第85讲 外接球与内切球(上) 基本模型讲义-2027届高考数学一轮复习

第85讲 外接球与内切球(上)：基本模型 墙角补形·轴截面与面面垂直·内切等体积 一、外接球基本模型 1. 补形模型（墙角）. 三条两两垂直的棱补成长方体：；"侧棱垂直底面"是半个墙角——先求底面外接圆半径 与垂直方向球心偏移 ，. 2. 轴截面与面面垂直. 圆锥/圆柱的外接球在轴截面内化圆求半径；两三角形所在平面垂直时，两外心的连线垂直于各自所在平面——设 列勾股方程解 . 【通法】墙角补体对角线，R²=r²+d². 【通法】面面垂直两圆心，设 x 列勾股. 例1（单选·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，平面平面，△ABD 和 △BCD 都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】等腰直角 △BCD（）的外心 为斜边 中点，；等腰 △ABD 中 、顶角 ， 在底面的射影 落在 延长线上（，），由面面垂直得 平面 。设两外心连线 ，对 两点列勾股：（其中 ， 为 中点），解得 ，，表面积 。 【关键】面面垂直模型的三步：①两个三角形各自定外心位置；②两外心连线垂直各自平面（球心在公垂线上）；③设公垂段 对两顶点列勾股方程——二心距与半径的"对偶勾股"是万能方程. 【答案】D 变式1（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，△ABC 是以 为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【切入点】 底面、底面是以 为斜边的等腰直角三角形： 平面 ，取 中点 ，则 ，，。 【关键】"直角+中点"型：斜边中点到三个直角顶点等距——三棱锥有公共斜边即公共中点球心， = 斜边之半，一眼出半径. 【答案】 变式2（单选·★★★☆☆） 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 底面：；底面按余弦定理 ，正弦定理 ，，表面积 。 【关键】侧棱垂直底面的"半墙角"：——底面三角形只差一条边时先补余弦定理. 【答案】C 变式3（多选·★★★☆☆） 三棱锥中，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1 D. 当时，的最小值为 【切入点】、 且 ，补成棱长 2 的正方体（ 为体对角线）。A：，对。B：外接球即正方体外接球，，表面积 ，错。C：最小截面与 垂直（ 为球心、 为 中点），，，对。D：坐标设 、，配方得 ，对。选 ACD。 【关键】"公共垂直棱"补正方体是本讲第一模型——体对角线 验正方体；最小截面半径 中 取球心到截面的最大距离. 【答案】ACD 变式4（单选·★★★☆☆） 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】底面四顶点在大圆上：、高 ， 得 ，表面积 。 【关键】"底面内接大圆"给出底边与 的比例、顶点在球面给出高恰为 ——两个几何条件把体积全用 表出，反解即可. 【答案】D 二、内切球与锥柱台 1. 内切球等体积法. 锥体内切球：；正四面体棱长 ：，，恒有 ，球心同在高线上. 2. 台体与球. 正棱台的轴截面是等腰梯形：内切球/棱切球问题化梯形内切圆——等面积法或勾股定半径；"球心在底面"的球用勾股联络上、下底顶点，两组方程解边长. 【通法】内切等体积，正四面体 R=3r. 【通法】台化轴截面梯形，等面积定半径. 例2（填空·★★★★☆） 已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则 = ______； = ______． 【切入点】：等体积 ，得 。：球心 共线，切点三角形相似 ，其中 、，解得 。 【关键】内切球心在高线上"四等分"结构：；多球相切沿高线排布，相似比把 化为 与间距的方程——正四面体的球链问题是相似三角形+共线两句话. 【答案】； 变式5（单选·★★★☆☆） 正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【切入点】轴截面等腰梯形（上底 1、下底 2），内切圆半径 ：腰长 ，等面积 ，解得 ，台高 。，，体积比 。 【关键】棱台内切球只看轴截面：等腰梯形内切圆——"上底+下底=两腰"（切线长）与等面积法二选一；体积比约去 后只剩整数比. 【答案】B 变式6（填空·★★★☆☆） 已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为______． 【切入点】球心在下底面中心：上底顶点勾股 得 ；下底顶点 得 。。 【关键】球心落在台体底面的非常规摆放——上下底顶点到球心各列一条勾股，两条方程把两边长全定出，再套台体公式. 【答案】 变式7（填空·★★★★☆） 已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 【切入点】底面圆 ，；三棱锥外接球即圆柱外接球， 得 ， 解得 。 中 （ 为 中点）， 到 距离最大 ，，体积最大 。 【关键】圆柱内接锥体的外接球就是圆柱外接球（）——球反求高，再回到底面圆内"弦到弧的最远距离"定面积上限. 【答案】 变式8（填空·★★★★☆） 如图，圆锥有且仅有一条母线在平面内，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥外接球的表面积为__________；若是中点，，且点到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的余弦值为__________. 【切入点】①展开半圆面积 ： 且 ，得 ，高 ；外接球心 在 上， 得 ，表面积 。②过 中点 作 （仅一条母线在 内 面 面 ），由 到 距离 逐层勾股得 ，，。 【关键】圆锥外接球心在轴上： 恒可解；"仅一条母线在平面内"翻译成"平面垂直于轴截面"——第二问的全部距离都沿"轴截面→垂面"两层勾股传递. 【答案】； 三、截面反求与综合 1. 球的截面. 截面小圆半径 、球半径 、球心到截面距离 ：——截面面积反求 ，进而定直线与截面所成角. 2. 球与几何体互求. 已知球反求几何体（棱台高/边长、锥的高与角）：把每个顶点"到球心等距"写成勾股方程组；正棱台球心必在两底心连线上，设偏移 双方程求解. 【通法】截面定 d=√(R²−r²). 【通法】顶点等距列勾股，双解偏移. 例3（解答·★★★★☆） 如图，在正四棱台中，，是的中点，其外接球的表面积为. （1）求证：平面；（2）若平面与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【切入点】(1) 且 ，四边形 为平行四边形，故 ，线面平行得证。(2) 外接球 得 ；下底外接圆半径 ，故球心偏移 （球心即下底中心 ），上台 勾股得高 。建系求出 为 中点，，平面 法向量 ，。 【关键】"外接球表面积"是棱台求高的隐藏条件：上下底外接圆半径 与球半径列 ——本题 直接得 ，是最干净的特例. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式9（单选·★★★★☆） 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正三棱锥 为底心：，， 得 ； 分 为 ，，。截面 ，，，角为 。 【关键】"过定点截球"：先由几何体定 与 ，再由截面面积回代 ——最后角在直角三角形 中一步正弦. 【答案】C 变式10（单选·★★★★☆） 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 为原点、 为 面建系，： 与 两条件解出 、；球心 ， 给 ，再由 解得 ，。 【关键】非标准摆放的"球反求角"：全程坐标化，把球条件写成"球心坐标两个未知数+两顶点等距"方程组——高 一出现，线面角就是 . 【答案】D 变式11（多选·★★★★☆） 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 【切入点】A：四棱锥有外接球 底面有外接圆， 得 ；又 底面， 平面 ，故 ，对。B：球心到平面 的距离恰为 ，，对。C： 在以 为直径的圆上，但两侧三角形面积无固定关系，错。D： 时设 、，，均值不等式得最大 ，对。选 ABD。 【关键】"有外接球"的信息量：底面四点共圆（对角互补/直角直径）； 底面时球心高恰为 之半——体积关系 与均值不等式最值都从这里长出来. 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $ 第85讲 外接球与内切球(上)：基本模型 墙角补形·轴截面与面面垂直·内切等体积 一、外接球基本模型 1. 补形模型（墙角）. 三条两两垂直的棱补成长方体：；"侧棱垂直底面"是半个墙角——先求底面外接圆半径 与垂直方向球心偏移 ，. 2. 轴截面与面面垂直. 圆锥/圆柱的外接球在轴截面内化圆求半径；两三角形所在平面垂直时，两外心的连线垂直于各自所在平面——设 列勾股方程解 . 例1（单选·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，平面平面，△ABD 和 △BCD 都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 变式1（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，△ABC 是以 为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 变式2（单选·★★★☆☆） 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 变式3（多选·★★★☆☆） 三棱锥中，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1 D. 当时，的最小值为 变式4（单选·★★★☆☆） 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、内切球与锥柱台 1. 内切球等体积法. 锥体内切球：；正四面体棱长 ：，，恒有 ，球心同在高线上. 2. 台体与球. 正棱台的轴截面是等腰梯形：内切球/棱切球问题化梯形内切圆——等面积法或勾股定半径；"球心在底面"的球用勾股联络上、下底顶点，两组方程解边长. 例2（填空·★★★★☆） 已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则 = ______； = ______． 变式5（单选·★★★☆☆） 正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 变式6（填空·★★★☆☆） 已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为______． 变式7（填空·★★★★☆） 已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 变式8（填空·★★★★☆） 如图，圆锥有且仅有一条母线在平面内，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥外接球的表面积为__________；若是中点，，且点到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的余弦值为__________. 三、截面反求与综合 1. 球的截面. 截面小圆半径 、球半径 、球心到截面距离 ：——截面面积反求 ，进而定直线与截面所成角. 2. 球与几何体互求. 已知球反求几何体（棱台高/边长、锥的高与角）：把每个顶点"到球心等距"写成勾股方程组；正棱台球心必在两底心连线上，设偏移 双方程求解. 例3（解答·★★★★☆） 如图，在正四棱台中，，是的中点，其外接球的表面积为. （1）求证：平面；（2）若平面与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 变式9（单选·★★★★☆） 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 变式10（单选·★★★★☆） 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 变式11（多选·★★★★☆） 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $