26.4 解直角三角形的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形应用中坡度、坡角的实际问题，通过回顾直角三角形三角函数关系导入，搭建旧知到新知的学习支架，衔接前后知识脉络。 以铁路路基、水库大坝等实际情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实，通过添加辅助线转化图形培养数学思维，思维导图总结知识结构提升数学语言表达，助力学生建立模型意识，为教师提供清晰教学流程与丰富实例，提升教学效率。

26.4 解直角三角形的应用 课题 第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P139-141 教学目标 1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系. 2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题. 3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力. 4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系． 教学重难点 重点：坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，坡度与坡面陡峭程度间的关系. 难点：解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾旧知，导入新课 直角三角形的边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==. 回顾复习三角函数，为学习新课打下基础. 2.实践探究，学习新知 【探究】 教师讲解：如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫作坡角.显然，tan α＝。 注意： 坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.坡角α越大，tan α越大，坡度i越大. 【课本例题】 例2 如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD.其中，BC∥AD，∠A=∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角.（结果精确到1′） 师生活动：教师展示上面的问题，学生独立思考后小组内进行合作探究和交流，在学生解决问题的过程中，教师可通过以下问题进行引导： (1)进行和坡度有关的计算，常作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求坡角. (2)根据坡度概念及梯形的高，可以求出AE，DF的长. (3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系，求出EF的长，从而求出底AD的长. (4)在Rt△ABE中，由坡角和坡度之间的关系可求出坡角. 解:如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F. 在四边形BEFC中， ∵BC∥AD，∠AEB=∠DFC=90°， ∴四边形BEFC为矩形. ∴BC=EF，BE=CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∵∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，BE=CF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴AE=DF. 在Rt△ABE中，，BE=4， ∴ α≈38°39'，AE=5. ∴ AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20（m）. 即路基下底的宽为20 m，坡角约为38°39'. 【归纳总结】 前边我们已经整理了用解直角三角形的知识解决实际问题的解题一般过程，那在解决与坡度、坡角有关的实际问题时还应注意什么？ 解决与坡度、坡角有关的实际问题： 利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决. 直接给出坡度、坡角的定义，为下面解决相关问题做铺垫. 总结出坡度、坡角的注意事项，有利于后续的解题. 通过分析典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关坡度、坡角的实际问题，提高学生解决问题的能力. 总结概括如何解决与坡度、坡角有关的实际问题，培养并提高学生的总结概括能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 与坡度、坡角有关的实际问题 练习1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1 m). 解：（1）斜坡CD的坡度i＝tan α＝1∶2.5＝0.4， 由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°. （2）分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意可知BE＝CF＝23 m，EF＝BC＝6 m. 在Rt△ABE中，AE＝3BE＝69 m. 在Rt△DCF中，同理可得FD＝2.5CF＝57.5 m， ∴AD＝AE+EF+FD＝69+6+57.5＝132.5(m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 AB＝≈72.7(m)， 故坝底AD的长度为132.5 m，斜坡AB的长度约为72.7 m. 变式训练1  如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口宽AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口宽BC的值(精确到1 mm) 解：如下图，过点D作垂线，交BC于F点， 垂足为F点，则有 AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm. 在Rt△ABE中， BE= = ≈49.01(mm)， ∴BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278(mm). 答：燕尾槽的里口宽为278 mm. 巩固解决与坡度、坡角有关的实际问题，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度为(　　) A.30° B.45° C.1∶1 D.1∶ 答案：C 2.小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了(　　) A. m　 　　 B.500 m　 C. m　 　　 D.m 答案：A 3.如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡比i＝1∶1.5，则AB＝ m. 答案： 4.如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米） 解：如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F. 由题意可知DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）. 在Rt△ADE中，∵ i＝＝tan 32°， ∴ AE＝（米）. 同理可得，在Rt△BCF中， （米）， ∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（米）. 答：路基下底的宽约为27.1米 5.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图所示的坡路进行改造.如图所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶.将斜坡AB的高度AE降低20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.（结果保留根号） 改造前 改造后 解：∵ ∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度为1∶， ∴ tan∠ABE＝，∴ ∠ABE＝30°， ∴ AE＝AB＝100米. ∵ AC＝20米，∴ CE＝80米. ∵ ∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1∶4， ∴ ，即，解得ED＝320米， ∴ CD＝＝(米). 答：斜坡CD的长是米. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 6.布置作业 课本P120习题A组第2题，习题B组第2题 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 26.4　解直角三角形的应用 第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题 1.坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比. 2.坡角：坡面与水平面所成的夹角. 3.坡度与坡角之间的关系：. 有关坡度与坡角的基本图形 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $