河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十五章第八节）

冀教版九年级数学上册　第二十五章　图形的相似 25.8　位似图形　分层作业 一、作品基础信息 学段学科 初中数学 教材版本 冀教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写） 年级册次 九年级上册 所属章节 第二十五章　图形的相似 课题名称 25.8　位似图形 课时安排 1课时（新授课配套课时作业） 作业类型 课时分层作业（A层基础巩固＋B层能力提升＋C层拓展探究） 适用对象 九年级全体学生 建议用时 约22分钟（A层约7分钟，B层约9分钟，C层约6分钟） 设计者 　　　　　　　　　　（学校／姓名） 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的变化”领域要求学生了解图形的位似，知道位似图形与相似图形的关系，能利用位似将一个图形放大或缩小；在“图形与坐标”领域要求学生探索图形变化（平移、轴对称、旋转、位似）后顶点坐标的变化规律，体会数形结合。本作业把课标要求转化为“识位似—算位似—画位似—用位似”的递进任务，在作图与坐标运算中发展几何直观、空间观念和推理能力。 （二）教材分析 本节是冀教版九年级上册第二十五章“图形的相似”的最后一节（第8课时）。它上承25.1“比例线段”至25.7“相似三角形的应用”，是相似知识的深化与总结；同时又是“图形的变化”这一主线的重要组成部分，为后续学习锐角三角函数、解直角三角形以及投影与视图等内容作铺垫。 教材从放映幻灯片、放大镜放大图片等生活情境出发，让学生经历“作图—观察—发现—概括”的过程，抽象出位似图形、位似中心、位似比的概念，并归纳位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行或在同一直线上、对应点到位似中心的距离之比等于相似比），最后把位似与平面直角坐标系中顶点的坐标变化联系起来。本节的教学重点是在图形变换中建立位似的概念、抓住“位置关系”这一本质；难点是平面直角坐标系中以原点为位似中心时坐标的变化规律，尤其是坐标都乘负数时图形位于位似中心异侧的情形。 （三）学情分析 1．已有基础：学生已经系统学习了相似图形、相似多边形的定义与性质，会判断两个多边形是否相似，会计算相似比、周长比与面积比，也熟悉平面直角坐标系中点的坐标的意义。 2．主要困难：一是对“位似”的理解停留在“像不像”上，抓不住“每组对应点所在的直线都经过同一点”这一本质，容易把“相似”与“位似”混为一谈；二是作图时步骤不清，对位似中心、关键点、放缩比例三者处理不当；三是对坐标系中“坐标都乘k（k为负数）”时的位似关系理解不到位，容易漏掉图形位于位似中心异侧的情形；四是不会利用“对应点到位似中心的距离之比等于相似比”进行有效的计算与推理。 3．分层依据：基于上述差异，把作业设计为A（基础巩固）、B（能力提升）、C（拓展探究）三个层次。A层面向全体学生，重在“识概念、辨真伪、会计算”；B层面向大多数学生，重在“会作图、能说理、会应用”；C层面向学有余力的学生，重在“能证明、会探究、悟规律”。 （四）设计意图 1．控量提质，落实“双减”。全卷共9题，A层4题必做、B层3题选做、C层2题挑战，总量控制在22分钟以内，避免机械重复训练。 2．概念为本，突出本质。第1题用辨析题把“位似与相似的关系”前置，第5、6题让学生在动手中体会“对应点连线交于一点”这一本质属性。 3．数形结合，坐标表征。第3、9题把位似与平面直角坐标系联系起来，让学生在坐标的变化中体会位似变换，渗透数形结合思想。 4．联系实际，学以致用。第7题以投影仪投射画面为背景，让学生在真实情境中体会位似在放大与缩小中的应用价值。 5．分层评价，鼓励进阶。评价设置“基础达标—能力进阶—拓展挑战”三级量规，鼓励学生在完成本层任务后主动挑战更高层次，保护学习信心。 三、作业目标 （一）基础性目标（知识与技能） 1．理解位似图形、位似中心、位似比的概念，知道位似图形与相似图形的关系； 2．掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行或在同一直线上、对应点到位似中心的距离之比等于相似比），并能进行相关的计算。 （二）发展性目标（过程与方法） 3．经历“定、找、取、连”的作图过程，会用位似把一个图形放大或缩小； 4．知道平面直角坐标系中以原点为位似中心时对应点坐标的变化规律，能用坐标表示位似变换。 （三）素养性目标（核心素养） 5．在识别位似、证明平行的过程中发展几何直观、空间观念和推理能力； 6．在数形结合与实际应用中发展模型观念和应用意识，体会数学与现实世界的联系。 