2.5.1 分式方程及其解法 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 2.5.1 分式方程及其解法 专项练习 ## 知识点回顾 分式方程定义：**分母中含有未知数的方程叫做分式方程**。 解分式方程基本思路：**去分母\(5x+1=6，x=1\)把分式方程转化为整式方程**。 解题步骤： 1. 找最简公分母； 2. 方程两边同乘最简公分母\(5x+1=6，x=1\)化为整式方程； \(\boldsymbol{3}\). 解这个整式方程； 4. **检验（必不可少）**：把整式方程的根代入最简公分母\(5x+1=6，x=1\)若最简公分母≠0\(5x+1=6，x=1\)则是原分式方程的根；若等于0\(5x+1=6，x=1\)则是**增根**\(5x+1=6，x=1\)原方程无解。 增根：去分母后得到的整式方程的根\(5x+1=6，x=1\)使原分式分母为0\(5x+1=6，x=1\)不是原分式方程的解。 解题要点： 1. 不含未知数的分母不是分式方程； 2. 去分母时\(5x+1=6，x=1\)**方程每一项都要乘最简公分母\(5x+1=6，x=1\)常数项不要漏乘**； \(\boldsymbol{3}\). 必须检验\(5x+1=6，x=1\)分式方程检验是必要步骤； 4. 若求出的根是增根\(5x+1=6，x=1\)则原方程无解。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(5x+1=6，x=1\)共20分） 1. 下列方程属于分式方程的是（） A.$\dfrac{x}{2}+1=0$　B.$\dfrac{1}{x}=2$ C.$\(2x+\(\boldsymbol{3}\)=5\)$　D.$x^2-1=0$ 2. 解分式方程$\dfrac{1}{x-2}=\(\boldsymbol{3}\)$\(5x+1=6，x=1\)去分母后得到的整式方程是（） A.$1=\(\boldsymbol{3}\)(x-2)$　B.$1=\(\boldsymbol{3}\)(2-x)$ C.$1(x-2)=\(\boldsymbol{3}\)$　D.$x-2=\(\boldsymbol{3}\)$ \(\boldsymbol{3}\). 分式方程$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$的解的情况是（） A.$\(x=1\)$　B.$\(x=0\)$　C.无解　D.$x=-1$ 4. 若分式方程$\dfrac{x}{x-\(\boldsymbol{3}\)}-2=\dfrac{m}{x-\(\boldsymbol{3}\)}$有增根\(5x+1=6，x=1\)则增根是（） A.$\(x=0\)$　B.$\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)$　C.$x=-\(\boldsymbol{3}\)$　D.$\(x=2\)$ 5. 解方程$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{1}{x}$\(5x+1=6，x=1\)正确的解是（） A.$\(x=1\)$　B.$\(x=2\)$　C.$x=-1$　D.$x=-2$ ## 二、填空题（每题4分\(5x+1=6，x=1\)共20分） 1. 方程$\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)}{x}=1$的解是________。 2. 分式方程$\dfrac{1}{x-\(\boldsymbol{3}\)}+2=\dfrac{4-x}{\(\boldsymbol{3}\)-x}$的最简公分母是________。 \(\boldsymbol{3}\). 若$\(x=2\)$是方程$\dfrac{a}{x-1}=\(\boldsymbol{3}\)$的解\(5x+1=6，x=1\)则$\(a=\)$________。 4. 分式方程去分母产生增根\(5x+1=6，x=1\)增根一定使________等于0。 5. 方程$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+\(\boldsymbol{3}\)}$的解为________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(5x+1=6，x=1\)共\(\boldsymbol{3}\)2分） 1. 解分式方程： （1）$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{\(\boldsymbol{3}\)}$　　（2）$\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)}{x-1}=1$ 2. 解分式方程： （1）$\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2}{2x-1}$　　（2）$\dfrac{x}{x-2}=\(\boldsymbol{3}\)$ \(\boldsymbol{3}\). 解分式方程：$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{1}{x}$ 4. 解分式方程：$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)}{(x-1)(x+2)}$ ## 四、拓展提升题（每题14分\(5x+1=6，x=1\)共28分） 1. 解方程：$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)}{x-1}=\dfrac{6}{x^2-1}$ 2. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{x-\(\boldsymbol{3}\)}{x-2}=\dfrac{m}{2-x}+1$有增根\(5x+1=6，x=1\)求$m$的值。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：只有B选项分母含有未知数$x$。 2. A 解析：两边同乘$(x-2)$\(5x+1=6，x=1\)得$1=\(\boldsymbol{3}\)(x-2)$。 \(\boldsymbol{3}\). C 解析：去分母得$\(x=1\)$\(5x+1=6，x=1\)代入分母$x-1=0$\(5x+1=6，x=1\)是增根\(5x+1=6，x=1\)方程无解。 4. B 解析：增根让分母$x-\(\boldsymbol{3}\)=0$\(5x+1=6，x=1\)即$\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)$。 5. B 解析：交叉相乘$\(2x=x+1\)$\(5x+1=6，x=1\)$\(x=1\)$？更正：$\(2x=x+1\)\Rightarrow \(x=1\)$\(5x+1=6，x=1\)选A。 ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)}$ 2.$\boldsymbol{x-\(\boldsymbol{3}\)}$ \(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ 4. **最简公分母** 5.$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)}$ ## 三、基础解答题 1.（1）两边同乘$\(\boldsymbol{3}\)x$：$\(6=x\)$\(5x+1=6，x=1\)检验：$\(\(\boldsymbol{x=6}\)\)$时分母不为0\(5x+1=6，x=1\)$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=6}\)\)}$ （2）两边同乘$x-1$：$\(\boldsymbol{3}\)=x-1$\(5x+1=6，x=1\)$\(\(\boldsymbol{x=4}\)\)$\(5x+1=6，x=1\)检验\(5x+1=6，x=1\)$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=4}\)\)}$ 2.（1） $\begin{align} 2x-1&=2(x+2)\\ 2x-1&=2x+4\\ -1&=4 \end{align}$ 等式不成立\(5x+1=6，x=1\)**方程无解** （2）两边同乘$x-2$：$\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)(x-2)$\(5x+1=6，x=1\)$\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)x-6$\(5x+1=6，x=1\)$-2x=-6$\(5x+1=6，x=1\)$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=\(\boldsymbol{3}\)}\)\)}$\(5x+1=6，x=1\)检验成立。 \(\boldsymbol{3}\). 解： $\begin{align} 2x&=x-1\\ x&=-1 \end{align}$ 检验：$x=-1$\(5x+1=6，x=1\)分母不为0\(5x+1=6，x=1\)$\boldsymbol{x=-1}$ 4. 解： 两边同乘$(x-1)(x+2)$ $x(x+2)-(x-1)(x+2)=\(\boldsymbol{3}\)$ $x^2+2x-(x^2+x-2)=\(\boldsymbol{3}\)$ $x+2=\(\boldsymbol{3}\) \Rightarrow \(x=1\)$ 检验：$\(x=1\)$使分母为0\(5x+1=6，x=1\)**增根\(5x+1=6，x=1\)原方程无解** ## 四、拓展提升题 1. 解：最简公分母$(x+1)(x-1)$ 两边同乘公分母： $2(x-1)+\(\boldsymbol{3}\)(x+1)=6$ $2x-2+\(\boldsymbol{3}\)x+\(\boldsymbol{3}\)=6$ $5x+1=6\(5x+1=6，x=1\)\(x=1\)$ 检验：$\(x=1\)$时分母为0\(5x+1=6，x=1\)**增根\(5x+1=6，x=1\)方程无解** 2. 解： 原方程变形：$\dfrac{x-\(\boldsymbol{3}\)}{x-2}=-\dfrac{m}{x-2}+1$ 同乘$x-2$：$x-\(\boldsymbol{3}\)=-m+x-2$ 增根满足$x-2=0$\(5x+1=6，x=1\)即$\(x=2\)$ 代入整式方程：$2-\(\boldsymbol{3}\)=-m+2-2$ $-1=-m$\(5x+1=6，x=1\)$\boldsymbol{\(\boldsymbol{m=1}\)}$ ## 易错警示 1. 区分分式方程和整式方程：**看分母有没有未知数**； 2. 去分母时常数项不要漏乘最简公分母； \(\boldsymbol{3}\). 移项、去括号注意符号； 4. **分式方程必须检验**\(5x+1=6，x=1\)这是必考步骤； 5. 增根不是解方程算错\(5x+1=6，x=1\)是去分母过程人为扩大未知数范围。 下一节：**2.5.2 分式方程的应用**\(5x+1=6，x=1\)继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 2.5.1分式方程及其解法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 1 2 3 了解分式方程的概念. （重点） 掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 理解分式方程验根的原因，掌握验根的方法. （难点） 学习目标 新知探究 动脑筋 为了更好地践行"绿水青山就是金山银山"的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系 每天种树的棵数=原计划的棵树 原计划的天数实际天数=4 原计划的天数: . 实际天数: . 思考：与一元一次方程比较，这个方程有什么特点？ 分母中含有未知数 02 新知导入 解方程：=. 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得x=11， 两边都除以1，得x. 解一元一次方程的基本步骤： ①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤化系数为1. 4 03 新知探究 做一做 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系. ? 等量关系：走线路一的时间走线路二的时间=10min . 03 新知探究 做一做 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系. 这个等式正确吗？ 单位不统一 像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 03 新知探究 我们前面所学的解方程都有什么特征？ 思考：如何求解分式方程? 前面求解的方程左右两边都是整式. 有没有方法将分式方程转化为整式方程？ 分式方程 整式方程 分式的基本性质 两边同乘最简公分母 7 03 新知探究 思考：如何求解分式方程? 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得 . 检验：将用 30代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此， 是原分式方程的解. 8 03 新知探究 解方程：=. 例1 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得 . 检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此， 是原分式方程的解. 03 新知探究 解方程：. 例2 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得 . 检验：将用2代入原分式方程，方程左边的值为，不存在这种数，因 此不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 03 新知探究 从例 2 可发现，将x用2代入最简公分母，则它的值为 0，所以不是原分式方程的解. 注意：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的解. 增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根. 03 新知探究 议一议 为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？ 当最简公分母的值为0时，原分式方程无意义，所以该未知数的值不是分式方程的解. 1. 下列关于的式子：； ； ；； .是分式方程的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 解分式方程 的步骤：①方 程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程 ; ③解得x＝1；④故x＝1是原方程的解． 其中有误的一步为(　　) B A. ① B. ② C. ③ D. ④ 返回 举一反三 13 返回 3. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数 分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍， 则 ____. 举一反三 14 4.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则 的值为___. 的取值 4 16 分式的值 不存在 0 0.1 举一反三 【点拨】因为当时，分式 无意义，所以 ，所以.因为当 时，分式 ，所以，所以.所以 ， ，解得，经检验， 是分式方程 的解.所以 . 返回 举一反三 16 03 新知探究 解方程：=5. 例3 解：由于最简公分母为3，于是将方程两边同乘，得 ， 解得 . 经检验， 是原分式方程的解. 03 新知探究 议一议 解分式方程的一般步骤是什么？ 解分式方程的一般步骤： 1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程 3.解整式方程 4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根 5.将检验后的解写出来 新知应用 基础巩固题 不含等号 1.下列关于x的式子：① ；② ； ；④ ；⑤ .其中是分式方 程的有_______________ 分母不含未知数 ②⑤ 判断一个方程是否为分式方程，是取决于分母中是否含有未知数. 新知应用 基础巩固题 2.分式方程 的解是( ) . D A. B. C. D. 3.解分式方程 =8 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. 2(x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8 C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8 A 勿漏乘整式项！ 因式分解，注意符号 新知应用 基础巩固题 4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘2（x+1），得 2（x+1）x3＝6x． 第①步 解得x＝ 第②步 检验：当x＝ 时，有2（x+1）≠ 0 第③步 ∴原方程的解为x＝ 第④步 分子是多项式，去分母后要加括号 新知应用 基础巩固题 4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘（x﹣3），得 2﹣x+3＝2 第①步 解得x＝3 第②步 ∴原方程的解为x＝3 第③步 漏乘 没有检验 新知应用 基础巩固题 5. 解下列方程： 解: 方程两边同乘最简公分母2x（x-3） 5（x-3）-2x=0 解得 x=5 检验：把x=5代入2x（x-3）， 因此x=5是原方程的解. 解得 x= 检验：把x= 代入最简公分母 2x-1， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： x+2=3（2x-1）， 两边同时乘以最简公分母 2x-1，得 新知应用 基础巩固题 解得 x=1 检验：把x= 1 代入最简公分母 x-1， 因此x=1不是原方程的解，原分式方程无解. 解: 原方程变形为： 1-x=x-1， 两边同时乘以最简公分母 x-1，得 解得 x= 检验：把x= 代入 x(x+1)(x-1)， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： 3(x+1)=x， 两边同时乘以最简公分母 x(x+1)(x-1)，得 （2） ; 原方程化为 ，方程两边同乘 ，得 ，解得 .检验:当时，，所以 不是 原分式方程的解.所以原分式方程无解. 5. 解下列方程： 举一反三 25 返回 【解】方程两边同乘x(x－1)，得5x－3(x－1)＝x＋5，解得x＝2.检验：把x＝2代入x(x－1)＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解． 举一反三 26 返回 A 举一反三 27 D 返回 举一反三 28 返回 8.若关于的分式方程 的解比分式方程 的解大2，则 的值为__. 举一反三 29 返回 －6 1.5或－6 －1或－6或1.5 举一反三 30 返回 B 举一反三 31 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用） (3)不要忘记检验 谢谢观看 THANKS (2)－＝. 6.小明在解关于x的分式方程＝－2时，发现墨水把一个数污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 7．若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是(　　) A．m＝－ B．m< C．m>－且m≠0 D．m<且m≠ 9．已知关于x的方程＋＝. (1)若方程的增根为x＝1，则m的值为________； (2)若方程有增根，则m的值为____________； (3)若方程无解，则m的值为___________________． 10.[眉山市中考]若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程＝2－的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　) A．8 B．14 C．18 D．38 $