专题8.2 空间几何体外接球、内切球-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间几何体外接球、内切球高考核心考点，系统梳理长方体、棱锥、圆柱等七类外接球模型及正方体、正棱锥等五类内切球模型，按“模型特征-结论推导-应用方法”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如等体积法、勾股定理应用）、真题训练（例题与分层练习），帮助学生突破空间想象难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以模型化教学为特色，如将三棱锥外接球转化为长方体模型培养数学眼光，用等体积法推导内切球半径发展数学思维。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，高效提升学生空间几何问题解决能力，为教师精准把控复习节奏提供实用教学框架。

专题8.2 空间几何体外接球、内切球 8.2.1 空间几何体外接球 常见空间几何体外接球模型及相关结论 1.长方体：如图所示，长方体的体对角线的中点就是其外接球的球心，体对角线就是其外接球的直径，（R为外接球的半径）. 2.可还原至长方体的棱锥 （1）如图1所示，已知AP，AB，AC两两垂直，则（R为外接球的半径）. 图1 图2 （2）如图2所示，已知AP，AB，BC两两垂直，则（R为外接球的半径）. （3）如图3所示，已知AB⊥BC，BC⊥PC，PA⊥AB，则（R为外接球的半径）. 图3 图4 （4）如图4所示，已知AB=CD，AD=BC，AC=BD，则（R为外接球的半径）. 3.圆柱：如图5所示，圆柱上下底面中心连线的中点即为其外接球的球心，（R为外接球的半径，h为圆柱的高，r为圆柱底面圆的半径）. 图5 图6 4.直棱柱：如图6所示，以三棱柱为例，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点，，（R为外接球的半径，r为底面三角形外接圆的半径）. 5.正棱锥（以正四棱锥为例）： （1）如图7所示，外接球球心在底面高线上，（R为外接球的半径，r为底面正方形外接圆的半径，h为正四棱锥的高）. 图7 图8 （2）如图8所示，外接球球心在底面高线的延长线上，（R为外接球的半径，r为底面正方形外接圆的半径，h为正四棱锥的高）. 6.圆锥 （1）如图9所示，外接球球心在底面高线上，（R为外接球的半径，r为底面圆的半径，h为圆锥的高）. 图9 图10 （2）如图10所示，外接球球心在底面高线上的延长线上，（R为外接球的半径，r为底面圆的半径，h为圆锥的高）. 7.圆台 （1）如图11所示，球心在圆台上、下底面中心连线上，（R为外接球的半径，r1为上底面圆的半径，r2为下底面圆的半径，h为圆台的高）. 图11 图12 （2）如图12所示，球心在圆台上、下底面中心连线所在的直线上，（R为外接球的半径，r1为上底面圆的半径，r2为下底面圆的半径，h为圆台的高）. 例1.某圆台的上下底面半径分别为和，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 解：由外接球表面积，得外接球半径.设球心到下底面（半径2）的距离为，圆台高为，结合圆台外接球特性，分两种位置分类讨论： 情况一：球心位于圆台上下两底面之间 此时球心到上底面距离为，根据外接球半径恒定列方程： ， 代入，得，解得，无实际几何意义，故此情况舍去. 情况二：球心位于圆台外侧（两类细分） ① 球心靠近下底面外侧：球心到下底面距离，到上底面距离为， 方程：，代入求解得； ② 球心靠近上底面外侧：球心到下底面距离，到上底面距离为， 同理联立方程求解，得. 综上，该圆台的高为或. 例2.已知在三棱锥 中，，，底面 是边长为 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 解：底面外接圆半径，设，外接球半径，，联立计算得.则.故选：B. 例3.如图，在四面体中，，，，则此四面体的外接球表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 解：两两垂直，补长方体，长宽高. ，.故选：B. 1.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A.      B.     C.     D. 解：底面长宽，棱柱高，，. 故选：D. 2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 解：，，. 故选：A. 3.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 解：，故.故选：B. 4.已知正四棱锥 的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ） A.    B.    C.    D. 解：设底面边长，底面中心，中点，，，高. 底面中心到顶点距离，侧棱. 棱锥高，底面外接圆半径.设外接球半径， 球心在高线：，. 则.故选：A. 5.已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且，，，四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 解：；， 圆台体积，， 圆台外接球半径：球心在上下圆心连线中点， .故选：C. 6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ） A.   B.  C.  D. 解：底面外接圆半径，设外接球半径，球心距底面：， ，.故选：A. 7.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为______. 解：底面外接圆半径，棱锥高，， .故答案为：. 8.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 解：上底外接圆，下底外接圆；，， ， 设球心距下底面：，. .故选：C. 9.已知点是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形.若，则的面积为 . 解：补长方体，长宽高，， ，为等边三角形，.故答案为：. 10.已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解：上底外接圆，下底外接圆，设球心距下底面（球心在台体外侧，）， ，， .故选：A. 8.2.2 空间几何体内切球 常见空间几何体内切球模型及相关结论 1.正方体：如下图所示，（R为内切球的半径，a为正方体棱长）. 2.圆柱：如下图所示，R=r且h=2R（R为内切球的半径，r，h分别为圆柱的底面圆半径和高）. 3.正三棱柱：如下图所示，R=r且h=2R（R为内切球的半径，r，h分别为棱柱的底面三角形内切圆半径和高）. 4.正棱锥（以正四棱锥为例）：如下图所示，由△POF∽△PEO1，得，.也可用等体积法求半径（R为内切球的半径，PE椎体的斜高，r，h分别为椎体的底面内切圆半径和高）. 5.三棱锥：如下图所示，记三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则 （V为三棱锥的体积，R为内切球的半径）. 例1.正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，求该正四棱锥的内切球半径. 解：底面中心到顶点距离：， 棱锥高：， 体积：，， 侧面斜高：， 单侧面积：，侧面积总和， 全面积：， 求：. 例2.如图，在三棱锥中，底面，，，求该三棱锥的内切球半径. 解：，则体积， 各面面积，，， ，， ， 求内切球半径：. 1.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥内切球的表面积是圆锥底面积的 倍. 解：设底面半径，母线，高.，，由得. ，圆锥内切球公式：， 球表面积：，倍数：.故答案为：. 2.已知正方体的棱长为4，则该正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解：正方体内切球直径=棱长，，.故选：C. 3.正四面体的棱长为6，则其内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 解：正四面体内切球公式，，.故选：A. 4.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的内切球半径为（ ） A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 解：母线，.故选：B. 5.棱长为2的正方体，其内切球与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 解：内切球：， 外接球直径=体对角线：， 比值：.故选：B. 6.一个三棱锥的表面积为12，体积为8，则该三棱锥的内切球半径为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：.故选：B. 7.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解：求体积，底面：，则， 求四个面面积，计算表面积：；， ，，，， ，为直角三角形，， ，内切球半径公式，. 内切球表面积：，.故选B. 8.已知正三棱柱的底面边长为，高为4，判断该正三棱柱是否存在内切球，若存在，求其半径；若不存在，请说明理由. 解：正棱柱存在内切球充要条件：底面正多边形内切圆半径. 底面正三角形高：. 底面内切圆半径：. 棱柱高，. ，不满足条件，无内切球. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 空间几何体外接球、内切球 8.2.1 空间几何体外接球 常见空间几何体外接球模型及相关结论 1.长方体：如图所示，长方体的体对角线的中点就是其外接球的球心，体对角线就是其外接球的直径，（R为外接球的半径）. 2.可还原至长方体的棱锥 （1）如图1所示，已知AP，AB，AC两两垂直，则（R为外接球的半径）. 图1 图2 （2）如图2所示，已知AP，AB，BC两两垂直，则（R为外接球的半径）. （3）如图3所示，已知AB⊥BC，BC⊥PC，PA⊥AB，则（R为外接球的半径）. 图3 图4 （4）如图4所示，已知AB=CD，AD=BC，AC=BD，则（R为外接球的半径）. 3.圆柱：如图5所示，圆柱上下底面中心连线的中点即为其外接球的球心，（R为外接球的半径，h为圆柱的高，r为圆柱底面圆的半径）. 图5 图6 4.直棱柱：如图6所示，以三棱柱为例，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点，，（R为外接球的半径，r为底面三角形外接圆的半径）. 5.正棱锥（以正四棱锥为例）： （1）如图7所示，外接球球心在底面高线上，（R为外接球的半径，r为底面正方形外接圆的半径，h为正四棱锥的高）. 图7 图8 （2）如图8所示，外接球球心在底面高线的延长线上，（R为外接球的半径，r为底面正方形外接圆的半径，h为正四棱锥的高）. 6.圆锥 （1）如图9所示，外接球球心在底面高线上，（R为外接球的半径，r为底面圆的半径，h为圆锥的高）. 图9 图10 （2）如图10所示，外接球球心在底面高线上的延长线上，（R为外接球的半径，r为底面圆的半径，h为圆锥的高）. 7.圆台 （1）如图11所示，球心在圆台上、下底面中心连线上，（R为外接球的半径，r1为上底面圆的半径，r2为下底面圆的半径，h为圆台的高）. 图11 图12 （2）如图12所示，球心在圆台上、下底面中心连线所在的直线上，（R为外接球的半径，r1为上底面圆的半径，r2为下底面圆的半径，h为圆台的高）. 例1.某圆台的上下底面半径分别为和，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 例2.已知在三棱锥 中，，，底面 是边长为 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 例3.如图，在四面体中，，，，则此四面体的外接球表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 1.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A.      B.     C.     D. 2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 3.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.     B.     C.     D. 4.已知正四棱锥 的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ） A.    B.    C.    D. 5.已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且，，，四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ） A.   B.  C.  D. 7.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为______. 8.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 9.已知点是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形.若，则的面积为 . 10.已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8.2.2 空间几何体内切球 常见空间几何体内切球模型及相关结论 1.正方体：如下图所示，（R为内切球的半径，a为正方体棱长）. 2.圆柱：如下图所示，R=r且h=2R（R为内切球的半径，r，h分别为圆柱的底面圆半径和高）. 3.正三棱柱：如下图所示，R=r且h=2R（R为内切球的半径，r，h分别为棱柱的底面三角形内切圆半径和高）. 4.正棱锥（以正四棱锥为例）：如下图所示，由△POF∽△PEO1，得，.也可用等体积法求半径（R为内切球的半径，PE椎体的斜高，r，h分别为椎体的底面内切圆半径和高）. 5.三棱锥：如下图所示，记三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则 （V为三棱锥的体积，R为内切球的半径）. 例1.正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，求该正四棱锥的内切球半径. 例2.如图，在三棱锥中，底面，，，求该三棱锥的内切球半径. 1.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥内切球的表面积是圆锥底面积的 倍. 2.已知正方体的棱长为4，则该正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3.正四面体的棱长为6，则其内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 4.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的内切球半径为（ ） A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 5.棱长为2的正方体，其内切球与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 6.一个三棱锥的表面积为12，体积为8，则该三棱锥的内切球半径为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8.已知正三棱柱的底面边长为，高为4，判断该正三棱柱是否存在内切球，若存在，求其半径；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $