第3章 一元一次不等式【综合专项训练卷】2026-2027学年浙教版数学八年级上册（温州地区）

第3章 一元一次不等式【综合专项训练卷】2026-2027学年浙教版八年级上册数学（温州地区）（答案解析） 第4章 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本卷是浙教版八年级上册第 3 章「一元一次不等式（组）」的专项训练卷，考点按教材顺序铺开：3.1 用不等式表示数量关系、3.2 不等式的基本性质、3.3 一元一次不等式及其解法（含在数轴上表示解集）、3.4 一元一次不等式的应用、3.5 一元一次不等式组（含整数解与含参问题），五个小节全部覆盖。全卷 24 题，难度按分值分层：基础题约 45 分、能力题约 40 分、拔高题约 15 分，选择题、填空题、解答题三个大题区各自由易到难编排，第 1～3 题只要求读懂一句话、做一步变形，作为全卷的入门。第 7、10、13、14、15、20、22 题引入了自定义符号、自定义名称或自定义规则（俗称「新定义」题），考的还是同一件事 —— 能不能把新规则翻译成一元一次不等式（组）再求解；第 24 题是方案决策类压轴题，考的是列不等式组、求整数方案并作出判断。三处常见失分点：一是「不小于 / 不大于 / 至少 / 最多」与不等号的对应关系写错；二是不等式两边乘或除以负数时忘记改变不等号方向；三是含参问题中临界点该取等号却没取（或不该取却取了）。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．「 与 的和不小于 」用不等式表示为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 「不小于」的意思是「大于或者等于」，所以「 与 的和不小于 」写成 。故选 B。 A 只写了「大于 」，漏掉了「恰好等于 」这一种情况； C、D 把不等号的方向写反了。 易错提醒：「不小于 / 至少」对应 ，「不大于 / 最多」对应 —— 没把握时可以拿具体的数代进去试一下，例如 这种情况该不该算，一验就知道要不要带等号。 2．已知 ，下列变形中一定正确的是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】D 由 出发，逐项检验： A：两边都减去 ，不等号方向不变，应得 ，A 错误； B：两边都乘正数 ，不等号方向不变，应得 ，B 错误； C：两边都乘负数 ，不等号方向必须改变，应得 ，C 错误； D：两边都除以正数 ，不等号方向不变，得 ，D 正确。 故选 D。 注意：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变 —— 这一步是本章最常见的失分点之一，动笔前先看乘数的正负。 3．不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 移项，得 ； 两边都除以正数 ，不等号方向不变，得 。故选 B。 A 把不等号方向写反了；C、D 在移项时把 写成 又搭错了符号。 解一元一次不等式只有两步：先移项，再把系数化为 ；只要除数（或乘数）是正数，不等号方向就不用动。 4．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 图上的端点落在表示 的位置，而且是空心圆圈，说明 这一点不包含在解集里； 解集那条横线从端点出发向右延伸，说明取的是比 大的所有数。 所以这个解集是 。故选 C。 注意：空心圆圈对应「不含」（ 或 ），实心圆点对应「含」（ 或 ）；另外图上只有数轴右端的箭头，解集那条横线的末端是不加箭头的。 5．不等式组由 与 组成，这个不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 【答案】C 先分别解两个不等式： 由 得 ，所以 ； 由 得 。 再取它们的公共部分，得到 。故选 C。 A、B 只是写出了其中一个不等式的解集，没有取公共部分； D 显然不对 —— 取 代进去，两个不等式都成立。 解不等式组的三步：分别解 → 求公共部分 → 写出解集，最后顺手在数轴上画一遍可以避免端点取错。 6．某校组织学生参观科技馆，门票每人 元。若购票的总费用不超过 元，则参加的学生最多有（　　） A． 人　B． 人　C． 人　D． 人 【答案】B 设参加的学生有 人，则购票总费用是 元。 由「总费用不超过 元」得 。 两边都除以正数 ，得 。 因为人数必须是整数，所以最多有 人。故选 B。 检验 ： 元，正好不超过 元，可以取到。 「不超过」对应 ，端点上「正好相等」的情形是符合要求的，不要把最大值往回收一格。 7．规定 △ 表示 与 中较大的数，例如 △。则 △ 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 按定义，△ 取两个数中较大的那一个。 比较 与 ：在数轴上 在 的左边，所以 ，较大的数是 。 所以 △。故选 B。 提醒：遇到新定义的符号，先把它的意思翻译成一句大白话再代入，不要盯着符号的样子去猜 —— 符号本身没有含义，题干给的那句话才是规则。 8．不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 两边都乘 （正数），不等号方向不变，得 。 移项，得 ，即 。 两边都除以 （负数），不等号方向改变，得 。故选 A。 B 漏掉了最后一步的变号；C、D 在移项时把常数项的符号弄反了。 去分母时优先乘一个正数，就少一次变号的机会；最后一步一定要回头看一眼除数的正负。 9．不等式组（由 与 组成）的整数解共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】B 这个不等式组的解集是 。 在 里一个一个数整数：、、、，共 个。故选 B。 端点要看虚实： 那一端是「」，取不到，所以 不算； 那一端是「」，取得到，所以 算。 数整数解时先把两个端点标出来，再逐个往里数，「漏掉端点上的那个数」是这类题最常见的错。 10．对任意实数 、，规定 ＃。已知关于 的不等式 ＃（ 为常数）的解集是 ，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 先按定义把左边算出来：＃，所以原不等式是 。 移项，得 ；两边都除以正数 ，得 。 题目说这个不等式的解集是 ，而同一个不等式的解集只有一个， 所以两个右端点必须相等：，解得 。故选 B。 检验 ：，解得 ，与题给的解集一致。 由解集反求参数的标准动作：先把含参数的不等式解出来（解集里带着参数），再让它的端点与题给的端点一一对齐。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 的解集是　　　　　。 【答案】 两边都减去 ，得 ； 两边都除以正数 ，不等号方向不变，得 。故填 。 检验：取 ，，成立。 12．不等式 的正整数解是　　　　　。 【答案】、 先解不等式：，移项得 。 在 里面找正整数，只有 和 。故填 、。 想一想： 不满足 （不等号不带等号），所以不能把 算进去； 如果题目改问「自然数解」，那还要把 添上 —— 先看清问的是哪一类数再动手数。 13．如果两个一元一次不等式的解集相同，就称它们互为「同解不等式」。例如 与 互为同解不等式。请你写出一个与不等式 互为同解不等式的一元一次不等式：　　　　　。 【答案】如 （答案不唯一） 先解出给定不等式的解集：，两边都加上 得 ，两边都除以 得 。 所以只要解集也是 的一元一次不等式，都与它互为同解不等式。 最简单的是 本身；也可以写 、、 等，答案不唯一。 写完记得代回去验证：把自己的不等式解一遍，看解集是不是 。 14．某网约车的计费规则是：起步价 元（含 千米），超过 千米的部分每千米 元。设行驶路程为 千米（），若车费不超过 元，则 的最大值是　　　　　千米。 【答案】 车费由两部分组成：起步价 元，加上超出 千米那部分的费用 元，所以车费是 。 由「车费不超过 元」得 。 两边都减去 ，得 ；两边都除以 ，得 ，所以 。最大值是 。故填 。 检验 ：车费 元，正好不超过 元，符合要求。 注意：「起步价含 千米」意味着超出部分要从 里减去 ；写成 就等于把起步价里已经含着的 千米又收了一遍钱。 15．记号「〈〉」表示大于 的最小整数，例如〈〉，〈〉。如图，数轴上画出的解集（左端点实心、右端点空心）表示使〈〉 的 的取值范围。则使〈〉 的 的取值范围是　　　　　。 【答案】 先从图上把规律读出来：使〈〉 的 的取值范围是 。 道理是：「大于 的最小整数是 」，说明 比 小；同时 不能小于 ，否则大于 的最小整数就变成 了。 图上左端点 实心、右端点 空心，恰好与「含 、不含 」一致。 也就是说，「〈〉」等价于「」。 把 代进去，得使〈〉 的 的取值范围是 。故填 。 这个规律不是背出来的，是从图上读出来的 —— 注意它与「不超过 的最大整数」的差别：一个往小数取整、一个往大数取整，区间落在哪一侧也不同。 填完可以拿一个数验一验： 时，大于 的最小整数是 ，确实在范围内。 16．若关于 的不等式组（由 与 组成）恰好有 个整数解，则 的取值范围是　　　　　。 【答案】 这个不等式组的解集是 。 要让整数解恰好有 个，而 只能取比 大的整数，所以这 个整数只能是 、、。 这要求右端点够得到 、又够不到 ，即 。故填 。 端点检验： 时解集是 ，整数解 、、，正好 个，可以取； 时解集是 ，整数解 、、、，变成 个，不能取。 「恰好 个整数解」要翻译成关于参数的两个不等式：右端点够得到第 个整数（取等号），又够不到第 个（不取等号）。 这两个端点的开闭就是本题的分水岭。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）解不等式 。 (1) 求这个不等式的解集； (2) 把它的解集在数轴上表示出来。 【答案】(1) ；(2) 见解析。 (1) 去括号，得 ； 移项，得 ，即 ； 两边都除以 （负数），不等号方向改变，得 。 所以这个不等式的解集是 。 (2) 在数轴上表示：在表示 的点上画实心圆点（因为解集含端点 ），从该点向上画一段短竖线，再沿解集的方向向右画一条与数轴平行的横线，末端不加箭头。 注意：去括号时 要乘到括号里的每一项；最后除以负数时别忘记把不等号翻过来。 18．（5 分）解不等式组，它由 与 两个不等式组成。 (1) 求这个不等式组的解集； (2) 把它的解集在数轴上表示出来。 【答案】(1) ；(2) 见解析。 (1) 由 得 ，所以 ； 由 得 。 取它们的公共部分，得 。 (2) 在数轴上表示：在表示 的点上画空心圆圈（不含端点），在表示 的点上画实心圆点（含端点）； 从两处分别向上画一段短竖线，再用一条与数轴平行的横线把两条竖线的顶端连起来。 端点虚实是这类题唯一的失分点，写完解集务必回头对照一遍。 19．（6 分）某文具店购进一批笔记本，每本进价 元、售价 元。店主要求这批笔记本全部售出后所获利润不少于 元。 (1) 设购进并全部售出 本，列出关于 的一元一次不等式； (2) 求 的最小值，并写出结论。 【答案】(1) ；(2) ，至少要购进并售出 本。 (1) 每本的利润是 元，售出 本的总利润是 元。 由「利润不少于 元」得 。 (2) 两边都除以正数 ，得 。所以 的最小值是 。 检验 ：总利润 元，正好达到 元，符合「不少于」的要求。 因此至少要购进并售出 本。 易错提醒：「不少于 元」是「」， 本时利润正好等于 元，是允许的，所以最小值取 而不是 。 20．（5 分）对于两个数 、，规定 ◇。 (1) 把不等式 ◇ 化为关于 的一元一次不等式； (2) 求这个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。 【答案】(1) ；(2) ，数轴上在 处画实心圆点并向右画横线。 (1) 按定义代入：◇，所以不等式 ◇ 化为 。 (2) 两边都加上 ，得 ；两边都除以正数 ，不等号方向不变，得 。所以解集是 。 在数轴上表示：在表示 的点上画实心圆点（含端点），向上画一段短竖线，再沿解集的方向向右画一条与数轴平行的横线，末端不加箭头。 先翻译、再求解 —— 这是所有新定义不等式题的通用顺序，不要对着符号本身想含义。 21．（6 分）某班组织学生开展研学活动。甲旅行社的报价是每人 元；乙旅行社的报价是团队服务费 元，另外每人再收 元。设参加研学活动的学生有 人。 (1) 用含 的代数式分别表示两家旅行社的总费用； (2) 求 满足什么条件时，选择乙旅行社更省钱。 【答案】(1) 甲： 元；乙： 元；(2) 。 (1) 甲旅行社按人头收费，总费用是 元； 乙旅行社的总费用是团队服务费加上按人头收的部分，即 元。 (2) 「乙旅行社更省钱」就是乙的总费用比甲少，所以 。 两边都减去 ，得 ；两边都除以正数 ，得 。 检验 ：甲 元，乙 元，乙确实更省。 所以当参加人数超过 人时，选择乙旅行社更省钱。 列式时先把「谁比谁少」想清楚，再落笔写不等号，可以避免把方向写反。 22．（6 分）阅读材料：数轴上，表示数 的点记作 。规定数轴上两点 、 之间的距离记作 ，且 。例如 与 之间的距离是 ，如图。 (1) 求数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离； (2) 已知点 与点 之间的距离不小于 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ；(2) 或 。 (1) 两点的距离就是两个数之差的绝对值：。 写成 也是一样的结果。 (2) 「点 与点 之间的距离不小于 」就是 。 根据绝对值的意义， 不小于 、或者 不大于 ，即 或 。 由 得 ；由 得 。 所以 的取值范围是 或 。 检验 ：，正好等于 ，满足「不小于 」，所以两端点都要取到。 把「数轴上的两点距离」翻译成绝对值是本题的关键一步；解 时会分出左右两段，两段都要写出来 —— 只写一段是这类题最常见的漏解。 23．（5 分）关于 的不等式 的解集在数轴上表示时，端点是表示 的点，且端点包含在解集内。 (1) 求 的值； (2) 求此时不等式 的解集。 【答案】(1) ；(2) 。 (1) 由 移项得 ，两边都除以正数 ，得 。 题中说解集的端点在表示 的点处且含端点，说明 ，所以 ，解得 。 (2) 把 代入 ，得 。 移项，得 ；两边都除以正数 ，得 。 检验 ： 解得 ，端点确实是 ，与题意相符。 「数轴上的端点」与「解集的端点」是同一件事：先把解集用参数表示出来，再让端点对齐即可。 24．（8 分）某校计划购买甲、乙两种型号的篮球共 个，甲种篮球每个 元，乙种篮球每个 元。 (1) 设购买甲种篮球 个，用含 的代数式表示购买这 个篮球的总费用； (2) 若购买的总费用不超过 元，且甲种篮球不超过 个，求 的所有可能取值； (3) 在 (2) 的条件下，若甲种篮球按八折出售、乙种篮球仍按原价出售，购买的总费用能否恰好为 元？若能，求出购买方案；若不能，请说明理由。 【答案】(1) 元；(2) 、、；(3) 不能，理由见解析。 (1) 购买甲种篮球 个，则购买乙种篮球 个。 总费用是 ，去括号合并得 （元）。 (2) 由「总费用不超过 元」得 。 移项，得 ；两边都除以 （负数），不等号方向改变，得 。 由「甲种篮球不超过 个」得 。 所以 。因为 是篮球的个数，只能取整数，所以 的所有可能取值是 、、。 (3) 甲种篮球八折后每个 元，此时的总费用是 元。 把 (2) 求出的三种方案逐个算一遍： 时，总费用是 元； 时，总费用是 元； 时，总费用是 元。 三个值都不等于 ，所以购买的总费用不能恰好为 元。 （也可以直接解方程 ：移项得 ，解得 ，不是整数，同样说明取不到 元。） 方案决策类题目按「设未知数 → 用含 的式子表示费用 → 由条件列不等式组 → 求整数解 → 逐个代入比较」的顺序走； 第 (3) 问这种「能否恰好」的存在性问题，最稳妥的办法就是把全部方案抄下来一个一个试，只要算准了，结论一定是明确的。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式【综合专项训练卷】2026-2027学年浙教版八年级上册数学（温州地区）（试卷） 第4章 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本卷是浙教版八年级上册第 3 章「一元一次不等式（组）」的专项训练卷，考点按教材顺序铺开：3.1 用不等式表示数量关系、3.2 不等式的基本性质、3.3 一元一次不等式及其解法（含在数轴上表示解集）、3.4 一元一次不等式的应用、3.5 一元一次不等式组（含整数解与含参问题），五个小节全部覆盖。全卷 24 题，难度按分值分层：基础题约 45 分、能力题约 40 分、拔高题约 15 分，选择题、填空题、解答题三个大题区各自由易到难编排，第 1～3 题只要求读懂一句话、做一步变形，作为全卷的入门。第 7、10、13、14、15、20、22 题引入了自定义符号、自定义名称或自定义规则（俗称「新定义」题），考的还是同一件事 —— 能不能把新规则翻译成一元一次不等式（组）再求解；第 24 题是方案决策类压轴题，考的是列不等式组、求整数方案并作出判断。三处常见失分点：一是「不小于 / 不大于 / 至少 / 最多」与不等号的对应关系写错；二是不等式两边乘或除以负数时忘记改变不等号方向；三是含参问题中临界点该取等号却没取（或不该取却取了）。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．「 与 的和不小于 」用不等式表示为（　　） A．　B．　C．　D． 2．已知 ，下列变形中一定正确的是（　　） A．　B． C．　D． 3．不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 4．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 5．不等式组由 与 组成，这个不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 6．某校组织学生参观科技馆，门票每人 元。若购票的总费用不超过 元，则参加的学生最多有（　　） A． 人　B． 人　C． 人　D． 人 7．规定 △ 表示 与 中较大的数，例如 △。则 △ 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 8．不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 9．不等式组（由 与 组成）的整数解共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 10．对任意实数 、，规定 ＃。已知关于 的不等式 ＃（ 为常数）的解集是 ，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 的解集是　　　　　。 12．不等式 的正整数解是　　　　　。 13．如果两个一元一次不等式的解集相同，就称它们互为「同解不等式」。例如 与 互为同解不等式。请你写出一个与不等式 互为同解不等式的一元一次不等式：　　　　　。 14．某网约车的计费规则是：起步价 元（含 千米），超过 千米的部分每千米 元。设行驶路程为 千米（），若车费不超过 元，则 的最大值是　　　　　千米。 15．记号「〈〉」表示大于 的最小整数，例如〈〉，〈〉。如图，数轴上画出的解集（左端点实心、右端点空心）表示使〈〉 的 的取值范围。则使〈〉 的 的取值范围是　　　　　。 16．若关于 的不等式组（由 与 组成）恰好有 个整数解，则 的取值范围是　　　　　。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）解不等式 。 (1) 求这个不等式的解集； (2) 把它的解集在数轴上表示出来。 18．（5 分）解不等式组，它由 与 两个不等式组成。 (1) 求这个不等式组的解集； (2) 把它的解集在数轴上表示出来。 19．（6 分）某文具店购进一批笔记本，每本进价 元、售价 元。店主要求这批笔记本全部售出后所获利润不少于 元。 (1) 设购进并全部售出 本，列出关于 的一元一次不等式； (2) 求 的最小值，并写出结论。 20．（5 分）对于两个数 、，规定 ◇。 (1) 把不等式 ◇ 化为关于 的一元一次不等式； (2) 求这个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。 21．（6 分）某班组织学生开展研学活动。甲旅行社的报价是每人 元；乙旅行社的报价是团队服务费 元，另外每人再收 元。设参加研学活动的学生有 人。 (1) 用含 的代数式分别表示两家旅行社的总费用； (2) 求 满足什么条件时，选择乙旅行社更省钱。 22．（6 分）阅读材料：数轴上，表示数 的点记作 。规定数轴上两点 、 之间的距离记作 ，且 。例如 与 之间的距离是 ，如图。 (1) 求数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离； (2) 已知点 与点 之间的距离不小于 ，求 的取值范围。 23．（5 分）关于 的不等式 的解集在数轴上表示时，端点是表示 的点，且端点包含在解集内。 (1) 求 的值； (2) 求此时不等式 的解集。 24．（8 分）某校计划购买甲、乙两种型号的篮球共 个，甲种篮球每个 元，乙种篮球每个 元。 (1) 设购买甲种篮球 个，用含 的代数式表示购买这 个篮球的总费用； (2) 若购买的总费用不超过 元，且甲种篮球不超过 个，求 的所有可能取值； (3) 在 (2) 的条件下，若甲种篮球按八折出售、乙种篮球仍按原价出售，购买的总费用能否恰好为 元？若能，求出购买方案；若不能，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $