26.4 解直角三角形的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——坡角、坡度问题”，承接三角函数基础知识，通过高铁路基、地下车库斜坡等现实情境导入，以“练基础-练提升-练素养”为学习支架，引导学生从实际问题中抽象数学模型。 其亮点在于融入科技发展、生产生活等新情境，如智能送餐机器人高度计算、自动扶梯设计等数学建模题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理（如坡度与三角函数转化）、用数学语言表达（建立直角三角形模型）的核心素养。分层练习帮助学生逐步提升应用能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

2 第二十六章　解直角三角形 26.4　解直角三角形的应用 第2课时　坡角、坡度问题 3 练基础 练提升 目 录 练素养 4 练基础 知识点1　与坡角、坡度有关的问题 1.（唐山乐亭期中）如图，一辆小车沿着坡度为1∶的斜坡向上行驶了100 m，则此时该小车上升的高度为________m. 50 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 5 2. [原创题 科技发展] 有一种速度，叫中国速度！有一种制造，叫中国制造！有一种高铁，叫中国高铁！中国高速铁路运营里程稳居世界第一. 如图是某在建高铁的路基横断面（梯形ABCD），DC⫽AB，BC的长为8 m，坡角α为30°，坡角β为45°，则AD的长为________m. （结果保留根号） 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 6 3. （衡水故城期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库进行了改进. 如图，该小区原地下车库入口处的斜坡AC长为13 m，它的坡度为1∶2.4，AB⊥BC，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC=13°（点B，C，D在同一直线上）. （1）求这个车库的高度AB； （2）求斜坡改进后的起点D与原起点C之间的距离（结果精确到0.1 m）. （参考数据：sin 13°≈0.225，cos 13°≈0.974，tan 13°≈0.231） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 7 解：（1）由题意，知∠ABC=90°，斜坡AC的坡度为1∶2.4，∴AB∶BC=1∶2.4=5∶12. 设AB=5x m，则BC=12x m. 在Rt△ABC中，AC=13 m，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， 即（5x）2+（12x）2 =132，解得x=1（负值舍去）. ∴AB=5 m. 即这个车库的高度AB为5 m. （2）由（1），得BC=12 m. ∵在Rt△ABD中，tan ∠ADC= ，∠ADC=13°，AB=5 m， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 8 ∴DB= =， ∴DC=DB-BC≈ -12≈9.6（m）， 即斜坡改进后的起点D与原起点C之间的距离约为9.6 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 9 知识点2　坡度与仰角、俯角相结合的问题 4. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150 m的C处有一山坡，斜坡CD的坡度为，坡顶D到BC的垂直距离DE=50 m（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°， 则建筑物AB的高度约为________m.（结果精确到 0.1 m. 参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64， tan 50°≈1.19） 85.7 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 10 5. 如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为1∶的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°. 已知DC=6 m，DE=4 m. （1）求点E到地面DC的距离； （2）求旗子的宽度AB（结果保留根号）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解：（1）如图，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于点F. ∵斜坡DE的坡度为1∶， ∴==. 在Rt△EFD中，tan ∠EDF==， ∴∠EDF=30°. ∵DE=4 m，∴EF=DE=2 m， 即点E到地面DC的距离为2 m. （2）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为点G， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 则EF=GC=2 m，EG=CF. ∵=，∴FD=EF=2 m. ∵DC=6 m，∴EG=FC=FD+DC=（2+6）m. 在Rt△AEG中，∠AEG=45°，∴AG=EG=（2+6）m. 在Rt△BDC中，∠BDC=60°，∴BC=DC·tan 60°=6 m. ∴AB=AG+GC-BC=2+6+2-6=（8-4）m， 即旗子的宽度AB为（8-4）m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 13 6. （邢台期末）如图，为测量铁塔AB的高度，冬冬在坡度为5∶12的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为45°，斜坡CD的长为26 m，点C到塔底B的水平距离为9 m，图中点A，B，C，D在同一平面内，则铁塔AB的高度为 （　　） A. 23 m B. 24 m C. 26 m D. 32 m A 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 14 7. （石家庄桥西期末）有一处斜坡如图所示，在点O处分为两段，其中MO=NO= 8 m，且MO段的坡度为1∶1，NO段的坡度为１∶，则∠MON的度数为________. 若将两段斜坡建造成台阶，且每级台阶的高度不超过15 cm，则这一处斜坡最少可以建造台阶________级.（参考数据：≈1.41，≈1.73） 165° 65 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 15 解析：如图，过点O作OA⊥MP，OB⊥NP，垂足分别为A，B. ∵MO段的坡度为1∶1， ∴∠AMO=45°，∴∠MOA=45°. ∵NO段的坡度为1∶，∴∠NOB=30°， ∴∠MON=∠MOA+∠AOB+∠NOB=45°+90°+30°=165°. 在Rt△MOA中，∵∠MOA=45°，MO=8 m， ∴MA=OA=MO·sin 45°=8× ≈5.64（m）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 16 ∵5.64 m=564 cm，564÷15=37.6， ∴MO段最少可以建造台阶38级. 在Rt△ONB中，∵∠NOB=30°，NO=8 m，∴BN=NO=4 m. ∵4 m=400 cm，400÷15=26， ∴NO段最少可以建造台阶27级. ∵38+27=65（级），∴这一处斜坡最少可以建造台阶65级. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 17 8. [新情境 生产生活]某大型购物中心准备在底层与B1层之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示. 已知底层与B1层平行，层高AD为9 m，A，B之间的距离为6 m，电梯AC的坡角∠ACD=20°. （1）身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘自动扶梯，在B处会不会碰到头部？请说明理由. （2）若采取中段平台设计（如图中虚线）， 且平台EF⫽DC，AE段和FC段的坡度为1∶2， 求平台EF的长度. （参考数据：sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 18 解：（1）在B处不会碰到头部. 理由如下： 如图，连接AB，过点B作BG⊥AB，垂足为B，交AC于点G. ∵AB⫽CD，∴∠BAG=∠ACD=20°. ∵在Rt△ABG中，tan ∠BAG=，AB=6 m， ∴BG=AB·tan ∠BAG=6×tan 20°≈2.16（m）>1.9 m， ∴在B处不会碰到头部. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 19 （2）如图，过点F作FM⊥CD，垂足为M，过点E作EN⊥AD，垂足为N. 在Rt△ACD中，tan ∠ACD=，AD=9 m， ∴CD= =≈25（m）. 设FM=x m，则AN=（9-x）m. ∵AE段和FC段的坡度为1∶2， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 20 ∴CM=2x m，NE=2（9-x）=（18-2x）m， ∴CM+NE=2x+18-2x=18 m， ∴EF=CD-（CM+NE）=25-18=7（m）. 即平台EF的长度为7 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 21 9. [新趋势 数学建模题]图1是一款智能送餐机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20 cm，上部显示屏EF的长为45 cm，侧面支架CE的长为150 cm，∠ECD=80°，∠FEC=130°， 则该机器人的最高点F距地面AB的高度约 为________cm. （参考数据：sin 80°≈0.98， cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67） 189.5 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 22 解析：如图，过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足分别为 H，N，过点 E 作EM⊥FN，垂足为 M，则四边形 EMNH 为矩形，MN=EH，EM=HN. 在 Rt△EHC 中，EH=CE·sin ∠ECD=150×sin 80°≈147（cm）. ∵∠EHC=90°，∠ECD=80°，∴∠CEH=10°，∴∠FEM=∠FEC-∠MEH-∠CEH=130°-90°-10°=30°，∴FM= EF=×45=22.5（cm），∴点F到CD的高度为MN+FM=EH+FM≈169.5 cm. ∵矩形底座 ABCD 的高 BC 为20 cm， ∴点F到地面AB的高度约为169.5+20=189.5（cm）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 23 10. [新趋势 数学建模题]图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图. 已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°，长为1.8 m的真空管AB的坡度为3∶4，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.4 m. （1）求真空管上端B到水平线AD的距离； （2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度. （结果精确到0.01 m. 参考数据：sin 22°≈0.375， cos 22°≈0.927，tan 22°≈0.404） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 24 解：（1）如图，过点B作BF⊥AD，垂足为F. 在Rt△ABF中，BF∶AF=3∶4，AB=1.8 m， 设BF=3x m，则AF=4x m， ∴（3x）2+（4x）2=1.82，解得x=0.36（负值舍去）， ∴BF=3×0.36=1.08（m）. 即真空管上端B到水平线AD的距离为1.08 m. （2）由（1）可知，AF=4x=4×0.36=1.44（m）. ∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC⫽FD， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 25 ∴四边形BFDC是矩形，∴BF=CD，BC=FD. ∵CE=0.4 m，∴DE=CD-CE=1.08-0.4=0.68（m）. 在Rt△EAD中，tan ∠EAD=，∠EAD=22°， 则AD= =≈≈1.683（m）， ∴BC=DF=AD-AF≈1.683-1.44≈0.24（m）. 即安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.24 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 26 27 $