第三章一元一次不等式素养培优卷（温州地区） 2026～2027 学年浙教版数学八年级上册

2026~2027 学年浙教版八年级上册数学第三章一元一次不等式素养培优卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）已知实数 a，b 满足 0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．＜　　B．−a+1＞−b+1　　C．a2＞b2　　D．bc＜ac 2．（3 分）已知 2a+1＞b+1，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a＞b　　B．2a＞b−1　　C．2a+1＜b+3　　D．＞ 3．（3 分）若不等式 3x−a≤0 的解集中所有的 x 都满足 x＜4，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜12　　B．a≤12　　C．a＜4　　D．a≤3 4．（3 分）已知实数 a，b 满足 ab＞0，a−b＞0，a+b＜0，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a＞0　　B．b＞0　　C．|a|＜|b|　　D．a+b＞0 5．（3 分）小明家与学校相距 3 km，他步行上学的速度为 v km/h．若小明要在 25 分钟到 30 分钟之间（含 25 分钟和 30 分钟）到达学校，则 v 的取值范围是（　　） A．6＜v＜7.2　　B．5≤v≤7　　C．7.2≤v≤9　　D．6≤v≤7.2 6．（3 分）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x＞0 且 y＞0，则 a 的取值范围是（　　） A．−1＜a＜5　　B．a＞−1　　C．a＜5　　D．−5＜a＜1 7．（3 分）A、B 两地相距 25 km，甲从 A 地出发步行前往 B 地，速度为 5 km/h．甲出发 1 小时后，乙骑自行车从 A 地出发沿同一条路追甲，速度为 v km/h．若乙要在甲到达 B 地之前追上甲，则 v 应满足（　　） A．v＞　　B．v≥　　C．v＞5　　D．v≥6 8．（3 分）已知 x=2 是关于 x 的不等式 5x−a＞0 的解，且 x=−1 不是这个不等式的解，则 a 的取值范围是（　　） A．−5≤a＜10　　B．−5＜a≤10　　C．−5＜a＜10　　D．−10≤a＜5 9．（3 分）规定：不小于数 x 的最小整数叫做 x 的上邻整数．例如：2.2 的上邻整数是 3，4 的上邻整数是 4．若 2x−1 的上邻整数是 3，则 x 的取值范围是（　　） A．＜x≤2　　B．2≤x＜　　C．≤x＜2　　D．＜x＜2 10．（3 分）若对任意 x＞1，不等式 3x+m＞0 总成立，则 m 的取值范围是（　　） A．m≥−3　　B．m＞−3　　C．m≥−2　　D．m＞3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）教材「阅读材料」中介绍了糖水不等式：往糖水中再加糖（糖全部溶解），糖水会变得更甜．数学上，设 a g 糖水中含 b g 糖（a＞b＞0），再加入 m g 糖且全部溶解，则糖水变甜了，用不等式表示这一事实（含糖量对比）：＿＿（填「＞」或「＜」）． 12．（3 分）若 a＞b，c＞d，则 a+c＿＿b+d（填「＞」「＜」或「≥」）． 13．（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集是 1≤x＜3，则 a 的值是＿＿． 14．（3 分）等腰三角形的周长为 20，腰长为 x（x 为整数），底边长大于腰长，则腰长 x 的值是＿＿． 15．（3 分）规定：一个不等式组的解集的长度，指它的解集中最大数与最小数的差．若关于 x 的不等式组 的解集的长度为 2，则 m 的值是＿＿． 16．（3 分）从 1 开始的连续奇数相加，有如下规律：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，若 1+3+5+…+(2n−1)＜2026（n 为正整数），则 n 的最大值是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）阅读材料：数轴上表示数 a 与数 b 的两点之间的距离可以表示为 |a−b|．例如，|x−2| 就表示数 x 与数 2 在数轴上对应的两点之间的距离． 根据材料解答下列问题： (1) 数轴上表示数 x 与数 −1 的两点之间的距离是＿＿（用含 x 的式子表示）； (2) 若 |x−2|=3，求 x 的值； (3) 若 |x−2|＜3，直接写出 x 的取值范围． 18．（6 分）已知实数 a，b 满足 b＜a＜0．解答下列问题： (1) 判断 ab 与 0 的大小关系，并说明理由； (2) 比较 a2 与 b2 的大小； (3) 判断 ＋ 与 0 的大小关系，并说明理由． 19．（6 分）某学校组织学生到研学基地开展实践活动．基地门票每人 30 元，团队讲解费为固定费用 200 元（与人数无关）．学校为本次活动准备的总费用不超过 1700 元．解答下列问题： (1) 设参加活动的学生有 x 人，列出本次活动总费用满足的不等式； (2) 学校最多能组织多少名学生参加本次活动？ (3) 若实际有 55 名学生报名，学校准备的 1700 元是否够用？请通过计算说明理由． 20．（6 分）已知关于 x 的方程 3x+m=2x+1．解答下列问题： (1) 求这个方程的解（用含 m 的式子表示）； (2) 若这个方程的解是不等式组 的解，求 m 的取值范围． 21．（7 分）我们规定：如果两个不等式的解集相同，那么称这两个不等式为同解不等式．根据规定解答下列问题： (1) 判断不等式 2x−6＜0 与 x−3＜0 是不是同解不等式，并说明理由； (2) 是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 ax+2＜0 与 x＜4 是同解不等式？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； (3) 已知关于 x 的不等式 2x−6＜0 与 3x−a＜0 是同解不等式，求 a 的值． 22．（7 分）已知关于 x 的不等式组 ．解答下列问题： (1) 若这个不等式组恰有 2 个整数解，求 m 的取值范围； (2) 在 (1) 的条件下，化简：|m+2|−|2m−1|． 23．（7 分）某车间有 24 名工人共同加工甲、乙两种零件，每名工人每天只加工其中一种：每名工人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 3 个．解答下列问题： (1) 设安排 x 名工人加工甲种零件，用含 x 的式子分别表示甲、乙两种零件的日总产量； (2) 若要求甲种零件的日总产量不低于乙种零件日总产量的 2 倍，至少应安排多少名工人加工甲种零件？ (3) 在满足 (2) 要求的所有安排中，要使乙种零件的日总产量最大，应安排多少名工人加工甲种零件？此时乙种零件的日总产量是多少个？ 24．（7 分）用长为 40 m 的篱笆围成一个长方形的菜园，其中一边靠墙（墙足够长，这一边不用篱笆），另外三边用篱笆．设垂直于墙的一边长为 x m．解答下列问题： (1) 用含 x 的式子表示平行于墙的一边长，并直接写出 x 应满足的一个实际前提条件； (2) 若平行于墙的一边长不小于垂直于墙的一边长的 2 倍，求 x 的取值范围； (3) 若平行于墙的一边长不超过 22 m，求 x 的取值范围； (4) 同时满足 (2)(3) 两个条件，且 x 为整数，写出 x 所有的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学第三章一元一次不等式素养培优卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）已知实数 a，b 满足 0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．＜　　B．−a+1＞−b+1　　C．a2＞b2　　D．bc＜ac 2．（3 分）已知 2a+1＞b+1，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a＞b　　B．2a＞b−1　　C．2a+1＜b+3　　D．＞ 3．（3 分）若不等式 3x−a≤0 的解集中所有的 x 都满足 x＜4，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜12　　B．a≤12　　C．a＜4　　D．a≤3 4．（3 分）已知实数 a，b 满足 ab＞0，a−b＞0，a+b＜0，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a＞0　　B．b＞0　　C．|a|＜|b|　　D．a+b＞0 5．（3 分）小明家与学校相距 3 km，他步行上学的速度为 v km/h．若小明要在 25 分钟到 30 分钟之间（含 25 分钟和 30 分钟）到达学校，则 v 的取值范围是（　　） A．6＜v＜7.2　　B．5≤v≤7　　C．7.2≤v≤9　　D．6≤v≤7.2 6．（3 分）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x＞0 且 y＞0，则 a 的取值范围是（　　） A．−1＜a＜5　　B．a＞−1　　C．a＜5　　D．−5＜a＜1 7．（3 分）A、B 两地相距 25 km，甲从 A 地出发步行前往 B 地，速度为 5 km/h．甲出发 1 小时后，乙骑自行车从 A 地出发沿同一条路追甲，速度为 v km/h．若乙要在甲到达 B 地之前追上甲，则 v 应满足（　　） A．v＞　　B．v≥　　C．v＞5　　D．v≥6 8．（3 分）已知 x=2 是关于 x 的不等式 5x−a＞0 的解，且 x=−1 不是这个不等式的解，则 a 的取值范围是（　　） A．−5≤a＜10　　B．−5＜a≤10　　C．−5＜a＜10　　D．−10≤a＜5 9．（3 分）规定：不小于数 x 的最小整数叫做 x 的上邻整数．例如：2.2 的上邻整数是 3，4 的上邻整数是 4．若 2x−1 的上邻整数是 3，则 x 的取值范围是（　　） A．＜x≤2　　B．2≤x＜　　C．≤x＜2　　D．＜x＜2 10．（3 分）若对任意 x＞1，不等式 3x+m＞0 总成立，则 m 的取值范围是（　　） A．m≥−3　　B．m＞−3　　C．m≥−2　　D．m＞3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）教材「阅读材料」中介绍了糖水不等式：往糖水中再加糖（糖全部溶解），糖水会变得更甜．数学上，设 a g 糖水中含 b g 糖（a＞b＞0），再加入 m g 糖且全部溶解，则糖水变甜了，用不等式表示这一事实（含糖量对比）：＿＿（填「＞」或「＜」）． 12．（3 分）若 a＞b，c＞d，则 a+c＿＿b+d（填「＞」「＜」或「≥」）． 13．（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集是 1≤x＜3，则 a 的值是＿＿． 14．（3 分）等腰三角形的周长为 20，腰长为 x（x 为整数），底边长大于腰长，则腰长 x 的值是＿＿． 15．（3 分）规定：一个不等式组的解集的长度，指它的解集中最大数与最小数的差．若关于 x 的不等式组 的解集的长度为 2，则 m 的值是＿＿． 16．（3 分）从 1 开始的连续奇数相加，有如下规律：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，若 1+3+5+…+(2n−1)＜2026（n 为正整数），则 n 的最大值是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）阅读材料：数轴上表示数 a 与数 b 的两点之间的距离可以表示为 |a−b|．例如，|x−2| 就表示数 x 与数 2 在数轴上对应的两点之间的距离． 根据材料解答下列问题： (1) 数轴上表示数 x 与数 −1 的两点之间的距离是＿＿（用含 x 的式子表示）； (2) 若 |x−2|=3，求 x 的值； (3) 若 |x−2|＜3，直接写出 x 的取值范围． 18．（6 分）已知实数 a，b 满足 b＜a＜0．解答下列问题： (1) 判断 ab 与 0 的大小关系，并说明理由； (2) 比较 a2 与 b2 的大小； (3) 判断 ＋ 与 0 的大小关系，并说明理由． 19．（6 分）某学校组织学生到研学基地开展实践活动．基地门票每人 30 元，团队讲解费为固定费用 200 元（与人数无关）．学校为本次活动准备的总费用不超过 1700 元．解答下列问题： (1) 设参加活动的学生有 x 人，列出本次活动总费用满足的不等式； (2) 学校最多能组织多少名学生参加本次活动？ (3) 若实际有 55 名学生报名，学校准备的 1700 元是否够用？请通过计算说明理由． 20．（6 分）已知关于 x 的方程 3x+m=2x+1．解答下列问题： (1) 求这个方程的解（用含 m 的式子表示）； (2) 若这个方程的解是不等式组 的解，求 m 的取值范围． 21．（7 分）我们规定：如果两个不等式的解集相同，那么称这两个不等式为同解不等式．根据规定解答下列问题： (1) 判断不等式 2x−6＜0 与 x−3＜0 是不是同解不等式，并说明理由； (2) 是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 ax+2＜0 与 x＜4 是同解不等式？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； (3) 已知关于 x 的不等式 2x−6＜0 与 3x−a＜0 是同解不等式，求 a 的值． 22．（7 分）已知关于 x 的不等式组 ．解答下列问题： (1) 若这个不等式组恰有 2 个整数解，求 m 的取值范围； (2) 在 (1) 的条件下，化简：|m+2|−|2m−1|． 23．（7 分）某车间有 24 名工人共同加工甲、乙两种零件，每名工人每天只加工其中一种：每名工人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 3 个．解答下列问题： (1) 设安排 x 名工人加工甲种零件，用含 x 的式子分别表示甲、乙两种零件的日总产量； (2) 若要求甲种零件的日总产量不低于乙种零件日总产量的 2 倍，至少应安排多少名工人加工甲种零件？ (3) 在满足 (2) 要求的所有安排中，要使乙种零件的日总产量最大，应安排多少名工人加工甲种零件？此时乙种零件的日总产量是多少个？ 24．（7 分）用长为 40 m 的篱笆围成一个长方形的菜园，其中一边靠墙（墙足够长，这一边不用篱笆），另外三边用篱笆．设垂直于墙的一边长为 x m．解答下列问题： (1) 用含 x 的式子表示平行于墙的一边长，并直接写出 x 应满足的一个实际前提条件； (2) 若平行于墙的一边长不小于垂直于墙的一边长的 2 倍，求 x 的取值范围； (3) 若平行于墙的一边长不超过 22 m，求 x 的取值范围； (4) 同时满足 (2)(3) 两个条件，且 x 为整数，写出 x 所有的值． 【参考答案与详细解析】 1．【答案】B 【解析】 判断「一定成立」要逐项用性质推理，推不出时举反例即可否定． A：0＜a＜b 时，两个正数中较大的数倒数反而小，∴ ＞，A 错（可取 a=1，b=2 检验：1＜）． B：∵ 0＜a＜b，两边都乘 −1（负数，方向改变），得 −a＞−b；两边都加 1（方向不变），得 −a+1＞−b+1，B 一定成立； C：a2 与 b2 的大小由绝对值决定，取 a=1，b=2，得 1＜4，C 不一定成立； D：c 的符号没有说明，当 c＞0（如 c=1）时，bc=b＞a=ac，此时 bc＜ac 不成立，D 不一定成立．故选 B． 【易错提醒】①「0＜a＜b」是两边取倒数后不等号反向的根本原因——正数范围内倒数变换会改变方向，写成 ＜ 是最典型的错误；②D 考的是「式子中字母未说明符号时必须分类讨论」，不能默认 c＞0。 2．【答案】B 【解析】 从已知不等式出发，每一步都要写清依据再判断． 由 2a+1＞b+1，两边都减 1（方向不变），得 2a＞b； B：∵ 2a＞b，而 b＞b−1，∴ 2a＞b＞b−1，即 2a＞b−1 一定成立； A：由 2a＞b 推不出 a＞b，反例：a=1，b=1.5，此时 2a+1=3＞b+1=2.5 满足条件，但 a=1＜b=1.5，A 不一定成立； C：2a+1＜b+3 相当于要求 2a＜b+2，取 a=2，b=1（满足 2a+1=5＞b+1=2），此时 2a+1=5＞b+3=4，C 不成立； D：＞ 等价于 a＞b，由 A 的反例同样知 D 不一定成立．故选 B． 【易错提醒】①本题最大的陷阱是 A——「2a＞b」与「a＞b」不是一回事，2a＞b 只说明 a 与 b 的一半比较占优，不能推出 a＞b，必须举反例验证；②B 的推理用了「传递性」：2a＞b 且 b＞b−1，连起来就是 2a＞b−1。 3．【答案】A 【解析】 先解出不等式的解集，再把「所有解都满足 x＜4」翻译成对端点的限制． 由 3x−a≤0，得 3x≤a，两边都除以 3（正数，方向不变），得 x≤． 解集 x≤ 中包含端点 本身，要使所有解都满足 x＜4，必须连端点也小于 4，即 ＜4，两边都乘 3，得 a＜12．故选 A． 检验：a=12 时解集是 x≤4，而 x=4 不满足 x＜4，不合；a=11.9 时解集是 x≤3.97，所有解都小于 4，符合． 【易错提醒】①本题的失分点全在端点：解集 x≤ 含等号，端点 也是解，所以必须 ＜4 而不是 ≤4，答案不能写成 a≤12；②如果解集是 x＜（不含等号），则允许 =4，两种情况不要混淆。 4．【答案】C 【解析】 三个条件要逐个「翻译」成对 a，b 的限制，再合并． 由 ab＞0，得 a，b 同号（同正或同负）； 由 a−b＞0，得 a＞b； 若 a，b 同正，则 a+b＞0，与 a+b＜0 矛盾； ∴ a，b 同负，且 a＞b（负数中绝对值小的反而大），即 |a|＜|b|．故选 C． 检验：取 a=−1，b=−3，则 ab=3＞0，a−b=2＞0，a+b=−4＜0，此时 |a|=1＜|b|=3，C 成立；而 a=−1＜0，b=−3＜0，A、B 都错． 【易错提醒】①「同号」要分同正、同负两种情况，再用第三个条件 a+b＜0 排除同正，这是本题的完整推理链，跳步容易漏掉矛盾；②负数比较大小与绝对值的关系要熟：两个负数中，绝对值大的反而小，由 a＞b 得出的是 |a|＜|b|，不要写成 |a|＞|b|。 5．【答案】D 【解析】 时间是「路程 ÷ 速度」，先把单位统一：3 km 以速度 v km/h 行走，需要 小时，即 分钟． 由「不少于 25 分钟且不超过 30 分钟」，得 25≤≤30． 由 ≤30，得 180≤30v，∴ v≥6； 由 ≥25，得 180≥25v，∴ v≤7.2． ∴ 6≤v≤7.2．故选 A． 检验：v=6 时用时 30 分钟，v=7.2 时用时 25 分钟，都在允许范围内；v=5.9 时用时超过 30 分钟，不符合． 【易错提醒】①「时间＝路程÷速度」，列式是 分钟，不要写成 3v 或把分钟、小时混用；②双向不等式要拆成两个分别解，两个方向的速度限制正好相反——用时越短速度越快，所以「25 分钟」对应 v 的最大值，「30 分钟」对应 v 的最小值，列反了范围就反了。 6．【答案】A 【解析】 先把 x，y 都用含 a 的式子表示，再分别令它们为正． 两个方程相加，得 2x=(3a+9)+(5a−1)=8a+8，∴ x=4a+4； 两个方程相减，得 2y=(3a+9)−(5a−1)=10−2a，∴ y=5−a． 由 x＞0，得 4a+4＞0，∴ a＞−1； 由 y＞0，得 5−a＞0，∴ a＜5． ∴ −1＜a＜5．故选 A． 检验：a=0 时 x=4＞0，y=5＞0，符合；a=−2 时 x=−4＜0，不符合；a=6 时 y=−1＜0，不符合． 【易错提醒】①两个条件 x＞0 与 y＞0 必须「同时」满足，求出的是两个范围的公共部分，只解一个会漏掉另一半；②由 y=5−a＞0 得 a＜5 时，移项要变号，写成 a＞5 就错了。 7．【答案】A 【解析】 设乙出发后 t 小时追上甲（t＞0），此时甲已走了 (t+1) 小时． 追上时两人离 A 地一样远：5(t+1)=vt，∴ v==5+． 「在甲到达 B 地之前追上」，就是追上时甲走的路程不到 25 km： 5(t+1)＜25，∴ t+1＜5，∴ t＜4． ∴ v=5+＞5+=．故选 A． 检验：v=7.5 时，由 7.5t=5(t+1) 得 t=2，追上时甲走了 5×3=15 km＜25 km，符合；v=6 时，t=5，追上时甲已走 30 km，早已到达 B 地，不符合． 【易错提醒】①v= 时恰好在甲到达 B 地的那一瞬间追上，不属于「到达之前」，所以等号不能取，答案不是 v≥；②本题的速度不是孤立的数，而要用含 t 的式子 5+ 表示，再把 t 的限制「传」给 v，这种「参数传递」是培优题的常见手法。 8．【答案】A 【解析】 「是解」与「不是解」分别翻译成对 a 的限制，再取公共部分． ①x=2 是解，就是把 x=2 代入后不等式成立：5×2−a＞0，即 10−a＞0，∴ a＜10； ②x=−1 不是解，就是把 x=−1 代入后不等式不成立：5×(−1)−a＞0 不成立，即 −5−a≤0，两边都乘 −1（负数，方向改变），得 5+a≥0，∴ a≥−5； ∴ −5≤a＜10．故选 A． 检验端点：a=−5 时，x=−1 代入得 −5+5=0，0＞0 不成立，x=−1 确实不是解，x=2 代入得 10+5=15＞0 成立，两个条件都满足，∴ a=−5 可以取到；a=10 时，x=2 代入得 10−10=0，0＞0 不成立，x=2 就不是解了，与条件「x=2 是解」矛盾，∴ a=10 取不到，只能是 a＜10． 【易错提醒】①「不是解」应翻译成「代入后不成立」，即 −5−a≤0（含等号）：a=−5 时代入结果恰好是 0＞0，不成立，x=−1 确实不是解，漏掉等号会错写成 −5＜a＜10；②两个条件是「同时」满足，最后必须取公共部分。 9．【答案】A 【解析】 新定义先「翻译」成不等式：数 y 的上邻整数是 3，就是不小于 y 的最小整数是 3，等价于 2＜y≤3． 理由：y≤3 保证 3 不小于 y；2＜y 保证 2（以及更小的整数）都不大于 y，从而比 3 小的整数都不是「不小于 y 的最小整数」；而 y＞3 时 3＜y，3 不是不小于 y 的数，矛盾． 本题 y=2x−1，∴ 2＜2x−1≤3． 各边都加 1，得 3＜2x≤4；各边都除以 2（正数，方向不变），得 ＜x≤2．故选 A． 检验：x=2 时 2x−1=3，上邻整数是 3，符合（端点 2 可取）；x=1.6 时 2x−1=2.2，上邻整数是 3，符合；x=1.5 时 2x−1=2，上邻整数是 2，不符合（端点 取不到）；x=2.1 时 2x−1=3.2，上邻整数是 4，不符合． 【易错提醒】①「不小于 x 的最小整数是 3」对应 2＜y≤3，等号在右边 3 处——y=3 本身的上邻整数还是 3，而 y=2 的上邻整数是 2，所以左端 不带等号、右端 2 带等号，写反就错；②新定义题必须先用定义把条件翻译成不等式，再按一般步骤求解。 10．【答案】A 【解析】 「对任意 x＞1 都成立」，关键是抓住 x 无限接近 1 时的极端情形． 当 x＞1 时，3x＞3，∴ 3x+m＞3+m． 若 3+m≥0，即 m≥−3，则 3x+m＞3+m≥0，不等式对任意 x＞1 总成立； 若 m＜−3（如 m=−3.5），取 x=1.1，则 3x+m=3.3−3.5=−0.2＜0，不等式不成立，不合． ∴ m≥−3．故选 A． 检验：m=−3 时，对任意 x＞1，3x−3=3(x−1)＞0，总成立，说明端点 m=−3 可以取到． 【易错提醒】①本题最容易把答案写成 m＞−3：因为 x 取不到 1，有人就认为 m=−3 也不行；实际上只要 x＞1，3(x−1) 就恒为正，m=−3 完全满足，「取不到的端点」反而常常能取到，必须单独检验；②验证 m=−3.5 这类反例，是排除错误选项最直接的方法。 11．【答案】＜ 【解析】 「变甜了」就是加糖后的含糖量更大，即 ＞，∴ 第一空填「＜」．用性质说明理由： 比较两个分数，作差：−===． ∵ a＞b，∴ a−b＞0；又 a＞0，m＞0，∴ a(a+m)＞0， ∴ ＞0，即 ＞． ∴ 填「＜」． 【易错提醒】①直觉上「加糖变甜」很容易接受，但试卷要求用不等式性质说理，作差比较是标准方法；②作差后分子化简要细心，ab 与 bm 正好一增一减，剩下 m(a−b)；③本题也告诉我们：真分数的分子、分母同时加上同一个正数，分数值变大。 12．【答案】＞ 【解析】 同向不等式的两边分别相加，不等号方向不变，这是本题的依据． 方法一（分别相加）：∵ a＞b，c＞d，把两个同向不等式的左边与左边、右边与右边分别相加， 得 a+c＞b+d，∴ 填「＞」． 方法二（作差说理）：(a+c)−(b+d)=(a−b)+(c−d)． ∵ a＞b，∴ a−b＞0；∵ c＞d，∴ c−d＞0； 两个正数相加仍为正，∴ (a+c)−(b+d)＞0，即 a+c＞b+d． 检验：取 a=2，b=1，c=3，d=0，满足条件，此时 a+c=5＞b+d=1，结论成立． 【易错提醒】①可加性必须「同向」且「左右对应」：a 与 c 相加、b 与 d 相加，得到 a+c＞b+d；如果交叉组合（如比较 a+d 与 b+c），大小是不确定的，反例：a=2，b=1，c=3，d=0 时 a+d=2＜b+c=4；②填空题虽然只填一个符号，但依据是同向不等式的可加性，考试中若要求说理，用方法二的作差最规范。 13．【答案】0 【解析】 先用含 a 的式子表示两个不等式的解集，再与已知解集对照． 由 x−a≥1，得 x≥a+1；由 x+a＜3，得 x＜3−a． ∴ 不等式组的解集是 a+1≤x＜3−a（需 a+1＜3−a，即 a＜1）． 已知解集是 1≤x＜3，对照两个端点： a+1=1 且 3−a=3，解得 a=0． 检验：a=0 时不等式组为 ，解集恰为 1≤x＜3，符合． 【易错提醒】①两个端点必须「同时」对应，由 a+1=1 得 a=0 后，还要代入 3−a=3 检验是否一致，两个方程解出同一个 a 才算成立；②左端 x≥a+1 含等号对应 1≤x 的等号，右端 x＜3−a 不含等号对应 x＜3，等号位置一一对应，不能错位。 14．【答案】6 【解析】 设底边长为 y，由周长得 2x+y=20，即 y=20−2x． 题目有三个限制，逐个翻译： ①底边长为正数：y＞0，即 20−2x＞0，∴ x＜10； ②底边长大于腰长：y＞x，即 20−2x＞x，∴ 3x＜20，∴ x＜； ③三角形两边之和大于第三边（两腰之和大于底边）：2x＞y，即 2x＞20−2x，∴ 4x＞20，∴ x＞5． ∴ 5＜x＜，其中整数只有 x=6． 检验：x=6 时底边 y=8，满足 6+6＞8、底边 8＞腰 6，符合全部条件． ∴ 腰长 x 的值是 6． 【易错提醒】①「底边长大于腰长」给出 y＞x，但等腰三角形本身还要求两腰之和大于底边（2x＞y），漏掉这个三角形本身的限制就会得到错误范围；②两个上限取更小的：x＜10 与 x＜ 同时成立时取 x＜，别只看一个；③最后必须「结合 x 为整数」取值，并代回检验。 15．【答案】2 【解析】 先解出不等式组的解集，再用定义把「长度」表示出来． 由 x−1＞2m−3，得 x＞2m−2；由 x+2＜3m，得 x＜3m−2． ∴ 解集为 2m−2＜x＜3m−2（当 2m−2＜3m−2，即 m＞0 时有解）． 由「长度＝最大数与最小数的差」，得 (3m−2)−(2m−2)=2， 化简得 m=2． 检验：m=2 时解集为 2＜x＜4，长度为 4−2=2，且 m=2＞0 有解，符合． 【易错提醒】①「长度」是右端点减左端点，先要把两个端点都用 m 表示清楚；②求出 m 后要检验解集存在（m＞0），本题 m=2 恰好满足；③长度定义的是「开区间两端点的差」，与端点能否取到无关，不要因为两个不等式都不含等号而犹豫。 16．【答案】45 【解析】 由规律，前 n 个连续奇数的和等于 n2，∴ 条件 1+3+5+…+(2n−1)＜2026 就是 n2＜2026． 估算：402=1600，452=2025，462=2116． ∵ 452=2025＜2026＜2116=462， ∴ n＜46，∴ n 的最大值是 45． 检验：n=45 时，1+3+…+89=2025＜2026，符合；n=46 时和为 2116＞2026，不符合． 【易错提醒】①本题的关键是把「规律＋不等式」结合：先用归纳出的公式 n2 把无穷项求和压缩成一个平方数，再解不等式 n2＜2026；②平方数不等式通常用「夹逼估算」求解，先算 452=2025 与 462=2116 这两个「贴身」的平方数，答案就出来了，不要从 1 开始一个个试加；③问的是「最大值」，答案要写 45 这个数，不要写成 n＜46。 17．【答案】(1) |x+1|；(2) x=5 或 x=−1；(3) −1＜x＜5． 【解析】 (1) 表示数 x 与数 −1 的两点之间的距离是 |x−(−1)|，即 |x+1|． (2) |x−2|=3 表示数 x 与数 2 的距离等于 3，在数轴上到 2 的距离等于 3 的点有两个：2 的左边 3 个单位是 −1，右边 3 个单位是 5，∴ x=5 或 x=−1． (3) |x−2|＜3 表示数 x 与数 2 的距离小于 3，这样的点都在 2 的左右两侧 3 个单位以内，即 −1＜x＜5． 检验 (2)：x=5 时 |5−2|=3，x=−1 时 |−1−2|=3，都符合；检验 (3)：x=0 时 |0−2|=2＜3，0 在 −1 与 5 之间，符合． 【易错提醒】①|a−b| 中的减法顺序不影响距离，但「数 x 与数 −1 的距离」要写成 |x+1|，漏掉负号写成 |x−1| 是常见错误；②绝对值方程有两个解，只取 x=5 会漏掉 x=−1；③绝对值不等式 |x−2|＜3 的解集是「两点之间」而不是「两点之外」，大于号才是向两边无限延伸，方向不要搞反。 18．【答案】(1) ab＞0；(2) a2＜b2；(3) ＋＜0． 【解析】 (1) ∵ b＜a＜0，∴ a 与 b 都是负数，两个负数的积为正数，∴ ab＞0． (2) ∵ b＜a＜0，两边都乘 −1（负数，方向改变），得 −b＞−a＞0，即 |b|＞|a|＞0； 两个正数中绝对值大的平方大，∴ b2＞a2，即 a2＜b2． (3) 先通分：＋=． 分子：∵ b＜a＜0，两个负数相加仍为负，∴ a+b＜0； 分母：由 (1) 知 ab＞0； ∴ ＜0，即 ＋＜0． 检验：取 a=−1，b=−2（满足 b＜a＜0）：ab=2＞0；a2=1＜b2=4；＋=−1−0.5=−1.5＜0，三个结论都成立． 【易错提醒】①第 (2) 问的关键是「负数比较大小时，绝对值大的反而小」——由 b＜a<0 推出 |b|＞|a|，很多同学会误以为 b＜a 就有 b2＜a2，方向恰好想反；②第 (3) 问先通分再定符号：分子分母的符号要分别判断，分母 ab＞0 来自第 (1) 问的结论，前后小问是有联系的，不要各算各的。 19．【答案】(1) 30x+200≤1700；(2) 最多 50 名；(3) 不够用，需 1850 元，超过预算 150 元． 【解析】 (1) 总费用为门票 30x 元加上讲解费 200 元，由「不超过 1700 元」得 30x+200≤1700． (2) 解 30x+200≤1700：移项，得 30x≤1500；两边都除以 30（正数，方向不变），得 x≤50． ∵ 人数 x 是正整数，∴ 最多能组织 50 名学生参加． (3) 55 名学生时总费用为 30×55+200=1650+200=1850（元）． ∵ 1850＞1700，∴ 1700 元不够用（还差 1850−1700=150 元）． 【易错提醒】①列式不要漏掉固定费用 200 元，只写 30x≤1700 会把最多人数算成 56 人，结果就错了；②「不超过」用「≤」，求出 x≤50 后要结合人数是整数答「最多 50 名」；③第 (3) 问必须先算出实际总费用再与 1700 比较，并写清差额，只答「不够」没有计算过程不能得满分。 20．【答案】(1) x=1−m；(2) 0＜m＜4． 【解析】 (1) 由 3x+m=2x+1，移项得 3x−2x=1−m，即 x=1−m． (2) 先解不等式组： 由 ＞−1，两边都乘 2（正数，方向不变），得 x+1＞−2，∴ x＞−3； 由 x−1＜0，得 x＜1． ∴ 不等式组的解集是 −3＜x＜1． 方程的解 x=1−m 是不等式组的解，∴ −3＜1−m＜1． 由 1−m＜1，得 −m＜0，∴ m＞0； 由 −3＜1−m，得 −m＞−4，两边都乘 −1（负数，方向改变），∴ m＜4． ∴ m 的取值范围是 0＜m＜4． 检验：m=2 时方程的解 x=−1，而 −3＜−1＜1，在解集内，符合；m=5 时 x=−4，不在解集内，不符合． 【漏解警示】最后一步「−3＜1−m＜1」是双向不等式，必须拆成两个不等式分别求解、再取公共部分；其中「−m＞−4」两边乘 −1 时方向必须改变，忘记变号会得到 m＞4 的错误结果，而 m＞4 与 m＞0 取公共部分后会漏掉 0＜m＜4 这一段正确答案。 21．【答案】(1) 是同解不等式；(2) 不存在；(3) a=9． 【解析】 (1) 由 2x−6＜0，得 2x＜6，∴ x＜3；由 x−3＜0，得 x＜3． 两个不等式的解集都是 x＜3，∴ 它们是同解不等式． (2) 不存在．理由如下： 当 a＞0 时，由 ax+2＜0 得 ax＜−2，两边都除以 a（正数，方向不变），得 x＜−，解集是负数右侧的一段？此时解集 x＜− 中所有数都小于 0，而 x＜4 的解集中含有 0、1 等正数与 0 本身，两个解集不可能相同； 要使 x＜− 与 x＜4 完全相同，需 −=4，解得 a=−，但 a=−＜0，与 a＞0 矛盾； 当 a＜0 时，由 ax+2＜0 得 ax＜−2，两边都除以 a（负数，方向改变），得 x＞−，解集方向是「＞」，与 x＜4 的方向不同，解集不可能相同； ∴ 不存在满足条件的实数 a． (3) 由 2x−6＜0 得 x＜3，所以同解不等式的解集是 x＜3； 由 3x−a＜0 得 3x＜a，两边都除以 3（正数，方向不变），得 x＜． ∴ =3，即 a=9． 检验：a=9 时 3x−9＜0 的解集是 x＜3，与 2x−6＜0 的解集相同，符合． 【漏解警示】第 (2) 问必须按 a 的正负分两种情况讨论，这是最容易漏解的地方：a＞0 时方向不变但端点对不上，a＜0 时方向直接相反，两种情况都不能构成同解不等式，只讨论一种情况就下「不存在」的结论，说理是不完整的。 22．【答案】(1) −1＜m≤1；(2) 当 −1＜m≤ 时原式=3m+1，当 ＜m≤1 时原式=3−m． 【解析】 先解不等式组：由 2x−m＜1，得 2x＜m+1，∴ x＜；由 x+1≥0，得 x≥−1． ∴ 不等式组的解集是 −1≤x＜． (1) 解集从 −1（含）开始向右延伸到 （不含），整数解从 −1 起依次是 −1，0，1，…． 「恰有 2 个整数解」就是 −1 和 0 这两个：0 要在解集内，需 ＞0，即 m＞−1； 1 要在解集外，需 ≤1，即 m+1≤2，∴ m≤1； ∴ −1＜m≤1． 检验端点：m=−1 时解集是 −1≤x＜0，只有整数解 −1，不合；m=1 时解集是 −1≤x＜1，整数解是 −1 和 0，符合，∴ 等号只能取在 m=1 处． (2) 由 (1)，−1＜m≤1，∴ m+2＞0，|m+2|=m+2；而 2m−1 的符号要看 m 与 的大小，需分段： ①当 −1＜m≤ 时，2m−1≤0，|2m−1|=1−2m， 原式=(m+2)−(1−2m)=m+2−1+2m=3m+1； ②当 ＜m≤1 时，2m−1＞0，|2m−1|=2m−1， 原式=(m+2)−(2m−1)=m+2−2m+1=3−m． 【漏解警示】本题两处容易漏解：①求 m 的范围时，端点要逐个检验——m=−1 时整数解只剩 −1 一个，不能取；m=1 时整数解仍是 −1 和 0 两个，可以取，把等号放错位置是本题最常见的失分原因；②化简绝对值时，区间 −1＜m≤1 内恰好包含使 2m−1=0 的 m=，必须以 为界分两段讨论，只写一种情况会漏掉另一段的化简结果。 23．【答案】(1) 甲种 5x 个，乙种 3(24−x) 个；(2) 至少 14 名；(3) 14 名，此时乙种零件日总产量 30 个． 【解析】 (1) 加工甲种零件的 x 名工人每天共加工 5x 个甲种零件；加工乙种零件的 (24−x) 名工人每天共加工 3(24−x) 个乙种零件． (2) 由「甲种日总产量不低于乙种日总产量的 2 倍」，得 5x≥2×3(24−x)，即 5x≥144−6x； 移项，得 5x+6x≥144，即 11x≥144，两边都除以 11（正数，方向不变），得 x≥． ∵ ≈13.1，且工人人数 x 是正整数，∴ x 最小取 14，即至少应安排 14 名工人加工甲种零件． 检验：x=13 时甲种 65 个，乙种 33 个，65＜2×33=66，不满足；x=14 时甲种 70 个，乙种 30 个，70≥60，满足． (3) 乙种零件日总产量为 3(24−x)=72−3x，x 越大乙种产量越少，要使乙种日总产量最大，x 应取满足 (2) 的最小值 14， 此时乙种零件日总产量为 3×(24−14)=30（个），甲种零件日总产量为 5×14=70（个）≥2×30=60，满足要求． 【易错提醒】①「不低于 2 倍」列式是 5x≥2×3(24−x)，右边先算 2 倍再相乘，写成 5x≥2×3×24 就漏掉了 (24−x)；②解出 x≥ 后，问「至少多少人」要取超过 的最小整数 14，不能四舍五入取 13（13 人时不满足条件）；③第 (3) 问的关键是看出乙种产量 72−3x 随 x 增大而减小，「乙种最多」对应「甲种人数最少」。 24．【答案】(1) 平行于墙的一边长为 (40−2x) m，前提如 x＞0 且 40−2x＞0；(2) 0＜x≤10；(3) 9≤x＜20；(4) x=9 或 x=10． 【解析】 (1) 篱笆总长 40 m 用在三条边上：两条垂直于墙的边各长 x m，平行于墙的一边长为 40−2x（m）；边长必须为正数，∴ 实际前提是 x＞0 且 40−2x＞0（即 0＜x＜20）． (2) 由「平行于墙的一边长不小于垂直于墙的一边长的 2 倍」，得 40−2x≥2x， 移项，得 40≥4x，两边都除以 4（正数，方向不变），得 x≤10； 结合 (1) 的前提 0＜x＜20，∴ 0＜x≤10． (3) 由「平行于墙的一边长不超过 22 m」，得 40−2x≤22， 移项，得 −2x≤−18，两边都除以 −2（负数，方向改变），得 x≥9； 结合 0＜x＜20，∴ 9≤x＜20． (4) 同时满足 (2)(3)，即 9≤x≤10，其中整数为 x=9 或 x=10． 检验：x=9 时平行边长 40−18=22 m，满足「不超过 22」且 22≥18=2×9；x=10 时平行边长 20 m，满足 20≥20 且 20≤22，都符合． 【漏解警示】①本题的隐含前提「三边都是正的」贯穿全题，第 (2) 问解出 x≤10 后必须结合 0＜x 才能写成 0＜x≤10，漏掉 x＞0 是最常见的错误；②第 (3) 问两边除以 −2 时方向必须改变，忘变号会得到 x≤9 的反向错误范围，后面整数解就全错了；③第 (4) 问要先求两个范围的公共部分再取整数，不是把 (2)(3) 的整数解各自列出再「拼」。 学科网（北京）股份有限公司 $