空间几何体的外接球与内切球讲义-2027届高三数学一轮复习

空间几何体的外接球与内切球 一、知识点梳理 （一）外接球：把球心找出来 外接球的球心到各顶点等距，是若干"垂直平分面"的交点。做法是先找最容易确定球心的对称结构，再把球心位置用一个或两个未知量写出来。 两条常用事实：到同一平面内诸点等距的点的轨迹，是过该平面外心的垂线；若两个直角的顶点相同，则斜边就是球的直径。 能补成长方体的就别再算别的。补形法管用三种情形：三棱两两垂直的墙角型、三组对棱分别相等的四面体、能放进长方体某个角的多面体。补好后 ，一步到位。 不能补形就用坐标：设球心 ，列出"到各顶点距离相等"的方程，有几个未知量列几个方程。 （二）外接球的两类高频结构 底面有外接圆且侧棱垂直底面：设底面外接圆半径 、侧棱长 ，则球心在底面外心正上方，，故 。 正棱锥：设球心到底面距离 ，由 与 相减得 ； 为负说明球心在底面下方。 侧面为正三角形且垂直底面：球心在过底面外心与该三角形外心的两条垂线的交点处，列两个距离方程即可解出。 判据再强调：三组对棱分别相等的四面体可补成长方体，外接球直径就是体对角线。 （三）内切球：等体积法 内切球球心到各面等距。球心在内部时，把它与各面相连可分成若干"以面为底、以 为高"的锥体，故 ，即 。这是内切球唯一要记的公式。 旋转体的内切球看轴截面：圆锥的内切球就是轴截面等腰三角形的内切圆，用 （ 为面积、 为半周长）。圆柱没有内切球。 "棱柱内可放置的最大球"不是内切球，半径取 。 等体积法的前提是球心在几何体内部，球心在形外时 不成立。 （四）坐标法与常规易错点 坐标法三条规矩：尽量把顶点放在坐标轴上；让"垂直"直接体现为坐标相等或为零；写球心坐标时先用对称性减少未知量。 最常见错误是想当然认为球心在底面正上方——只有侧棱相等或侧棱垂直底面时才成立。 别把"外接球表面积"与"几何体表面积"弄混： 无 ， 才有。 长方体补形别用错对角线：体对角线是 ，面对角线是 ，四面体对棱补形后对应的是面对角线。 二、方法导语 外接球和内切球的题，第一步永远是"判断能不能补形"。能补成长方体的立刻补， 体对角线的平方；补不动的就建系，设球心坐标，按"到每个顶点距离相等"列方程。 内切球一律回到 ，把体积与表面积分别算准；旋转体的内切球则退回轴截面，用三角形的内切圆半径公式。 做完一题自查三件事：球心位置是否符合题设的对称条件（别默认在底面正上方）；求的是表面积 还是体积 ；内切球用等体积法时球心是否真的落在几何体内部。 三、典型例题 例1　对棱相等的四面体（补形法） 四面体 中，，，，则该四面体外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 变式1　对棱相等的四面体 四面体 的三组对棱分别等于 、、，则该四面体外接球的表面积为______。 例2　直三棱柱的外接球（底面外接圆 + 柱高） 设直三棱柱 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 ，，，则此直三棱柱的高是______。 变式2　正三棱柱的外接球 已知正三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，球的表面积为 ，该正三棱柱的底面边长为 ，则它的高为______。 例3　侧棱垂直底面的棱锥（底面四点共圆） 已知四棱锥 的顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形，，且 ，则此球的表面积为（　　） A． B． C． D． 变式3　侧棱垂直底面的棱锥 四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，，，，则四棱锥 外接球的表面积为______。 例4　侧面为正三角形且垂直底面（坐标法） 四棱锥 中，底面 是矩形，，，侧面 是正三角形，且平面 平面 ，则四棱锥 外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 变式4　正棱锥的外接球 正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则它的外接球的表面积为______。 例5　对棱相等的四面体的内切球（等体积法） 在三棱锥 中，，其余棱长均为 ，则该三棱锥内切球的表面积为______。 变式5　正四面体的内切球 棱长为 的正四面体的内切球的表面积为______。 四、巩固练习 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥 为鳖臑， 平面 ，，，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　） A． B． C． D． 2．在三棱锥 中，若 ，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为______。 4．在直三棱柱 中，，，，则该直三棱柱内能放置的最大球的表面积是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的外接球与内切球 一、知识点梳理 （一）外接球：把球心找出来 外接球的球心到各顶点等距，是若干"垂直平分面"的交点。做法是先找最容易确定球心的对称结构，再把球心位置用一个或两个未知量写出来。 两条常用事实：到同一平面内诸点等距的点的轨迹，是过该平面外心的垂线；若两个直角的顶点相同，则斜边就是球的直径。 能补成长方体的就别再算别的。补形法管用三种情形：三棱两两垂直的墙角型、三组对棱分别相等的四面体、能放进长方体某个角的多面体。补好后 ，一步到位。 不能补形就用坐标：设球心 ，列出"到各顶点距离相等"的方程，有几个未知量列几个方程。 （二）外接球的两类高频结构 底面有外接圆且侧棱垂直底面：设底面外接圆半径 、侧棱长 ，则球心在底面外心正上方，，故 。 正棱锥：设球心到底面距离 ，由 与 相减得 ； 为负说明球心在底面下方。 侧面为正三角形且垂直底面：球心在过底面外心与该三角形外心的两条垂线的交点处，列两个距离方程即可解出。 判据再强调：三组对棱分别相等的四面体可补成长方体，外接球直径就是体对角线。 （三）内切球：等体积法 内切球球心到各面等距。球心在内部时，把它与各面相连可分成若干"以面为底、以 为高"的锥体，故 ，即 。这是内切球唯一要记的公式。 旋转体的内切球看轴截面：圆锥的内切球就是轴截面等腰三角形的内切圆，用 （ 为面积、 为半周长）。圆柱没有内切球。 "棱柱内可放置的最大球"不是内切球，半径取 。 等体积法的前提是球心在几何体内部，球心在形外时 不成立。 （四）坐标法与常规易错点 坐标法三条规矩：尽量把顶点放在坐标轴上；让"垂直"直接体现为坐标相等或为零；写球心坐标时先用对称性减少未知量。 最常见错误是想当然认为球心在底面正上方——只有侧棱相等或侧棱垂直底面时才成立。 别把"外接球表面积"与"几何体表面积"弄混： 无 ， 才有。 长方体补形别用错对角线：体对角线是 ，面对角线是 ，四面体对棱补形后对应的是面对角线。 二、方法导语 外接球和内切球的题，第一步永远是"判断能不能补形"。能补成长方体的立刻补， 体对角线的平方；补不动的就建系，设球心坐标，按"到每个顶点距离相等"列方程。 内切球一律回到 ，把体积与表面积分别算准；旋转体的内切球则退回轴截面，用三角形的内切圆半径公式。 做完一题自查三件事：球心位置是否符合题设的对称条件（别默认在底面正上方）；求的是表面积 还是体积 ；内切球用等体积法时球心是否真的落在几何体内部。 三、典型例题 例1　对棱相等的四面体（补形法） 四面体 中，，，，则该四面体外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． ①识别对棱相等　三组对棱分别相等（、、），这正是四面体可以补成长方体的充要条件。 ②还原长方体的三条棱　设长方体三边 ，三个面对角线分别等于三组对棱：，，。 ③用体对角线求半径　外接球直径等于长方体体对角线 ，把三式相加即可，不必单独解出 。 注：补形后的四个顶点是长方体的"对角顶点"组，外接球与长方体的外接球是同一个球，所以直径就是体对角线。 【答案】A 三组对棱分别相等，把四面体 补成长方体，使 成为该长方体从同一顶点出发的三个面对角线。设长方体从该顶点出发的三条棱长为 ，则 ，，。 三式相加得 ，故 。 四面体的外接球即该长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线，于是 ，。 所以外接球的表面积 ，选 A。 变式1　对棱相等的四面体 四面体 的三组对棱分别等于 、、，则该四面体外接球的表面积为______。 【答案】 三组对棱分别相等，把四面体补成长方体，设长方体从同一顶点出发的三条棱长为 ，则三个面对角线分别等于三组对棱： ，，。 三式相加得 ，故 。 外接球直径等于体对角线，，所以外接球的表面积 。 例2　直三棱柱的外接球（底面外接圆 + 柱高） 设直三棱柱 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 ，，，则此直三棱柱的高是______。 ①把底面外接圆算出来　设 ，先用余弦定理求 ，再用正弦定理 求底面外接圆半径 。 ②球心在柱的中截面　直棱柱的球心必在两底外心连线的中点，故球心到底面外心的距离为 ，其中 是柱高。 ③用 解出高　由球表面积 得 ，代入 与 的关系解方程。 注：这里 ，柱高恰等于 ，所以只需解一个关于 的方程。 【答案】 设 。在 中，由余弦定理 ，故 。 由正弦定理，底面外接圆半径 满足 ，所以 。 设球半径为 ，则 ，得 。 直棱柱的球心在两底外心连线的中点，所以球心到底面外心的距离为 ，其中 。于是 。 由 得 ，。所以该直三棱柱的高为 。 变式2　正三棱柱的外接球 已知正三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，球的表面积为 ，该正三棱柱的底面边长为 ，则它的高为______。 【答案】 设正三棱柱的底面边长为 ，高为 。底面正三角形的外接圆半径 。 由球的表面积 得 。 正三棱柱的球心在两底外心连线的中点，故球心到底面外心的距离为 ，于是 ，解得 ，。 所以该正三棱柱的高为 。 例3　侧棱垂直底面的棱锥（底面四点共圆） 已知四棱锥 的顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形，，且 ，则此球的表面积为（　　） A． B． C． D． ①底面四点必共圆　四个底面顶点都在球面上，而它们又都在同一平面内，故它们必共圆，且这个圆就是球与底面的交线。 ②由弦长定出圆的半径　 是同一个圆上三条相等的弦，配合 可定出该圆半径 。 ③球心在底面外心的垂线上　设球心到底面的距离为 ，则 ；再由 且 底面，用 到球心的距离等于 定出 。 注：侧棱垂直底面的棱锥有一个统一的算法：顶点在底面某点正上方，它到"过底面外心且垂直底面的轴"的距离恰好等于底面外接圆半径 ，于是 （底面顶点）与 （顶点）联立。 【答案】C 因为四棱锥的四个底面顶点都在球面上，且它们共面，所以 四点共圆，该圆就是球与底面的交圆。 在这个圆中， 是三条相等的弦，它们对应的圆心角都是 。由圆内接四边形 及 ，可知 所对弧为 ，于是圆上顺次为 、、、，由此得弦长 是直径，底面外接圆半径 。 设球心为 ，底面外心为 ，则 在过 且垂直底面的直线上。记 。 对底面顶点 ，有 ，故 。 又 底面，，所以顶点 在 的正上方且到该垂线的距离等于 ，于是 。 由 得 ，因为 且 时无解，取 解得 。 所以 ，球的表面积 ，选 C。 变式3　侧棱垂直底面的棱锥 四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，，，，则四棱锥 外接球的表面积为______。 【答案】 底面矩形 的对角线长为 ，所以底面外接圆半径为 。 因为 底面，球心 在过底面外心 且垂直底面的直线上，且 到 与到 的距离相等，故 。 于是 。 所以外接球的表面积 。 例4　侧面为正三角形且垂直底面（坐标法） 四棱锥 中，底面 是矩形，，，侧面 是正三角形，且平面 平面 ，则四棱锥 外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． ①建系写坐标　以 为原点， 所在直线为 轴，垂直底面向上为 轴。正三角形 的高为 ，故 。 ②底面外心定球心的 　底面矩形的外心是对角线交点 ，球心在过 垂直底面的直线上，设 。 ③用 解出 　由 得到关于 的一次方程，解出 后回代求 。 注：不能想当然地认为球心一定在底面中心的垂直线上。本例中球心恰在过底面外心的垂线上，是因为 在底面的投影落在 的中垂线上，与底面外心的 坐标恰巧一致；换了形状这个巧合就不成立，所以要列方程。 【答案】C 以 为原点， 方向为 轴，垂直底面向上为 轴建立空间直角坐标系。则 ，，，。 因为 是正三角形且边 ， 到 中点 的距离等于正三角形的高 ，又平面 底面，所以 。 底面矩形 的外心是它的对角线交点 ，外接球球心 在过 且垂直底面的直线上，设 。 由 得 ，即 。 化简得 ，解得 。 于是 ，外接球的表面积为 ，选 C。 变式4　正棱锥的外接球 正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则它的外接球的表面积为______。 【答案】 正四棱锥底面边长为 ，底面外接圆半径 ，故 。 设锥高为 ，则 ，。 球心在锥的轴上。设球心到底面外心的距离为 ，则 ，即 ，解得 。 于是 。 所以外接球的表面积 。 例5　对棱相等的四面体的内切球（等体积法） 在三棱锥 中，，其余棱长均为 ，则该三棱锥内切球的表面积为______。 ①先补形求体积　三组对棱分别相等，补成长方体，用 求四面体的体积。 ②每个面都是全等的 (5,5,6) 三角形　 的边长组合都是 ，面积相同，用海伦公式（或底乘高）算出单面面积后乘以 。 ③套等体积公式　内切球半径 ，再算球表面积 。 注：这道题的关键在于"四个面全等"这一观察。先看清这一点，表面积就不用逐面算了。 【答案】 三组对棱分别相等（，，），把三棱锥补成长方体，设长方体从同一顶点出发的三条棱长为 ，则 ，，。 解得 ，。三棱锥的体积等于长方体的体积减去四个角上的三棱锥，即 。 三棱锥的四个面 的边长组合都是 ，它们全等。 边长 的三角形面积为 ，所以 。 设内切球半径为 ，由等体积法 得 ，故 。 内切球的表面积 。 变式5　正四面体的内切球 棱长为 的正四面体的内切球的表面积为______。 【答案】 设正四面体的棱长为 。它的体积 。 每个面都是边长为 的正三角形，面积 ，所以 。 设内切球半径为 ，由等体积法 得 ，故 。 所以内切球的表面积 。 四、巩固练习 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥 为鳖臑， 平面 ，，，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 因为三棱锥 是鳖臑（四个面都是直角三角形），且 平面 ，所以 ，，即 、 都在 处为直角。 又 是直角三角形。若直角在 处，即 ，则 三线两两垂直，三棱锥恰是长方体的一个"角"。（若直角在 处，则 ，此时 不是直角三角形，与鳖臑的定义不符；故直角只能在 处。） 于是把三棱锥补成以 为三条棱的长方体，三条棱长分别为 。 三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，直径等于体对角线 ，所以 ，。 球 的表面积 ，选 D。 2．在三棱锥 中，若 ，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 在 中，由余弦定理 ，所以 。 由正弦定理， 的外接圆半径 。 因为 ，顶点 在底面外心 的正上方。设 ，则 ，。 设球心 到底面的距离为 ，则 ，又 。 两式相减得 ，解得 。于是 。 所以外接球的表面积 ，选 B。 3．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为______。 【答案】 圆锥的高 。 圆锥的内切球在轴截面内就是那个等腰三角形的内切圆。轴截面是底为 、腰为 、高为 的等腰三角形。 该三角形的面积 ，半周长 。 所以内切圆半径（即内切球半径）。 内切球的体积 。 4．在直三棱柱 中，，，，则该直三棱柱内能放置的最大球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 在 中，，所以 是直角三角形，，斜边为 。 直角三角形内切圆半径 。 直三棱柱的高 。若在棱柱内放置一个球，它受侧面的限制，半径至多为底面内切圆半径 ；同时受上、下底面的限制，半径至多为 。 所以能放置的最大球半径 。 该球的表面积 ，选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $