河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十六章第四节）

冀教版九年级数学上册　第二十六章　解直角三角形 26.4　解直角三角形的应用　分层作业 一、作品基础信息 学段学科 初中数学 教材版本 冀教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写） 年级册次 九年级上册 所属章节 第二十六章　解直角三角形 课题名称 26.4　解直角三角形的应用 课时安排 1课时（本节新授课配套课时作业） 作业类型 课时分层作业（A层基础巩固＋B层能力提升＋C层拓展探究） 适用对象 九年级全体学生 建议用时 约22分钟（A层约8分钟，B层约8分钟，C层约6分钟） 设计者 　　　　　　　　　　（学校／姓名） 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决一些与直角三角形有关的简单的实际问题，并强调在解决问题的过程中经历从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型、求解模型、检验结果的过程，发展模型观念、应用意识、运算能力和几何直观。本作业以“读情境—画图形—标条件—选关系—求出解—回到实际”为主线，把课标要求转化为可操作的分层任务，让学生在真实的测量、建筑与航海情境中体会数学的应用价值。 （二）教材分析 本节是冀教版九年级上册第二十六章“解直角三角形”的最后一节，是在学生学习了26.1“锐角三角函数”、26.2“特殊角的三角函数值”和26.3“解直角三角形”之后，对全章知识的综合运用与提升。 教材结合仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）、坡角等实际情境，引导学生把实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，按照“实际问题—抽象为数学问题（画出图形、构造直角三角形）—解直角三角形—回到实际问题”的思路展开。本节既是解直角三角形方法的巩固与应用，也是发展模型观念和应用意识的重要载体，同时为后续学习一般角的三角函数、正弦定理和余弦定理等内容积累经验。本节的重点是运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角、坡度有关的实际问题；难点是把实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中的边角关系，即建立数学模型。 （三）学情分析 1．已有基础：学生已经理解锐角三角函数的定义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值，会解直角三角形，初步具备由已知元素求其余元素的能力；也有在图形中作垂线构造直角三角形的经验。 2．主要困难：一是“读不懂题意”，不会把“仰角”“北偏东60°”“坡度1∶2”等生活化的说法翻译成图形中的角或比；二是“找不到直角三角形”，面对实际问题不知道过哪个点作垂线（作高），不会把斜三角形或梯形转化为直角三角形；三是容易混淆概念，把仰角与俯角弄反、把坡度与坡角混为一谈，或把方位角的方向说错；四是计算时对“结果保留根号”与“结果精确到某一位”的处理不规范；五是在双观测点、需要作出判断结论等较复杂的情境中，不能顺利建立方程求解。 3．分层依据：基于上述差异，把作业设计为A（基础巩固）、B（能力提升）、C（拓展探究）三个层次。A层面向全体学生，重在“认清概念、用熟一个直角三角形”；B层面向大多数学生，重在“覆盖仰角俯角、方位角、坡度三类典型情境，会用辅助线构造直角三角形”；C层面向学有余力的学生，重在“多步转化、建立方程、作出判断，体会建模与化归思想”。 （四）设计意图 1．控量提质，落实“双减”。全卷共9题，A层4题必做、B层3题选做、C层2题挑战，总量控制在22分钟以内，避免机械重复训练。 2．澄清概念，纠正误解。第1题集中辨析仰角、俯角、坡度、坡角、方位角五个概念，专门纠正“坡度就是角度”“坡度与坡角是一回事”等常见误解；第2题从数与形两个方向巩固“坡度与坡角可以互相求”。 3．夯实基本模型，规范解题步骤。第3、4题分别以仰角、俯角为背景，训练“画图—标条件—选关系式—规范书写”的完整过程，并要求结果保留根号，养成严谨的计算习惯。 4．覆盖典型情境，学会构造。第5、6、7题分别对应方位角、坡度、仰角与俯角组合三类典型情境，都需要画出图形并作辅助线（作高或作垂线）构造直角三角形，帮助学生形成“遇实际问题先构图”的意识。 5．变式探究，沟通联系。第8题以河堤坡角改造为背景，把“坡角变化—水平宽度变化”的关系直观化，让学生体会坡度、坡角与水平宽度之间的相互制约。 6．综合应用，发展素养。第9题在方位角情境中引入“暗礁区”的判断，需要先求角、再求点到直线的距离、最后与危险半径比较作出判断，完整经历“建模—求解—检验—决策”的过程，发展模型观念和应用意识。 三、作业目标 （一）基础性目标（知识与技能） 1．理解仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）和坡角的意义，能在实际问题中正确识别这些量，明确坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，且坡度等于坡角的正切值； 2．能运用勾股定理、锐角三角函数和解直角三角形的方法，解决与仰角、俯角、方位角、坡度有关的简单实际问题。 （二）发展性目标（过程与方法） 3．经历把实际问题抽象为解直角三角形问题的过程，会根据题意画出图形、添加辅助线（作高或作垂线）构造直角三角形，能根据条件选择合适的边角关系式求解； 4．在双观测点等问题中，能通过设未知数、建立方程（组）求解，体会方程思想、数形结合思想和化归思想。 （三）素养性目标（核心素养） 5．在测量、建筑、航海等真实情境中发展模型观念、应用意识、运算能力和几何直观，养成有序、规范、严谨的解题习惯； 6．感受数学与生产、生活的紧密联系，体会用数学知识解决实际问题的价值，增强应用数学的意识和学习数学的兴趣。 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 对应作业目标 核心素养 预估用时 1 A层（基础） 选择 目标1 推理能力、几何直观 2分钟 2 A层（基础） 填空 目标1、目标2 运算能力、几何直观 2分钟 3 A层（基础） 解答 目标2 运算能力、几何直观 2分钟 4 A层（基础） 解答 目标2 运算能力、几何直观 2分钟 5 B层（提升） 解答 目标2、目标3 运算能力、模型观念 3分钟 6 B层（提升） 解答 目标2、目标3 运算能力、几何直观 3分钟 7 B层（提升） 解答 目标3、目标4 推理能力、运算能力 3分钟 8 C层（拓展） 探究 目标3、目标4、目标5 推理能力、模型观念 3分钟 9 C层（拓展） 解答 目标4、目标5、目标6 运算能力、模型观念 3分钟 说明：A层为必做题；B层为选做题（至少完成2题）；C层为挑战题（自主选择）。 五、作业评价 （一）评价方式 1．学生自评：对照“七、答案与解析”用“★”标注自己的达成情况，重点复盘“题目中的实际量分别对应图形中的哪个角、哪条边”； 2．同伴互评：同桌交换批改A层，重点检查“图形画得对不对、辅助线作得对不对、关系式选得对不对、结果是否按要求保留根号或取近似值”； 3．教师评价：A层全批全改，B层、C层以鼓励性评价和思路点评为主，对典型错误（尤其是概念混淆、不作辅助线硬算、结果未化简）进行集体讲评。 （二）评价量规 层级 评价要点 达标标准 达成等级（自评） A层 概念识别与基本模型应用 能正确识别仰角、俯角、方位角、坡度和坡角，会用解直角三角形求高或求距离，A层4题中答对3题以上为达标 ★☆☆　★★☆　★★★ B层 情境转化与关系式选择 能根据题意画出图形、作辅助线构造直角三角形，能正确选择关系式并规范计算，结果按要求保留根号或取近似值 ★☆☆　★★☆　★★★ C层 综合建模与判断决策 能在双观测点、方位角综合等情境中建立方程求解，能对结论作出正确判断并说明理由，推理严谨、表达清晰 ★☆☆　★★☆　★★★ （三）评价反馈与补偿 1．对A层出错的学生，用“三步走”再梳理：先画图（把实际量标到图上），再标角（标出已知角和已知边），最后选关系式（该用正弦、余弦还是正切），并配一组“看图说关系”的口头快练； 2．对B层完成较好的学生，鼓励其挑战C层，并用“你是怎么想到要在这个位置作一条垂线的”引导其表达思维过程； 3．对C层确有困难的学生，给出提示：“这个问题中有直角三角形吗？如果没有，能不能作一条垂线，把它转化成解直角三角形的问题？”只提示方向，不代替思考。 六、试题详情 （一）A层：基础巩固（必做） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．从低处观测高处的目标，视线与水平线所成的锐角叫做俯角 B．坡面与水平面所成的夹角叫做坡度 C．坡面的坡度等于坡角的正切值 D．方位角“南偏东40°”表示目标方向线与正东方向线所成的锐角为40° 2．填空： （1）某斜坡的坡度为 i＝1∶1，则该斜坡的坡角为________； （2）某斜坡的坡角为30°，则该斜坡的坡度 i＝________； （3）从水平地面上的点A处测得塔顶的仰角为45°，若点A到塔底的水平距离为20 m，则塔高为________m。 3．如图，为测量旗杆AB的高度，小明在与旗杆底部B在同一水平线上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为30°，量得BC＝12 m。求旗杆AB的高度（结果保留根号）。 （第3题图） 4．如图，点B是无人机所在点A在地面上的正下方，此时无人机离地面的高度AB＝300 m。无人机测得地面目标C的俯角为30°。求无人机到目标C的水平距离BC及A、C两点之间的距离AC。 （第4题图） （二）B层：能力提升（选做） 5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行20海里到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上。求灯塔C到航线AB的距离（结果保留根号）。 （第5题图） 6．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，AD＝6 m为堤顶宽，坡面AB的坡度 i＝1∶2，坡面DC的坡度 i＝1∶1.5，堤高为4 m。求堤底BC的长及坡面AB的长（结果保留根号）。 （第6题图） 7．如图，小明站在楼顶C处观测对面的旗杆AB，测得旗杆顶端A的仰角为30°，测得旗杆底端B的俯角为45°。已知楼顶C到旗杆AB所在直线的水平距离为12 m，求旗杆AB的高度（结果保留根号）。 （第7题图） （三）C层：拓展探究（挑战） 8．探究：如图是某段河堤的横断面（梯形ABCD，AD∥BC，AD为堤顶）。原设计坡面AB的坡角为45°，堤高为5 m。为增强抗洪能力，现保持堤顶A的位置和堤高不变，将坡面AB的坡角改为30°，此时堤底由点B外移到点B′处。 （1）求原坡面AB的长； （2）求堤底外移的距离BB′（结果保留根号）。 （第8题图） 9．如图，一艘船在A处观测到灯塔P在船的北偏东60°方向上，船沿正东方向航行40海里到达B处，此时观测到灯塔P在船的北偏东30°方向上。已知以灯塔P为中心、30海里为半径的圆形区域是暗礁区。 （1）求∠APB的度数； （2）求灯塔P到航线AB的距离（结果保留根号）； （3）若船从B处继续沿正东方向航行，是否会进入暗礁区？请说明理由。 （第9题图） 七、答案与解析 1．答案：C。 解析：从低处观测高处的目标，视线与水平线所成的锐角叫做仰角，从高处观测低处的目标所成的锐角叫做俯角，所以A把仰角、俯角弄反了，错误；坡面与水平面所成的夹角叫做坡角，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，二者不是一回事，所以B错误；设坡角为α，由 得坡度就等于坡角的正切值，所以C正确；方位角“南偏东40°”表示目标方向线与正南方向线所成的锐角为40°，D把正南说成了正东，错误。故选C。 2．答案：（1）45°；（2）1∶3；（3）20。 解析：（1）设坡角为α，因为坡度 ，所以 ，故 α＝45°。 （2）坡度 ，写成比的形式为 。 （3）设塔高为h m。由 ，得 h＝20（m）。 3．答案：AB＝ m（约6.9 m）。 解析：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝12 m。 由 ，得 （m）。 答：旗杆AB的高度为 m（约6.9 m）。 4．答案：BC＝ m（约519.6 m），AC＝600 m。 解析：过点A作水平线AE（点E在点A的右侧）。因为AE∥BC，由两直线平行、内错角相等可得 。 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝300 m。 由 ，得 （m）≈519.6 m。 由 ，得 （m）。 答：无人机到目标C的水平距离BC为 m（约519.6 m），A、C两点之间的距离AC为600 m。 5．答案：灯塔C到航线AB的距离为 m 海里（约17.3海里）。 解析：在点A处，灯塔C在北偏东60°方向上，因为正北方向与正东方向互相垂直，所以 。 在点B处，灯塔C在北偏东30°方向上，此时BA的方向是正西方向，所以 。 在△ABC中，，所以 ，从而 （海里）。 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD就是灯塔C到航线AB的距离。 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，，所以 （海里）≈17.3海里。 答：灯塔C到航线AB的距离为 海里（约17.3海里）。 6．答案：BC＝20 m，AB＝ m。 解析：分别过点A、D作BC的垂线，垂足分别为点E、F，则 （m），且四边形AEFD是矩形，所以 （m）。 在Rt△ABE中，由坡面AB的坡度 ，得 （m）。 所以 （m）。 在Rt△DCF中，由坡面DC的坡度 ，得 （m）。 所以 （m）。 答：堤底BC的长为20 m，坡面AB的长为 m。 7．答案：AB＝(12＋) m（约18.9 m）。 解析：过点C作水平线（点C的右侧），设该水平线与直线AB相交于点E。 在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∠ECB＝45°（俯角），CE＝12 m，所以 （m）。 在Rt△CEA中，∠CEA＝90°，∠ECA＝30°（仰角），所以 （m）。 所以 （m）≈18.9 m。 答：旗杆AB的高度为 (12＋) m（约18.9 m）。 8．答案：（1）AB＝ m；（2）BB′＝5(3−1) m（约3.7 m）。 解析：过点A作AF⊥水平地面，垂足为F（点F在直线BB′上），则AF就是堤高，（m）。 （1）在Rt△ABF中，坡角∠ABF＝45°，所以 （m），（m）。 （2）坡角改为30°后，在Rt△AB′F中，（m）。 所以 （m）≈3.7 m。 答：原坡面AB的长为 m，堤底外移的距离BB′为 5(3−1) m（约3.7 m）。 9．答案：（1）∠APB＝30°；（2）灯塔P到航线AB的距离为 海里（约34.6海里）；（3）不会进入暗礁区。 解析：（1）在点A处，灯塔P在北偏东60°方向上，所以 。 在点B处，灯塔P在北偏东30°方向上，此时BA的方向是正西方向，所以 。 在△APB中，。 （2）由（1）知 ，所以 （海里）。 过点P作PF⊥直线AB，垂足为F，则PF就是灯塔P到航线AB的距离。 在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，，所以 （海里）≈34.6海里。 （3）不会进入暗礁区。理由：由（2）知，灯塔P到航线AB的距离为 海里。因为 ，即航线上的点到灯塔P的最近距离大于暗礁区的半径30海里，所以船从B处继续沿正东方向航行不会进入暗礁区。 答：∠APB＝30°，灯塔P到航线AB的距离为 海里（约34.6海里），船不会进入暗礁区。 学科网（北京）股份有限公司 $