2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“可化为一元一次方程的分式方程的解法”，梳理分式方程定义、转化思想、五步解法及增根检验等核心知识点。通过具体方程实例导入，连接一元一次方程知识，搭建“分式方程→整式方程”的转化支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层例题设计与典例对比分析，结合考试考法培养抽象能力、推理意识和模型意识。如通过例1有解与例2增根对比强化检验逻辑，易错小结点明漏乘等问题。学生能掌握解法与易错点，提升严谨性，教师可借助系统资源与分层练习提高教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法 第2章 分式 湘教版数学八年级上册2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法同步练习题 核心知识点梳理 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 解题核心思想：转化思想，将分式方程通过去分母转化为熟悉的一元一次方程求解。 3. 标准解题五步步骤： ① 找最简公分母；② 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；③ 解一元一次方程；④ 必须检验（关键步骤）；⑤ 写出方程的解或无解。 4. 增根概念：去分母过程中产生的、使原分式方程分母为0的根，叫做增根，增根必须舍去。 5. 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，是原方程的解；若=0，是增根，原方程无解。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列方程属于分式方程的是（） A. $$\dfrac{x}{2}+1=0$$ B. $$\dfrac{1}{x}+2=0$$ C. $$2x+3=1$$ D. $$\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}=1$$ 2. 解分式方程$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$$，其最简公分母是（） A. $$x-1$$ B. $$x$$ C. $$x(x-1)$$ D. $$x^2-x$$ 3. 解分式方程$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x}$$，去分母正确的是（） A. $$2x=3(x+1)$$ B. $$2x=3x+1$$ C. $$2(x+1)=3x$$ D. $$2x=3$$ 4. 分式方程$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$的增根为（） A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x=2$$ D. $$x=-2$$ 5. 方程$$\dfrac{x}{x-1}=1$$的解的情况是（） A. $$x=1$$ B. $$x=0$$ C. 无解 D. 无数解 6. 解方程$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-2}$$的解为（） A. $$x=2$$ B. $$x=4$$ C. $$x=6$$ D. $$x=-6$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 分式方程解题必须进行________，防止出现增根。 8. 方程$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+3}$$的解是________。 9. 若$$x=3$$是方程$$\dfrac{a}{x-1}=1$$的解，则$$a=$$________。 10. 分式方程$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{1}{x}$$的最简公分母为________。 11. 方程$$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{x}{x-3}$$的增根是________。 12. 解方程$$\dfrac{x-1}{x}=0$$，得$$x=$$________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）解下列基础分式方程： （1）$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$ （2）$$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{2x}$$ 14.（18分）解含整式项的分式方程： （1）$$\dfrac{1}{x-1}+1=\dfrac{x}{x+1}$$ （2）$$\dfrac{3}{x-2}+2=\dfrac{x}{x-2}$$ 15.（18分）易错无解题型： 解方程$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 参考答案及详细解析 一、选择题 1.B（分母含未知数的方程为分式方程）； 2.C（分母为$$x-1、x$$，最简公分母$$x(x-1)$$）； 3.A（两边同乘$$x(x+1)$$得：$$2x=3(x+1)$$）； 4.C（令分母$$x-2=0$$，得增根$$x=2$$）； 5.C（去分母得$$x=x-1$$，化简$$0=-1$$，矛盾，无解）； 6.C（交叉相乘$$3(x-2)=2x$$，解得$$x=6$$，检验成立）。 二、填空题 7. 检验； 8. $$x=3$$； 9. $$2$$（代入$$x=3$$，$$\dfrac{a}{2}=1$$，得$$a=2$$）； 10. $$x(x+1)$$； 11. $$x=3$$； 12. $$1$$（分子为0且分母不为0）。 三、解答题 13. 解： （1）两边同乘$$x(x+1)$$得：$$2(x+1)=3x$$， 展开化简：$$2x+2=3x$$，解得$$x=2$$， 检验：$$x=2$$时，$$x(x+1) eq0$$，故原方程解为$$x=2$$。 （2）两边同乘$$2x(x-2)$$得：$$2x=x-2$$， 解得$$x=-2$$，检验成立，原方程解为$$x=-2$$。 14. 解： （1）两边同乘$$(x-1)(x+1)$$： $$x+1+(x-1)(x+1)=x(x-1)$$， 化简：$$x+1+x^2-1=x^2-x$$，得$$2x=0$$，$$x=0$$，检验成立。 （2）两边同乘$$x-2$$：$$3+2(x-2)=x$$， 化简得$$2x-1=x$$，$$x=1$$，检验成立。 15. 解：两边同乘$$(x-1)(x+2)$$去分母： $$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$， 展开化简：$$x^2+2x-x^2-x+2=3$$，解得$$x=1$$， 检验：$$x=1$$时，最简公分母为0，是增根，原分式方程无解。 本节易错小结 1. 解分式方程必须检验，这是分式方程解题的得分关键点，不可省略； 2. 方程中的整式项去分母时也要乘最简公分母，极易漏乘出错； 3. 去分母时，分子是多项式需要加括号，避免符号错误； 4. 求出整式方程的解后，若解使分母为0，即为增根，原方程无解。 学习目标 1.理解分式方程的概念； 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 3.掌握检验分式方程的解的方法.（难点） 学习目标 定义： 像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程. 分式方程的概念 1 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得 方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值， 9 600 - 7 200 = 4x， 解得 x = 600. x = 600 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x 用 600 代入原分式方程中， 因此 x = 600 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳总结 例1 解方程： 解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得 解得 x = -3. 检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为 因此， x = -3 是原分式方程的解. 典例精析 5x - 3(x - 2) = 0， 右边的值也是0， 从而左边的值＝右边的值， 解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得 x + 2 = 4， 解得 x = 2. x = 2 是原分式方程的解吗？ 例2 解方程： . 检验：将 x 用 2 代入原分式方程，方程左边的值为 ， 不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 典例精析 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 9 600 - 7 200 = 4x 两边同乘 x 当x=600时，x≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 2 = 4 两边同乘(x-2)(x+2) 当x=2时，(x-2)(x+2)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解. 例3 解方程： 解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得 x + (-2) = 5(3x - 2)， 解得 x = . 经检验，x = 是原分式方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下： 归纳总结 用框图总结为： 可化为一元一次方程的分式方程 一元一次方程 方程两边同乘最简公分母 求解 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 当x = a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 1. 下列关于的式子：； ； ；； .是分式方程的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 解分式方程 的步骤：①方 程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程 ; ③解得x＝1；④故x＝1是原方程的解． 其中有误的一步为(　　) B A. ① B. ② C. ③ D. ④ 返回 考试考法 17 返回 3. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数 分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍， 则 ____. 考试考法 18 4.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则 的值为___. 的取值 4 16 分式的值 不存在 0 0.1 考试考法 【点拨】因为当时，分式 无意义，所以 ，所以.因为当 时，分式 ，所以，所以.所以 ， ，解得，经检验， 是分式方程 的解.所以 . 返回 考试考法 20 （2） ; 原方程化为 ，方程两边同乘 ，得 ，解得 .检验:当时，，所以 不是 原分式方程的解.所以原分式方程无解. 5. 解下列方程： 考试考法 21 返回 【解】方程两边同乘x(x－1)，得5x－3(x－1)＝x＋5，解得x＝2.检验：把x＝2代入x(x－1)＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解． 考试考法 22 返回 A 考试考法 23 D 返回 考试考法 24 分式 方程 误区 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘； 步骤 (去分母法) 一化(分式方程转化为整式方程)； 二解(整式方程)； 三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零) (2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)； (3)忘记检验. 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 课堂小结 (2)－＝. 6.小明在解关于x的分式方程＝－2时，发现墨水把一个数污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 7．若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是(　　) A．m＝－ B．m< C．m>－且m≠0 D．m<且m≠ $