精品解析：河南省平顶山市九师联盟2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题下上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约25%）+选择性必修第一册第一章（约75%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设该正三棱台的高为h，则， 且上底面面积，下底面面积， 所以该正三棱台的体积. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为: . 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可. 【详解】，，，得不到， 因为，可能相交，只要，和，的交线平行即可得到，； 反过来，若，，，则，和没有公共点， 所以，，即能得到，， 故“，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 在空间直角坐标系中，已知，点，点，若平面经过点，且为平面的法向量，是平面内的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，且在平面内， 又为平面的一个法向量， 所以， 整理得：. 8. 已知一组样本数据共有8个数，其平均数为5，方差为16，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的样本数据，且新的样本数据的平均数为6，则新的样本数据的方差最小值为（ ） A. 16.2 B. 16.4 C. 16.6 D. 16.8 【答案】D 【解析】 【详解】设增加的数为x，y，原来的8个数分别为， 则，，所以， 又因为，即， 新的样本数据的方差为 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以新的样本数据方差的最小值为16.8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选.对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若空间向量，，满足，，则 B. 若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 C. 若空间四个点，，，满足，则，，三点共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项：当时，零向量与任意向量都平行，此时即使满足、，和也可能不共线，错误； 选项：由，可知与共线，又是不重合的直线，因此，正确； 选项：对变形可得，即，说明与共线且有公共点， 因此、、三点共线，正确； 选项：已知是空间的一个基底，故不共面.假设共面， 则存在实数满足，整理得， 由不共面可得，该方程组无解，说明三个向量不共面，因此也是空间的一个基底，正确. 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、，列举出样本空间以及事件、，结合古典概型的概率公式可判断AB选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、， 则样本空间为 ， 事件， ， 对于AB选项，由古典概型的概率公式可得，，A对，B对； 对于C选项，，故与不互斥，C错； 对于D选项，，故与不独立，D错. 11. 在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. C. 存在点，使得平面 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，结合空间向量运算、外接球性质、线面垂直判定、点到直线距离公式逐一验证选项. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设（），则， 选项A：正方体外接球直径为体对角线长，半径，表面积，正确. 选项B：，，，与无关，恒成立，正确. 选项C：平面的法向量可取，若平面，则与平行， 需满足，显然，不存在这样的，错误. 选项D：直线方向向量，， 点到直线的距离， 当时，取最小值，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 13. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 14. 在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，由点到点的距离与到平面的距离相等，得到与的关系式，再用坐标表示，代入关系式后配方求最小值. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 由知在线段上，且，所以，于是. 因为为侧面内的一点，所以设，其中，. 点到点的距离为，又平面即为平面，所以点到平面的距离为. 由题意得，因为，两边平方并整理得，即. 于是，所以. 代入，得. 因为，所以当时，取得最小值，此时，满足. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. （2）根据向量垂直得出的值，再根据向量数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 根据题意得：，由，设， 则，得，又，得，再由，得，故. 【小问2详解】 由，得，故， 即，则，， 所以. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和正弦公式、三角形内角关系化简等式，求解角. （2）先用三角形面积公式求出，再借助余弦定理，整体代换求出，进而算出周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，，， ， ， 又，所以，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，得， 由余弦定理得，即， 所以， 所以， 所以的周长为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 【答案】（1）由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，可得，又因为，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 因为，可得是的中点，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 解：设，其中， 因为，可得， 所以， 又因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成的角为，可得， 即，解得， 又因为，所以. 19. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. （1）求证：； （2）若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【答案】（1）取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合，即可证得； （2）分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 【小问3详解】 因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题下上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约25%）+选择性必修第一册第一章（约75%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在空间直角坐标系中，已知，点，点，若平面经过点，且为平面的法向量，是平面内的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组样本数据共有8个数，其平均数为5，方差为16，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的样本数据，且新的样本数据的平均数为6，则新的样本数据的方差最小值为（ ） A. 16.2 B. 16.4 C. 16.6 D. 16.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选.对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若空间向量，，满足，，则 B. 若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 C. 若空间四个点，，，满足，则，，三点共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 11. 在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. C. 存在点，使得平面 D. 点到直线距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________. 13. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 14. 在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 19. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. （1）求证：； （2）若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $