微专题 “2.3 一次式”的理解与拓展 讲义 --2026--2027学年沪教版（五四制）六年级上学期数学

【解析版】 微专题 “2.3 一次式”的理解与拓展 【沪教版】六年级数学上“2.3 一次式”是：整式的基础，指含有字母的代数式中，字母的最高次数为 1，不含字母相乘、字母作分母的式子，形如：，（，、为常数）；单独的常数项属于零次式，不是一次式；学习时要分清项、系数、常数项，例如：，一次项是：，一次项系数为：，常数项是：； 核心要点是区分一次式与非一次式：像：，都不是一次式；同时掌握一次式的化简，利用合并同类项、去括号法则对一次式进行运算，为后续一元一次方程铺垫。 拓展方面，可结合实际问题列一次式，用字母表示数量关系，如：行程、价格问题。也能对比一次式与一元一次方程：一次式是代数式，不含等号；一元一次方程带有等号，是等式；理解一次式本质是线性关系，一个字母变化，式子的值随之均匀变化，初步感受变量思想，为初中一次函数的学习埋下伏笔。 第2章 简单的代数式 2.3 一次式 1、一次式的概念 （1）一次式： 由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式；（如：，，） （2）一次项、常数项 一次项中， 、只含有一个字母，且字母的指数是，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项；一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数；例如：的系数是，的系数是； 【说明】1、一次项或常数项是包括它们前面的符号的； 2、如果一个一次项只有字母因数，它的一次项系数是或； 3、单独的一个字母是一次式，但单独的一个常数项不是一次式，如字母是一次式，不是一次式； 4、一次式的各项的分母中不含字母，是常数，也是常数。 2、一次式的同类项 （1）一次式的同类项 在一次式中，字母相同相且同字母的指数也相同的项叫作一次式的同类项；所有常数项都是同类项； （2）合并同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项； 合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项 直接相加； 【说明】1、同类项与一次项的系数无关；2、同类项至少为两项。 3、一次式的加减 （1）几个一次式相加减 几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接，然后去括号，再合并同类项； （2）合并一次式的同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项；合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加； 【说明】1、一次式加减的实质就是去括号，合并同类项；2、一次式加减的结果要最简，即不能有同类项； 4、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加；在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变； 【说明】运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号； 题型1、有关一次式的判定 例1、下列代数式是一次式的是（     ） A．8 B． C． D． 【提示】本题考查了单项式及多项式的次数，根据单项式的次数是字母指数的和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案； 【答案】B； 【解析】由：A、8的次数是0，不符合题意； B、的次数是1，符合题意； C、的次数是2，不符合题意； D、不是整式，次数不为1，不符合题意； 故选：B． 【说明】本题考查一次式的判别； 例2、代数式中，是一次式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【提示】熟练掌握一次式是代数式中各变量的最高次数为1的整式是解题的关键．根据一次式的定义，即代数式中各变量的最高次数为1的整式，对每个代数式的次数进行逐一判断； 【答案】B； 【解析】由： 是一次式，不是一次式，是一次式，不是一次式，是一次式，是一次式， 综上，一次式共有4个， 故选：B； 【说明】本题主要考查了一次式的定义； 题型2、确定一次式的项与系数 例3、一次式的一次项系数与常数项的和是________． 【提示】题目主要考查多项式的化简，将给定式子化简为一般形式，识别一次项系数和常数项，并计算它们的和即可； 【答案】； 【解析】由：，其中一次项系数为，常数项为 ， 所以，它们的和为 ， 故答案为 ； 【说明】本题考查了一次式的项、系数或常数项等概念； 例4、已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 【提示】本题考查多项式的项，项的系数，代数式求值，以及有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简一次式，得到与的值，再根据题意列式计算求解，即可解题； 【答案】； 【解析】由： ， 因为，一次式的一次项的系数为，常数项为， 所以，，， 则与的差的立方的计算结果为， 故答案为：； 【说明】本题综合考查了有理数的乘方运算、已知字母的值，求代数式的值、一次式的项、系数或常数项； 题型3、一次式同类项的判断 例5、一次式中是一次同类项是 【提示】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数也相同．据此求解即可； 【答案】和； 【解析】由：一次式中是一次同类项是和． 故答案为：和． 【说明】本题考查了同类项的判断； 例6、指出一次式中的同类项． 【提示】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题关键．根据同类项的定义判断是否是同类项即可； 【答案】和是同类项，和是同类项，和5是同类项； 【解析】解：由题意知，中， 和是同类项，和是同类项，和5是同类项； 【说明】本题考查了同类项的判断； 题型4、由已知一次式求参数的值 例7、式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（     ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【提示】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案； 【答案】B； 【解析】因为，多项式是关于x的一次式， 所以，， 所以，， 所以，a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【说明】本题考查了一次式系数、指数中字母求值、一次式的项、系数或常数项； 例8、若是关于x的一次式，则的值是______． 【提示】根据题意得出，，求出a和b的值，再代入 求值即可．本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式； 【答案】1； 【解析】因为，是关于x的一次式， 所以，，， 所以，，， 所以， ． 故答案为：1． 【说明】本题综合考查了一次式系数、指数中字母求值、有理数的乘方运算、已知字母的值，求代数式的值； 题型5、已知同类项求指数中字母或代数式的值 例9、若 与可以合并成一项，则的值是______． 【提示】根据同类项定义可得，然后可得的值，进而可得的值； 【答案】8； 【解析】因为， 与可以合并成一项， 所以， 与是同类项， 所以，， 解得， 则． 【说明】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值； 例10、（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【提示】单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【答案】（1）4；（2）； 【解析】（1）因为单项式与次数相同， 所以， 所以； （2）因为，单项式与单项式是同类项， 所以，，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 【说明】本题考查单项式的相关概念和同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念； 题型6、一次式的去括号与添括号 例11、去括号后的结果是 ． 【提示】去括号法则：括号前是“”,把括号和它前面的“”去掉后,原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”把括号和它前面的“”去掉后,原括号里各项的符号都要改变； 【答案】； 【解析】由： 故答案为：； 【说明】本题考查了整式的加减—去括号，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键； 例12、阅读下面材料： 计算： 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度； 根据阅读材料提供的方法，计算： 【提示】根据阅读材料可知，第一项加最后一项=第二项加倒数第二项=第三项加倒数第三项，以此类推，所有项的和等于第一项加最后一项乘以项数再除以2，由此规律，列式计算即可； 【答案】； 【解析】 ． 故答案为； 【说明】本题考查了整式加减的应用、合并同类项、去括号、添括号；解题关键在于根据材料发现整式各项之间数字的规律，根据规律合并同类项； 题型7、合并一次式的同类项 例13、合并同类项：__________． 【答案】； 【解析】解：原式 ． 【说明】本题考查了合并一次同类项； 例14、下列计算正确的是（    ） A．3xy﹣2yx＝xy B．5y﹣3y＝2 C．7a+a＝7a2 D．3a+2b＝5ab 【提示】根据合并同类项法则：系数相加字母和字母的指数不变即可作出判断； 【答案】A； 【解析】A.3xy﹣2yx＝xy，计算正确， B.5y﹣3y＝2y，故该选项计算错误， C.7a+a＝8a，故该选项计算错误， D.3a+2b不是同类项，不能合并，故该选项计算错误， 故选A. 【说明】本题考查合并同类项，关键是熟练掌握并同类项法则：系数相加字母和字母的指数不变. 题型8、数与一次式相乘 例15、化简的结果是________． 【答案】； 【解析】原式． 【说明】本题考查了数与一次项相乘与整式的加减运算； 例16、化简一次式：． 【提示】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案； 【答案】； 【解析】由： ． 【说明】本题考查了数与一次项相乘与整式的加减运算； 题型9、一次式的化简求值 例17、当时，求一次式的值． 【提示】本题考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项将整式化简，最后将x的值代入进行计算即可； 【答案】，； 【解析】由： ； 当时，原式． 【说明】本题考查了一次项的化简求值； 例18、已知、、都是一次式，且，，． （1）化简； （2）求出当，时的值． 【提示】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）解：∵，， 所以，． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 【说明】本题综合考查了一次式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、一次式的加减中的化简求值； 题型10、一次式的综合运算 例19、先化简，再求值：，其中x、y符合． 【提示】本题考查整式的加减-化简求值，绝对值的非负性，将原式去括号，合并同类项，再由绝对值的非负性求得x，y的值后代入化简结果中计算即可； 【答案】； 【解析】由：原式 =； 因为，， 所以，，， 解得：，， 原式． 【说明】本题综合考查了一次式的加减中的化简求值、绝对值非负性； 例20、已知，，按要求完成下列各题： （1）若的结果是一个一次多项式，求a的值； （2）当时，先化简再代入求值，其中. 【提示】（1）直接合并同类项，再利用的项的系数为零，进而得出答案； （2）直接去括号，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案； 【答案】（1）；（2），17； 【解析】（1）∵，， 所以， =， 当的结果中不存在含x的一次项时， 则， 解得：； （2）当时， = =， =， 当时， 原式= = =17． 【说明】本题综合考查了一次式的加减运算；正确合并同类项是解题关键。 题型11、根据要求写一次式 例21、如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． 【提示】本题考查了整式加减混合运算，设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答； 【答案】； 【解析】由：设这个一次式是， 由题意得，， ， 所以，这个一次式是． 故答案为：． 【说明】本题主要考查了一次式的加减运算； 例22、现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 【提示】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案； 【答案】和（答案不唯一） 【解析】设两个一次式分别是， 所以，， 所以，， 所以，这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【说明】本题考查了相反数的定义、写出满足某些特征的一次式； 题型12、有关一次式的实际应用题 例23、某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有人，第二组人数比第一组人数的少5，第三组人数比第一、二组人数的和少15，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34. （1）用含的式子表示第二、三、四组的人数，把答案填在下表相应的位置； 第一组 第二组 第三组 第四组 （2）求七年级一班的总人数（用含的式子表示）； （3）的值能否等于6，为什么？ 【提示】（1）根据题意可用含x的代数式表示第二、三、四组的人数； （2）将每组人数全部相加即可求出七年级一班的总人数； （3）分别把x＝6代入计算，根据整数的性质即可求解； 【答案】（1）见详解（2）3x＋9；（3）x不能等于6，理由见详解． 【解析】解：（1）填表如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 34-2x （2）x＋＋＋34−2x＝3x＋9， 所以，七年级一班总人数为3x＋9； （3）当x＝6时，＝15−20＝−5， ，−5是负数， 所以，x不能等于6． 【说明】本题综合考查了列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项；熟练掌握运算法则是解本题的关键； 例24、有三个关于的一次式：、（为一次项的系数）、（为一次项的系数、为常数项）； （1）小海在研究一次式时发现，当的取值每增加1时，一次式的值就增加4．所以他得到这样一个结论：“当的取值每增加1时，一次式增加的值只与一次项系数4有关，和常数项2无关”．你同意小海的观点吗？请说明理由； （2）对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2，那么的值是_____（直接写出答案）； （3）已知当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍；且当的值为0时，一次式的值与的值相等．那么的值是_____（直接写出答案）． 【提示】本题主要考查了代数式求值和整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）设是关于x的一次式，其中为一次项的系数、为常数项，可求出，据此可得到结论； （2）根据（1）的结论可得当的取值每增加1时，一次式的值就增加，再结合已知条件即可得到答案； （3）根据题意可得当的取值每增加1时，一次式增加的值为m，一次式增加的值为4，结合题意求出m、n的值即可得到答案； 【答案】（1）同意小海的观点；（2）；（3）9； 【解析】（1）同意小海的观点，理由如下： 设是关于x的一次式，其中为一次项的系数、为常数项， 所以， ， 所以，对于一次式，当x增加1时，的值增加a，与常数项b无关， 所以，当的取值每增加1时，一次式增加的值为4，只与一次项系数4有关，和常数项2无关， 所以，同意小海的观点； （2）由（1）可得对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就增加， 因为，对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2， 所以，； （3）解：由（1）可得当的取值每增加1时，一次式增加的值为m，一次式增加的值为4， 因为，当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍， 所以，； 因为，当的值为0时，一次式的值与的值相等， 所以，， 所以，， 所以，． 【说明】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算； 题型13、有关一次式的创新题 例25、小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 【提示】本题考查了整式的加减运算，设另一个一次式为，根据题意求得，再计算与的差，即可求解； 【答案】； 【解析】设另一个一次式为， 依题意， 所以，正确的答案是 故答案为：． 【说明】本题主要考查了一次式的加减运算； 例26、已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【提示】本题考查了整式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据等式，得到，再代入A和C的代数式进行计算即可； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，， 因为，，， 所以，． 故答案为：． 【说明】本题主要考查了一次式的加减运算； 例27、王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 【提示】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【答案】； 【解析】 ， 所以，王老师捂住的一次式是． 