础填空题（每空3分，共15分） 1. 若分式$$\frac{x-2}{x+1}$$有意义，则x的取值范围是________。 2. 若分式$$\frac{x^2-4}{x-2}$$的值为0，则x=________。 3. 化简：$$\frac{x^2-2x}{x}\div(x-2)$$=________。 4. 分式方程$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$$的解为________。 5. 一项工程，甲单独做a天完成，乙单独做b天完成，两人合作1天的工作量为________。 （二）化简计算题（每题10分，共30分） 1. $$\frac{a^2-9}{a^2+6a+9}\cdot\frac{a+3}{a-3}$$ 2. $$\frac{2}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}$$ 3. $$(1-\frac{1}{x+1})\div\frac{x}{x^2-1}$$ （三）分式方程求解（每题10分，共20分） 1. $$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$$ 2. $$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4}$$ （四）实际应用题（15分） 为响应绿色出行，小李骑自行车从家到高铁站，全程20千米。实际骑行速度比原计划每小时快4千米，结果提前20分钟到达，求小李原计划的骑行速度。 五、参考答案与详细解析 （一）基础填空题解析 1. $$x eq-1$$ 解析：分式有意义需分母$$x+1 eq0$$，即$$x eq-1$$。 2. $$x=-2$$ 解析：分子$$x^2-4=0$$得$$x=\pm2$$，分母$$x-2 eq0$$，舍去$$x=2$$，故$$x=-2$$。 3. $$1$$ 解析：原式因式分解约分后得$$\frac{x(x-2)}{x}\cdot\frac{1}{x-2}=1$$。 4. $$x=2$$ 解析：去分母得$$x=2(x-1)$$，解得$$x=2$$，检验合格。 5. $$\frac{a+b}{ab}$$ 解析：甲乙日工作量分别为$$\frac{1}{a}$$、$$\frac{1}{b}$$，相加通分可得结果。 （二）化简计算题解析 1. 解：原式$$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2}\cdot\frac{a+3}{a-3}=1$$，因式分解后全部约分，结果为1。 2. 解：原式通分，最简公分母$$(x+2)(x-2)$$，化简得$$\frac{2+x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x}{x^2-4}$$。 3. 解：原式先算括号内得$$\frac{x}{x+1}$$，再除法变乘法，因式分解约分后得$$x-1$$。 （三）分式方程求解解析 1. 解：两边同乘$$x(x-1)$$，得$$3(x-1)=2x$$，解得$$x=3$$。检验：公分母不为0，方程解为$$x=3$$。 2. 解：最简公分母$$(x+2)(x-2)$$，去分母化简得$$x^2+2x-x^2+4=4$$，解得$$x=0$$，检验合格，方程解为$$x=0$$。 （四）实际应用题解析 解：设原计划骑行速度为x千米/小时，实际速度为$$(x+4)$$千米/小时，20分钟=$$\frac{1}{3}$$小时。根据时间差列方程：$$\frac{20}{x}-\frac{20}{x+4}=\frac{1}{3}$$。去分母化简得$$x^2+4x-240=0$$ 湘教版（新教材）数学八年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 学习目标 知识结构 分式 概念 基本性质 运算 分式方程 约分 通分 分式的加法和减法 分式的乘法、除法和乘方 整数指数幂 最简分式 知识回顾 知识点1 分式 分式有意义的条件 分式无意义的条件 分式值为零的条件 g ≠ 0 g = 0 f = 0，g ≠ 0 　　设 f，g 都是多项式，其中 g 不为零多项式. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母. 3 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式(或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式________. 知识点2 分式的基本性质 相等 最简分式：分子与分母没有公因式的分式. 约分：把一个分式的分子与分母的 ________ 约去. 通分：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式. 公因式 4 知识点3 分式的运算 先乘方，再乘除，然后加减. 若有括号，先算括号里面的. 加、减法： 乘、除法： 乘方： 混合运算： 知识点4 整数指数幂 同底数幂的除法： 零次幂： 负整数指数幂： a×10 –n (1  |a| < 10，n 是正整数) 科学记数法： 知识点4 整数指数幂 整数指数幂的基本性质： 1. am·an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数) 2. (am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数) 3. (ab)n = an·bn (a ≠ 0，b ≠ 0，n 是整数) 4. (a ≠ 0，b ≠ 0，n 是整数) 知识点5 可化为一元一次方程的分式方程 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2. 分式方程的解法： 分式方程 去分母 整式方程 求解 x = m x = m 是分式方程的解 目标 最简公分母不为0 检验 考点一 分式的有关概念 例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 . 【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程和不等式，求出 x 的值. 由题意可得 x2 - 1 = 0，且 x + 1 ≠ 0，解得 x = 1. 故答案为：1 1 考试考法 考点二 分式的有关计算 例2 已知 x = 2，y = 10，求 的值. 【分析】一般应先化简分式，再代入字母值求值. 将 x = 2，y = 10 代入得 解：原式 = 原式 = 考试考法 10 10 考点三 分式方程的解法 例3 解下列分式方程：        解：(1) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)(x - 1)，得 x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0， 经检验，x = 0 是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)，得 x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3， 经检验，x = -3 是原分式方程的解． 考试考法 经检验，x = 4 是原分式 方程的解.且符合题意 例4 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支. 求第一次每支铅笔的进价是多少元. 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x = 4. 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元. 考点四 分式方程的实际应用 考试考法 考点五 本章数学思想和解题方法 主元法 例5 已知 ，求 的值. 【分析】由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式， 得 ，代入约分即可求值. 解：因为 ，所以 . 所以 考试考法 13 13 考点1 分式的有关概念及基本性质 1. 在，，， 中，分式有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. ［2025上海长宁区月考］分式 ,,, 中是最简分式的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 14 3. 下列各式从左到右的变形正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 15 4. ［2025常德开学考试］根据分式的性质，可以将分式 为整数 进行如下变形： ，其中 为整数. 结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为0； 结论Ⅱ：若的值为整数，则 的值有3个. 举一反三 16 以上两个结论中( ) C A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 举一反三 17 【点拨】 ，由 化简过程可知，，，所以 .所以 ；由题意可知，若的值为整数且 为整数， 则,2,,，所以,1,, ，综上所述， ,, .所以Ⅰ不对,Ⅱ对. 返回 举一反三 18 5.［2024安徽］若分式有意义，则实数 的取值范围是 _______. 返回 举一反三 19 考点2 分式的运算 6.［2024重庆］计算： . 【解】 . 返回 举一反三 20 7.［2024连云港］下面是某同学计算 的解题过程： 解： 上述解题过程是从第几步开始出现错误的？请写出正确的解 题过程. 举一反三 21 【解】是从第②步开始出现错误的.正确的解题过程如下： 原式 . 返回 举一反三 22 8.［2024烟台］利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如 下： ，若 是其显示结果的平方根，先化简： ，再求值. 举一反三 23 【解】 .由题知 . 因为，所以，所以.当 时， 原式 . 返回 举一反三 课堂小结 分式方程的解 分式方程 实际问题 实际 问题 的答案 目标 分式 目标 类比分 数性质 分式基本性质 类比分 数运算 分式的运算 列式 整式方程 去分母 解整式方程 整式方程的解 检验 列方程 谢谢观看 THANKS $