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 对应作业目标 核心素养 预估用时 1 A层（基础） 选择 目标1 几何直观、推理能力 1分钟 2 A层（基础） 填空 目标1、目标2 运算能力、推理能力 2分钟 3 A层（基础） 填空 目标2、目标4 运算能力、数感 2分钟 4 A层（基础） 解答 目标2 运算能力、推理能力 2分钟 5 B层（提升） 作图 目标2、目标3 几何直观、推理能力 3分钟 6 B层（提升） 作图 目标1、目标3 几何直观、空间观念 3分钟 7 B层（提升） 解答 目标2、目标6 运算能力、模型观念 3分钟 8 C层（拓展） 证明 目标2、目标5 推理能力、几何直观 3分钟 9 C层（拓展） 探究 目标3、目标4、目标6 几何直观、应用意识 3分钟 说明：A层为必做题；B层为选做题（至少完成2题）；C层为挑战题（自主选择）。 五、作业评价 （一）评价方式 1．学生自评：对照“七、答案与解析”用“★”标注自己的达成情况，并把典型错题整理到错题本； 2．同伴互评：同桌交换批改A层，重点检查“有没有找准对应点、比例式有没有写反”； 3．教师评价：A层全批全改，B层、C层以鼓励性评价和思路点评为主，对典型错误（尤其是“相似不一定位似”“坐标乘负数时的异侧情形”）进行集体讲评。 （二）评价量规 层级 评价要点 达标标准 达成等级（自评） A层 位似的概念辨析与基本计算 能说出位似与相似的区别与联系，会求位似比、周长比与面积比，A层4题中答对3题以上为达标 ★☆☆　★★☆　★★★ B层 位似作图与简单应用 能按“定、找、取、连”确定位似中心并作出位似图形，能说明作图依据，书写规范完整 ★☆☆　★★☆　★★★ C层 性质证明与坐标探究 能证明位似图形中对应边平行，能利用坐标变化规律解决位似问题 ★☆☆　★★☆　★★★ （三）评价反馈与补偿 1．对A层出错的学生，课堂上用“一找（找对应点）、二连（连对应点得位似中心）、三比（比距离得位似比）、四算（算周长或面积）”四步法再演示一遍，并配一组同类题巩固； 2．对B层完成较好的学生，鼓励其挑战C层，并用“你是怎样确定位似中心的”引导其表达思维过程； 3．对C层确有困难的学生，给出“坐标都乘k时，先想位似中心在哪里，再看图形在位似中心的同侧还是异侧”的提示，只提示方向不代替思考。 六、试题详情 （一）A层：基础巩固（必做） 1．关于位似图形，下列说法正确的是（　　） A．两个相似图形一定是位似图形 B．两个位似图形一定是相似图形 C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离相等 D．位似中心一定在图形的内部 2．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，它们的对应顶点连线都经过位似中心O，且 OA∶OA′＝3∶2。若△ABC的周长为15 cm，则△A′B′C′的周长为________cm。 （第2题图） 3．在平面直角坐标系中，把△ABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘3，得到△A′B′C′。若△ABC的周长为8 cm，则△A′B′C′的周长为________cm，△A′B′C′的面积是△ABC面积的________倍。 4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，位似中心为点O，点A与A′、B与B′是对应点。已知 OA＝2.4 cm，OA′＝3.6 cm，AB＝4 cm，求A′B′的长。 （第4题图） （二）B层：能力提升（选做） 5．如图，点O是△ABC内部的一点。 （1）请以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为1∶2（即把△ABC缩小为原来的一半），并写出作图步骤； （2）若△ABC的面积为24 cm²，求△A′B′C′的面积。 （第5题图） 6．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A与A′、B与B′、C与C′分别是对应点（对应点的连线已略去）。 （1）请你在图中确定位似中心的位置，并简要说明确定的方法； （2）若 OA∶OA′＝1∶2，求△ABC与△A′B′C′的相似比。 （第6题图） 7．用投影仪把一张幻灯片上的三角形图形投射到屏幕上，幻灯片上的三角形与屏幕上的三角形是位似图形（可把光源看作位似中心）。 （1）若幻灯片上三角形的一条边长为4 cm，屏幕上的对应边长为20 cm，求这两个三角形的位似比； （2）若幻灯片上三角形的面积为12 cm²，求屏幕上三角形的面积。 （第7题图） （三）C层：拓展探究（挑战） 8．如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A与A′、B与B′、C与C′是对应点，位似比为 OA′∶OA＝k（k＞0）。 （1）求证：AB∥A′B′； （2）若 k＝2，△ABC的面积为5 cm²，求△A′B′C′的面积。 （第8题图） 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(1,1)、B(3,1)、C(2,3)。 （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2，并写出点A1、B1、C1的坐标； （2）求△A1B1C1与△ABC的周长比和面积比； （3）把△ABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘−2，得到△A2B2C2，判断△A2B2C2与△ABC是否位似。若是，指出位似中心，并说明△A2B2C2与△ABC在位似中心的位置关系。 （第9题图） 七、答案与解析 1．答案：B。 解析：位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形——只有当两个相似图形的每组对应点所在的直线都相交于一点时，它们才是位似图形，故B正确、A错误；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比），只有当位似比为1时对应的距离才相等，故C错误；位似中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部或图形上，故D错误。故选B。 2．答案：10。 解析：因为△ABC与△A′B′C′是位似图形，所以△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即相似比 。 设△A′B′C′的周长为 x cm。相似三角形的周长比等于相似比，所以 ，解得 x＝10。故△A′B′C′的周长为10 cm。 3．答案：24；9。 解析：把△ABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘3，所得△A′B′C′与△ABC以原点为位似中心位似，位似比为3，所以它们的相似比为3。 因此周长比等于3，面积比等于 。由△ABC的周长为8 cm得，△A′B′C′的周长＝8×3＝24（cm），△A′B′C′的面积是△ABC面积的9倍。 4．答案：6 cm。 解析：因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，位似中心为点O，所以它们相似，且相似比（位似比）等于对应点到位似中心的距离之比，即 。 所以 ，即 ，解得 A′B′＝6。故A′B′的长为6 cm。 5．答案：（1）见解析；（2）6 cm²。 解析：（1）作图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别在线段OA、OB、OC上取点A′、B′、C′，使 ；③顺次连接A′、B′、C′，所得△A′B′C′就是所求作的三角形（它与△ABC关于点O位似，位似比为1∶2）。 （2）因为△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1∶2，所以它们相似，相似比为1∶2，面积比为 。因为 S△ABC＝24 cm²，所以 S△A′B′C′＝24×＝6（cm²）。 6．答案：（1）见解析；（2）1∶2。 解析：（1）连接AA′、BB′并延长，两条直线的交点就是位似中心O（也可连接CC′，三条直线交于同一点）。 （2）因为点A、A′是位似图形上的一对对应点，所以线段OA与OA′的比等于位似比（相似比）。由 得，△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2。 7．答案：（1）1∶5；（2）300 cm²。 解析：（1）幻灯片上的三角形与屏幕上的三角形是位似图形，且幻灯片上的三角形较小，对应边的比等于位似比，所以位似比 。 （2）两个位似三角形也是相似三角形，相似比为1∶5，所以面积比为 。设屏幕上三角形的面积为 S cm²，则 ，解得 S＝300。故屏幕上三角形的面积为300 cm²。 8．答案：（1）见解析；（2）20 cm²。 （1）证明：因为△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似比为 ，所以点A、A′、O在同一条直线上，点B、B′、O在同一条直线上，且 。 又 ∠A′OB′＝∠AOB（公共角），所以 △A′OB′∽△AOB，所以 ∠OA′B′＝∠OAB，所以 AB∥A′B′（同位角相等，两直线平行）。 （2）解：因为△ABC与△A′B′C′位似，位似比为 ，所以它们相似，相似比为2，面积比为 。所以 S△A′B′C′＝5×4＝20（cm²）。 9．答案：（1）A1(2,2)、B1(6,2)、C1(4,6)；（2）周长比2∶1，面积比4∶1；（3）是位似图形，位似中心为原点O，△A2B2C2与△ABC分别在原点O的两侧。 解析：（1）因为△A1B1C1与△ABC以原点O为位似中心，位似比为2，且二者在原点同侧，所以把△ABC各顶点的横、纵坐标都乘2，即得△A1B1C1的顶点坐标：A1(2,2)、B1(6,2)、C1(4,6)。顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1即为所求。 （2）因为相似比（位似比）为2，所以周长比为2∶1，面积比为 。 （3）把△ABC各顶点的横、纵坐标都乘−2，得 A2(−2,−2)、B2(−6,−2)、C2(−4,−6)。△A2B2C2与△ABC仍是位似图形，位似中心为原点O，位似比为2，且△A2B2C2与△ABC分别位于原点O的两侧。 学科网（北京）股份有限公司 $