故答案为：． 【说明】本题主要考查了一次式的加减运算； 例28、若某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车的乘客有 人．（请用含有a，b的式子表示） 【提示】根据总乘客数加上下车人数减去原有乘客数列出代数式计算即可．正确的列出代数式，是解题的关键； 【答案】； 【解析】由：根据题意，得 ， 即上车的乘客有人． 故答案为：． 【说明】本题考查了一次式的加减运算的实际应用； 1、一次式的概念 可以用定义法、排除法判别一次式： 定义法：字母最高次数为1，且分母不含字母； 排除法：常数项（次数0）、分式、二次及更高次项都不是一次式； 【说明】一次式是整式，单项式和多项式都可能是一次式。 2、一次式的同类项 一次式的同类项的判别标准： 两相同：字母相同，相同字母指数相同； 两无关：与系数无关，与字母顺序无关； 常数项：所有常数项都是同类项。 合并一次式同类项的法则：把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加。 合并一次式同类项的步骤： （1）找同类项：将含相同字母的同类项用记号标记； （2）同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起； （3）合并同类项：根据法则进行合并； （4）写出合并后的结果． 3、一次式的加减 一次式加减的实质就是去括号，合并同类项； 步骤：找同类项 → 移动（带符号）→ 合并系数； 【说明】1、一次式加减的结果要最简，即不能有同类项；2、含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数； 3、计算结果一般不含括号；4、非同类项不能合并，保留原式。 4、数与一次项相乘 分配律：括号前系数与括号内每一项相乘； 符号规则：括号前为“−”，去括号后每一项变号； 添括号：括号前为“−”，括号内各项变号。 1．下列说法中正确的是（    ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D； 【解析】A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列说法中，错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【答案】B； 【解析】A：常数项不含字母，都是同类项，正确； 因为，一次式是指次数为1的整式，而常数项（如）的次数为0， 所以，不是一次式，故B错误． C：多项式中各项次数均为1，故为一次式，正确； D：的系数为，正确． 故选：B． 3．若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（    ） A．0 B．5 C． D．无法计算 【答案】C； 【详解】因为，x与y互为相反数，a与b互为倒数， 所以，，， 所以，． 4．若a，b互为相反数，则的值为（     ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】A； 【解析】因为，互为相反数， 所以，， 所以，． 故选：A． 5．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 【答案】 【详解】 ． 6．一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【提示】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键；设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可； 【答案】（答案不唯一） 【解析】设一次式形式为，常数项， 当时，，即， 因为，， 所以，， 所以，取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 7．若单项式 与 均为一次式，且它们是同类项，则________． 【答案】0； 【解析】因为，单项式 与 均为一次式，且它们是同类项， 所以，，， 解得，， 因此． 故答案为：0． 8．已知、互为相反数，、互为倒数，单项式与是同类项，则的值 为 【答案】 【解析】因为、互为相反数，、互为倒数， 所以． 因为单项式与是同类项， 所以，， 所以． 9．已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 【答案】； 【解析】由图得，， 所以，，， 所以， ． 故答案为：． 10．课外活动小组在试验田中打算种植粮食、蔬菜和树苗，已知试验田有亩，其中亩种粮食，种蔬菜的面积是种粮食面积的，剩下的全部用来种树苗，则种树苗的地有______亩． 【答案】（2a＋4b）； 【解析】依题意有：（10a＋24b）−（6a＋15b）−（6a＋15b） ＝10a＋24b−6a−15b−2a−5b ＝（2a＋4b）亩． 故种树苗的地有（2a＋4b）亩． 故答案为：（2a＋4b）． 11．某中学七年级一班有44人，一次数学活动中分为四个组，第一组有a人，第二组比第一组的一半多5人，第三组人数等于前两组人数的和． （1）求第四组的人数；（用含a的代数式表示） （2）夕夕通过计算发现：“第一组不可能有12人．”你同意她的答案吗？请说明理由． 【提示】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： （1）先求出第二组的人数，进而求出第三组的人数，再用总人数减去第一组，第二组和第三组的人数即可求出第四组的人数； （2）当时，可计算出第四组的人数为负数，据此可得结论． 【答案】（1）第四组的人数为人 （2）同意； 【解析】（1）解：由题得：第二组的人数为：，第三组的人数为：， 所以，第四组的人数为：人； 答：第四组的人数为人． （2）同意，理由如下： 当时，第四组的人数为：，不符合题意， 所以，第一组不可能有12人，即夕夕发现是正确的； 12．小依准备把油画作品周围加一条宽度相等的边框（裱画框）．如图所示，长方形表示油画，它的长为，宽为，周围加的边框宽度为．长方形表示裱好的油画框，裱画框收费按长方形的周长计算，收费标准为每米100元． （1）裱好的油画框长为 ___________，宽为 ___________；（用含x，y的代数式表示） （2）裱好的油画框（长方形）的周长为 ___________；（用含x，y的代数式表示） （3）若，，则裱好这个油画框要花多少钱？ 【提示】本题考查了整式的加减运算，及实际应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键； （1）由长方形的长、宽加上边框的宽度，即可得到油画框的长和宽； （2）由长方形的长、宽，得到周长； （3）由（2）中的周长，代入数值，得到结果； 【答案】（1），；（2）；（3）204元； 【解析】（1）因为，长方形长为，宽为，加的边框宽度为， 所以，油画框长为， 油画框宽为， 故答案为：，； （2）长方形的周长为， 故答案为：； （3）因为，当，时， 所以，， 所以，， 所以，裱画框费用：（元）， 答：裱好这个油画框要花204元． 第2页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 “2.3 一次式”的理解与拓展 【沪教版】六年级数学上“2.3 一次式”是：整式的基础，指含有字母的代数式中，字母的最高次数为 1，不含字母相乘、字母作分母的式子，形如：，（，、为常数）；单独的常数项属于零次式，不是一次式；学习时要分清项、系数、常数项，例如：，一次项是：，一次项系数为：，常数项是：； 核心要点是区分一次式与非一次式：像：，都不是一次式；同时掌握一次式的化简，利用合并同类项、去括号法则对一次式进行运算，为后续一元一次方程铺垫。 拓展方面，可结合实际问题列一次式，用字母表示数量关系，如：行程、价格问题。也能对比一次式与一元一次方程：一次式是代数式，不含等号；一元一次方程带有等号，是等式；理解一次式本质是线性关系，一个字母变化，式子的值随之均匀变化，初步感受变量思想，为初中一次函数的学习埋下伏笔。 第2章 简单的代数式 2.3 一次式 1、一次式的概念 （1）一次式： 由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式；（如：，，） （2）一次项、常数项 一次项中， 、只含有一个字母，且字母的指数是，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项；一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数；例如：的系数是，的系数是； 【说明】1、一次项或常数项是包括它们前面的符号的； 2、如果一个一次项只有字母因数，它的一次项系数是或； 3、单独的一个字母是一次式，但单独的一个常数项不是一次式，如字母是一次式，不是一次式； 4、一次式的各项的分母中不含字母，是常数，也是常数。 2、一次式的同类项 （1）一次式的同类项 在一次式中，字母相同相且同字母的指数也相同的项叫作一次式的同类项；所有常数项都是同类项； （2）合并同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项； 合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项 直接相加； 【说明】1、同类项与一次项的系数无关；2、同类项至少为两项。 3、一次式的加减 （1）几个一次式相加减 几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接，然后去括号，再合并同类项； （2）合并一次式的同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项；合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加； 【说明】1、一次式加减的实质就是去括号，合并同类项；2、一次式加减的结果要最简，即不能有同类项； 4、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加；在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变； 【说明】运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号； 题型1、有关一次式的判定 例1、下列代数式是一次式的是（     ） A．8 B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、代数式中，是一次式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型2、确定一次式的项与系数 例3、一次式的一次项系数与常数项的和是________． 例4、已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 题型3、一次式同类项的判断 例5、一次式中是一次同类项是 例6、指出一次式中的同类项． 题型4、由已知一次式求参数的值 例7、式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（     ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 例8、若是关于x的一次式，则的值是______． 题型5、已知同类项求指数中字母或代数式的值 例9、若 与可以合并成一项，则的值是______． 例10、（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 题型6、一次式的去括号与添括号 例11、去括号后的结果是 ． 例12、阅读下面材料： 计算： 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度； 根据阅读材料提供的方法，计算： 题型7、合并一次式的同类项 例13、合并同类项：__________． 例14、下列计算正确的是（    ） A．3xy﹣2yx＝xy B．5y﹣3y＝2 C．7a+a＝7a2 D．3a+2b＝5ab 题型8、数与一次式相乘 例15、化简的结果是________． 例16、化简一次式：． 题型9、一次式的化简求值 例17、当时，求一次式的值． 例18、已知、、都是一次式，且，，． （1）化简； （2）求出当，时的值． 题型10、一次式的综合运算 例19、先化简，再求值：，其中x、y符合． 例20、已知，，按要求完成下列各题： （1）若的结果是一个一次多项式，求a的值； （2）当时，先化简再代入求值，其中. 题型11、根据要求写一次式 例21、如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． 例22、现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 题型12、有关一次式的实际应用题 例23、某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有人，第二组人数比第一组人数的少5，第三组人数比第一、二组人数的和少15，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34. （1）用含的式子表示第二、三、四组的人数，把答案填在下表相应的位置； 第一组 第二组 第三组 第四组 （2）求七年级一班的总人数（用含的式子表示）； （3）的值能否等于6，为什么？ 例24、有三个关于的一次式：、（为一次项的系数）、（为一次项的系数、为常数项）； （1）小海在研究一次式时发现，当的取值每增加1时，一次式的值就增加4．所以他得到这样一个结论：“当的取值每增加1时，一次式增加的值只与一次项系数4有关，和常数项2无关”．你同意小海的观点吗？请说明理由； （2）对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2，那么的值是_____（直接写出答案）； （3）已知当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍；且当的值为0时，一次式的值与的值相等．那么的值是_____（直接写出答案）． 题型13、有关一次式的创新题 例25、小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 例26、已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 例27、王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 例28、若某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车的乘客有 人．（请用含有a，b的式子表示） 1、一次式的概念 可以用定义法、排除法判别一次式： 定义法：字母最高次数为1，且分母不含字母； 排除法：常数项（次数0）、分式、二次及更高次项都不是一次式； 【说明】一次式是整式，单项式和多项式都可能是一次式。 2、一次式的同类项 一次式的同类项的判别标准： 两相同：字母相同，相同字母指数相同； 两无关：与系数无关，与字母顺序无关； 常数项：所有常数项都是同类项。 合并一次式同类项的法则：把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加。 合并一次式同类项的步骤： （1）找同类项：将含相同字母的同类项用记号标记； （2）同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起； （3）合并同类项：根据法则进行合并； （4）写出合并后的结果． 3、一次式的加减 一次式加减的实质就是去括号，合并同类项； 步骤：找同类项 → 移动（带符号）→ 合并系数； 【说明】1、一次式加减的结果要最简，即不能有同类项；2、含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数； 3、计算结果一般不含括号；4、非同类项不能合并，保留原式。 4、数与一次项相乘 分配律：括号前系数与括号内每一项相乘； 符号规则：括号前为“−”，去括号后每一项变号； 添括号：括号前为“−”，括号内各项变号。 1．下列说法中正确的是（    ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 2．下列说法中，错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 3．若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（    ） A．0 B．5 C． D．无法计算 4．若a，b互为相反数，则的值为（     ） A． B．5 C．3 D．4 5．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 6．一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 7．若单项式 与 均为一次式，且它们是同类项，则________． 8．已知、互为相反数，、互为倒数，单项式与是同类项，则的值 为 9．已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 10．课外活动小组在试验田中打算种植粮食、蔬菜和树苗，已知试验田有亩，其中亩种粮食，种蔬菜的面积是种粮食面积的，剩下的全部用来种树苗，则种树苗的地有______亩． 11．某中学七年级一班有44人，一次数学活动中分为四个组，第一组有a人，第二组比第一组的一半多5人，第三组人数等于前两组人数的和． （1）求第四组的人数；（用含a的代数式表示） （2）夕夕通过计算发现：“第一组不可能有12人．”你同意她的答案吗？请说明理由． 12．小依准备把油画作品周围加一条宽度相等的边框（裱画框）．如图所示，长方形表示油画，它的长为，宽为，周围加的边框宽度为．长方形表示裱好的油画框，裱画框收费按长方形的周长计算，收费标准为每米100元． （1）裱好的油画框长为 ___________，宽为 ___________；（用含x，y的代数式表示） （2）裱好的油画框（长方形）的周长为 ___________；（用含x，y的代数式表示） （3）若，，则裱好这个油画框要花多少钱？ 第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $