2.1.2分式的基本性质（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 2.1.2 分式的基本性质 专项练习 ## 知识点回顾 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个**不等于0**的整式\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)分式的值不变。 公式：$\boldsymbol{\dfrac{f}{g}=\dfrac{f\cdot h}{g\cdot h}=\dfrac{f\div h}{g\div h}(h eq0)}$。 分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三个符号中\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)**同时改变其中两个\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)分式的值不变**。 约分：把分式分子、分母的公因式约去\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)这种变形叫分式的约分；约分的结果是最简分式（分子分母没有公因式）。 约分步骤：①分子分母先因式分解；②找出分子分母公因式；③约去公因式。 注意：同乘或同除的整式$h$不能等于0；约分必须对**整体**进行\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)不能只约部分项。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)共20分） 1. 根据分式基本性质\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)$\dfrac{a}{a-b}$可变形为（） A.$\dfrac{a}{a+b}$　B.$-\dfrac{a}{b-a}$　C.$\dfrac{-a}{a-b}$　D.$\dfrac{a}{b-a}$ 2. 下列变形正确的是（） A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+2}{y+2}$　B.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{y^2}$ C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{ax}{ay}(a eq0)$　D.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x-2}{y-2}$ 3. 分式$\dfrac{2xy}{x^2}$约分后的结果是（） A.$2y$　B.$\dfrac{2y}{x}$　C.$\dfrac{y}{x}$　D.$\dfrac{2}{x}$ 4. 把分式$\dfrac{0.2x+0.5y}{0.3x-y}$的分子分母各项系数化为整数\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)结果是（） A.$\dfrac{2x+5y}{3x-10y}$　B.$\dfrac{2x+5y}{3x-y}$ C.$\dfrac{20x+50y}{30x-10y}$　D.$\dfrac{0.2x+5y}{0.3x-y}$ 5. 下列分式属于最简分式的是（） A.$\dfrac{2x}{x^2}$　B.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$　C.$\dfrac{x+2}{x^2+1}$　D.$\dfrac{2x+4}{4x-8}$ ## 二、填空题（每题4分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)共20分） 1. $\dfrac{2}{3x}=\dfrac{(\quad)}{6x^2}$。 2. $\dfrac{x^2+xy}{x^2}=\dfrac{x+y}{(\quad)}$。 3. 不改变分式的值\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)使$\dfrac{-a+b}{-a-b}$分子分母首项符号为正：________。 4. 约分：$\dfrac{4a^2b}{6ab^2}=$________。 5. 若$\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{x^2}{x(x-3)}$成立\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)则$x$应满足________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)共32分） 1. 在括号内填上适当的整式\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)使等式成立 （1）$\dfrac{3}{a}=\dfrac{3b}{(\quad)}(b eq0)$　（2）$\dfrac{x}{2x-4}=\dfrac{(\quad)}{2(x-2)}$ 2. 不改变分式的值\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)把下列分式分子分母各项系数化为整数 （1）$\dfrac{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y}{\dfrac{1}{4}x-y}$　（2）$\dfrac{0.1a-0.2b}{0.03a+0.04b}$ 3. 约分 （1）$\dfrac{12a^2}{18a}$　（2）$\dfrac{x^2-4}{x+2}$ 4. 不改变分式的值\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)使分子、分母的最高次项系数为正数 （1）$\dfrac{-x+1}{-x^2+3}$　（2）$\dfrac{2-x}{-x^2+1}$ ## 四、拓展提升题（每题14分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)共28分） 1. 已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)求分式$\dfrac{2x-y}{x+2y}$的值。 2. 先约分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)再求值：$\dfrac{x^2-2xy}{x^2-4y^2}$\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)其中$x=5\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)y=2$。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：$a-b=-(b-a)$\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{a}{-(b-a)}=-\dfrac{a}{b-a}$。 2. C 解析：分式基本性质要求同乘不为0的整式\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)A、D分子分母加减\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)B平方\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)都错误。 3. B 解析：约去公因式$x$\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)原式$=\dfrac{2y}{x}$。 4. A 解析：分子分母同乘10\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)得到$\dfrac{2x+5y}{3x-10y}$。 5. C 解析：A、B、D都可以继续约分\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)C分子分母无公因式。 ## 二、填空题 1.$4x^2$ 2.$x$ 3.$\dfrac{a-b}{a+b}$ 4.$\dfrac{2a}{3b}$ 5.$x eq0$ ## 三、基础解答题 1.（1）$ab$；（2）$x$ 2.（1）分子分母同乘12\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)原式$=\dfrac{6x+4y}{3x-12y}$； （2）分子分母同乘100\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)原式$=\dfrac{10a-20b}{3a+4b}$。 3.（1）原式$=\dfrac{6a\cdot2a}{6a\cdot3}=\dfrac{2a}{3}$； （2）原式$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$（$x eq-2$）。 4.（1）原式$=\dfrac{x-1}{x^2-3}$；（2）原式$=\dfrac{x-2}{x^2-1}$。 ## 四、拓展提升题 1. 解：设$x=2k\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)y=3k(k eq0)$ $\begin{align} \dfrac{2x-y}{x+2y}&=\dfrac{4k-3k}{2k+6k}\\ &=\dfrac{k}{8k}\\ &=\dfrac18 \end{align}$ 2. 解： $\begin{align} \dfrac{x^2-2xy}{x^2-4y^2}&=\dfrac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}\\ &=\dfrac{x}{x+2y}\quad(x eq2y) \end{align}$ 代入$x=5\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)y=2$\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)$\dfrac{5}{5+4}=\dfrac59$ ## 易错警示 1. 分式基本性质是**同乘、同除**\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)不能分子分母同时加减同一个式子； 2. 乘除的整式必须不为0\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)题目隐藏限制条件不要漏掉； 3. 约分必须先因式分解\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)只能约整体公因式\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)不能分项约分； 4. 符号变形：分子分母同时变号\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)分式值不变\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)只变一个符号分式要添负号； 5. 化为整数系数时\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)分子分母**每一项**都要乘\(x=5\(x=2k\(x=5，y=2\)y=3k(k eq0)\)y=2\)容易漏乘常数项。 要不要继续下一节：**2.2 分式的乘除法**？同样配套这套格式。 湘教版（新教材）数学八年级上册 2.1.2分式的基本性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 1 2 3 理解并掌握分式的基本性质．（重点） 掌握最简分式的概念 会运用分式的基本性质进行分式的约分及求值.（难点） 学习目标 知识回顾 填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据. （1） 8 9 ✕2 ✕2 ✕3 ✕3 （2） 9 1 ÷2 ÷6 ÷2 ÷6 分数的分子、分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变. 分数的分子、分母都除以它们的一个公因数，分数的值不变. 思考：类比分数的基本性质，你能想出分式有什么基本性质吗？ 02 新知导入 小长方形的面积为2a,长为a,它的宽为多少? 大长方形的面积为4a,长为2a,它的宽为多少? 小长方形的宽： 大长方形的宽： 03 新知探究 分子和分母同时乘2 分子和分母同时除以2 你能类比分数的基本性质归纳出分式的基本性质吗？ 03 新知探究 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，所得分式与原分式相等. (,且为整式) 03 新知探究 下列关于分式的等式是否成立？为什么？ （1） （2） . 解：（1） 分式的分子与分母都除以，根据分式的基本性质得， 即 . 03 新知探究 下列关于分式的等式是否成立？为什么？ （1） （2） . 解：（2） 分式的分子与分母都乘，根据分式的基本性质得， 即 . 03 新知探究 利用分式的基本性质填空，并说明理由. 分子除以x 分母除以x 解：由于， ，于是，由分式的基本性质得. 03 新知探究 利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分. 如果一个分数的分子与分母没有公因数，那么称这个分数是最简分数. 分式 公因式 分式 最简分式 1. 下列各式从左到右的变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 B 举一反三 返回 3.如果成立，则 的取值范围是______. 举一反三 13 03 新知探究 把下列分式化成最简分式： 例3 ； . 解： (1) . (2) . 03 新知探究 合作交流：你能归纳出确定分子、分母的公因式的方法吗？ 分子、分母 分子、分母的公因式 单项式 1.系数取各系数的最大公约数;2.相同字母取字母的最低次幂 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 03 新知探究 当x=23，y=17时，求分式的值. 例4 解： 将中的x，y分别用23，17代入，则分式的值为 . 因此，当x=23，y=17时，分式的值为. 直接将 x，y 的值代入原分式，算一算，哪个简便？ 03 新知探究 当x=23，y=17时，求分式的值. 例4 解：当x=23，y=17时， = . 新知应用 基础巩固题 1.下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A.  =              B.  = -           C.  =                  D.  = 2.下列各分式中，最简分式是（   ） A. B. C. D. D A 判断分式是不是最简分式，就是看分子与分母有没有公因式，而且遇多项式先要因式分解，再看有没有公因式。 新知应用 基础巩固题 3.要使分式与的值相等，则x满足什么条件 x 。 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以它们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等. 新知应用 基础巩固题 4、利用分式的基本性质填空。 （1） （2） （3） （4） 观察：看分子如何变化，想分母如何变化. 乘－１ 乘－１ 乘2xy 乘2xy 乘(x-1) 乘(x-1) 除以（x+1） 除以（x+1） 新知应用 基础巩固题 5、 把下列分式化成最简分式。 （1） (2) （3）（4） （5） 约分： （1）根据： 分式的基本性质 （2）前提： 找出分子与分母的公因式： ①系数②字母③次数 分子、分母是多项式时：先分解因式：①提公因式；②公式法， 再约分。 新知应用 基础巩固题 5.解：(1) (2) (3) (4) (5) 4.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号： （1） ______; （2） ____; （3） ____; （4） ____. 返回 举一反三 23 返回 举一反三 24 返回 C 举一反三 25 返回 D 举一反三 26 返回 8. 当，时，求分式 的值. 【解】原式 ， 当，时，原式 . 举一反三 27 返回 D 举一反三 28 返回 C 举一反三 29 返回 11. 若把分式的， 同时扩大到原来的5倍，则分式的值 也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( ) B A. 5 B. C. D. 举一反三 30 返回 12. 若，且，， 满足方程组 则 的值为( ) D A. B. C. D. 1 举一反三 31 返回 13.如图所示，图①是一个边长为 的正方形剪去一个边长为1 的小正方形，图②是一个边长为 的正方形，若图①， 图②中阴影部分的面积分别为,，则 可化简为____. 举一反三 32 课堂小结 分式 分式的基本性质 约分 多重符号的化简 = (h≠0） = (h≠0） 最简分式 分式的分子与分母没有公因式 谢谢观看 THANKS 2．[长沙市开福区模拟]如果把分式中的x，y都扩大为原来的10倍，那么分式的值(　　) A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的10倍 5.不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为____________________． 6．[衡阳市期中]若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是(　　) A．1 B．x C．－x D．4 7．[徐州市期末]下列分式约分正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝3 C.＝ D.＝－1 9．下列各式中最简分式是(　　) A.　 B. C.　 D. 10.若是一个最简分式，则△可以是(　　) A．x2 B．2x C．x D．2 $