河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上期9月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期09月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C D D B A A BC BD BD 12．或 13．/ 14． 15．(1)或. (2) 【分析】(1)由题意知，再结合向量模的运算公式解方程即可； (2)由题意知且，不共线，再结合向量共线的坐标关系，数量积运算的坐标表示求解即可。 【详解】（1）解：因为向量， 所以， 所以=，即，解得：或. （2）解：因为向量，夹角为钝角， 所以且，不共线， 又因为，解得， 当，反向共线时，有，解得 ， 所以且，不共线时，的取值范围为： 综上，向量，夹角为钝角时，的取值范围为 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【详解】（1）因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出；再由频率直方图中平均数的求法，即可求解； （2）根据条件，求出样本空间和基本事件，利用古典概率公式，即可求解； （3）根据条件，利用互斥事件的概率公式和相互独立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得， 估计高一年级初赛成绩的平均数为. （2）组与组的频率比为，因此抽样人数分别为人与人， 设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组， 因此样本空间，， 记“有名或名学生成绩在”为事件，，， 因此根据古典概型的计算公式． （3）设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利， 因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利， 故，， 甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢． 即为事件， 因此 故． 19．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若复数，为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 3．已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（     ） A．，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B．，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C．，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，，，的极差等于，，，，的极差 4．一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（    ） A．恰有一个红球的概率为 B．两个球都是红球的概率为 C．“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件 D．“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件 5．已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（ ） A．0 B． C．2 D． 6．如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 8．已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 10．已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 11．在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．过点的平面截长方体所得的截面周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 13．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 14．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量 (1)若=，求的取值； (2)若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 16．（15分）在中，内角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 17．（15分）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18．（17分）南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 19．（17分）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $