精品解析：宁夏银川市唐徕中学2026-2027学年高二年级第一学期9月月考数学试卷

银川唐中2026-2027高二上月考一[9月] 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 2. 两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面与平面相交但不垂直 C. 平面平面 D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】先求解平面的法向量，通过判断其与平面α的法向量的位置关系，确定两平面的位置关系. 【详解】设平面的法向量为， 可得：  令，得，，即， 因为平面的法向量，所以与为共线向量，又已知两平面不重合， 故平面平面. 3. 直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】对于直线，其斜率为，截距为， 对于直线，其斜率为，截距为， 若两直线平行则其斜率相等，即，则有， 解得或， 两直线平行则截距不相等，即，则有， 解得, 故若两直线平行，则， 因此两者互为充要条件. 4. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三个向量不能构成基底即它们共面的性质，将表示为和的线性关系，进而通过比较已知基底向量的对应系数列出方程组求解出. 【详解】因为和显然不共线， 因此必然存在实数，使得， 即， 即， 所以有，联立，解得， 代入，即. 5. 已知是空间内任意一点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ） A. 直线 B. 平面 C. 线段 D. 圆 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的几何意义及平面的向量表示判断点的轨迹图形即可. 【详解】当点与重合时，为零向量，满足题意； 当点不与重合时，由得， 在空间中，经过定点且垂直于已知非零向量的所有直线和点，共同构成了一个平面， 此时即为该平面的法向量， 因此点的轨迹是一个经过点且以为法向量的平面. 6. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则得到，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律建立方程求解即可. 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 8. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有：  将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 二、多选题：本大题共小题，每小题6分，共18分． 9. 在平面直角坐标系中，则下列结论正确的是（ ） A. 每一条直线都有点斜式与斜截式方程 B. 倾斜角为钝角的直线，斜率为负数 C. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 D. 方程与方程表示同一条直线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程的适用条件进行判断． 【详解】当直线斜率不存在时，直线不存在点斜式和斜截式方程，故A错误； 根据斜率等于倾斜角的正切值可知，当倾斜角为钝角时，其正切值为负数，故B正确； 当直线过点，倾斜角为时，斜率不存在，故其方程为，故C正确； 方程表示的直线不含点，而方程包含点，故不表示同一条直线，故D错误． 10. 如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，其中向量,, 所以,选项A正确. 选项B，，选项B正确. 选项C，,其中,, 所以，选项C是错误的. 选项D，,其中,,, 所以,选项D正确. 11. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，正八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 此八面体的体积为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 此八面体的外接球的体积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据体积公式计算后判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，取的中点，利用向量法计算的余弦值后可判断B的正误，再根据向量法可求C中线面角的正弦值后求得余弦值判断其正误，根据建系的过程可判断即为外接球球心，故可求外接球的体积. 【详解】由题设正四棱锥的高为. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，； 对于，底面的面积，高， 故，故八面体体积， 所以正确； 对于，取的中点， 因为和 都是正三角形，所以，， 因此就是二面角的平面角，则， 向量，向量， 故，，， 故， 故平面夹角的余弦值为，所以正确； 对于C，， 而，， 设平面的法向量， 则， 所以，取， 设直线 与平面 所成角为， 则， 所以，所以C正确； 对于，因为，故外接球球心为， 半径，外接球的体积，所以错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由方向向量得直线的斜率，从而得倾斜角． 【详解】解：设直线的倾斜角为，，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系，属于基础题． 13. 在棱长为1的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到平面的距离是________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 所以，，，， 故，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为. 14. 空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用阿基米德多面体的定义，借助正方体建立空间直角坐标系，设，建立异面直线与所成角与的函数关系，通过求函数值域得到取值范围. 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为.以正方体的一个顶点为坐标原点，三条棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设. 所以，， 所以 当时， 当时，， 当且仅当时取等号. 由对勾函数性质以及上述讨论可知. 所以， 设异面直线与所成角为， 综上所述， 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的方程： （2）若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【小问1详解】 因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 16. 已知，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值； （3）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1）. （2）. （3）向量在向量上的投影向量为. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示及向量减法运算求解即可. （2）根据垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可. （3）根据投影向量的定义求解即可. 【小问1详解】 已知，，则， 又，可设， 由得，故，所以. 【小问2详解】 由，得， 即. 又，，，所以， 整理得，解得. 【小问3详解】 向量在向量上的投影向量为. 17. 如图，平行六面体中，，．设，，． （1）求与所成角的余弦值； （2）证明：平面． 【答案】（1） （2）证明：，. . ，即. =， ，即. ，平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】(1)用，，表示向量、；利用向量数量积公式算出向量点积、模长；异面直线夹角用公式计算； (2)把，用基底表示；分别计算和、的数量积，结果都为0，得到两组线线垂直；，是平面内相交直线，由线面垂直判定定理得证. 【小问1详解】 由题意，，. ，，. ，. 设异面直线与所成角为，. ，. ，. . 与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 略. 18. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，，的中点为，底面． （1）求证：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，，所以， 又因为，所以是等边三角形， 所以在平行四边形中，四边形为菱形，因此， 又因为，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理，先证，再证，对角线互相垂直即得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量投影结合勾股定理，求点到直线的距离； （3）利用线面角定义，找平面法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴， 取中点，以为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，． ， ． 向量在方向上投影的模长：， 因为，所以． 由勾股定理，点到直线的距离： ． 【小问3详解】 斜三棱柱中，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角．由（1）知是平面的一个法向量，． 设直线与平面所成角为，则． 因为， 且，， 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. （2）平面与平面的夹角为. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. . 平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 ，设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐中2026-2027高二上月考一[9月] 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面与平面相交但不垂直 C. 平面平面 D. 以上均有可能 3. 直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间内任意一点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ） A. 直线 B. 平面 C. 线段 D. 圆 6. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共小题，每小题6分，共18分． 9. 在平面直角坐标系中，则下列结论正确的是（ ） A. 每一条直线都有点斜式与斜截式方程 B. 倾斜角为钝角的直线，斜率为负数 C. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 D. 方程与方程表示同一条直线 10. 如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，正八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 此八面体的体积为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 此八面体的外接球的体积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______． 13. 在棱长为1的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到平面的距离是________． 14. 空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的方程： （2）若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 16. 已知，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值； （3）求向量在向量上的投影向量． 17. 如图，平行六面体中，，．设，，． （1）求与所成角的余弦值； （2）证明：平面． 18. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，，的中点为，底面． （1）求证：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $