微专题 “1.2 有理数的加法与减法”的理解与拓展（含12种题型） 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本讲义聚焦“1.2 有理数的加法与减法”核心知识点，系统梳理小学算术到初中代数的过渡内容，具体包括加法三类法则（同号相加取同号并算绝对值和，异号相加取绝对值大数符号并算差，与0相加不变）、减法转化为加法的法则（减一个数等于加其相反数），依托运算律简化运算，为后续乘除和方程学习搭建基础支架。 该资料亮点在于题型设计覆盖基础到拓展，结合温度、行程等实际问题（如例8货车行程）培养应用意识，通过数轴结合问题（如例21直尺与数轴）发展几何直观，口诀总结强化符号意识与运算能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过典型例题和练习查漏补缺，提升数学思维。

【解析版】 微专题 “1.2 有理数的加法与减法”的理解与拓展 【沪教版】五四制中预数学 “1.2 有理数的加法与减法”，是从小学算术到初中代数的关键过渡，核心是：引入负数后统一加减运算规则；加法分三类：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号、绝对值相减；与0相加不变、相反数相加得0。减法统一为：减去一个数等于加它的相反数，实现加减互化；运算中先定符号、再算绝对值，是计算的关键步骤； 拓展上，本节依托加法交换律、结合律，可通过同号结合、凑整、相反数配对简化混合运算；能解决温度、海拔、收支等含相反意义量的实际问题；它夯实了有理数运算基础，为后续乘除、混合运算与方程学习铺路，培养符号意识、转化思想与严谨计算习惯，是初中代数运算的起点。 1.2 有理数的加法与减法 1、有理数的加法 （1）有理数的加法法则 ①同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③任何一个数与0相加，仍得这个数． 【说明】课本边上的注解：若互为相反数，则 ；反过来也成立，即若 ，则互为相反数； （2）加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变；即：；其中，表示有理数。 （3）加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即： ；其中，， a, b, c 表示有理数。 2、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 题型1、有关有理数的加法运算 例1、下面的数中，与的和为0的是（      ） A． B． C． D．2022 【提示】逐项验证或利用课本边上的结论直接判断； 【答案】D； 【解析】A、，故本选项不符合题意； B、 ，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 【说明】本题考查了有理数加法运算； 例2、在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．则图中a、b、c、d对应的数字依次为______． 【提示】根据每条“直线”上的四个数字之和都相等代入计算即可求解； 【答案】12；9；6；8； 【解析】据图， 再根据图，每个数都遇到“两次”+“五条线段”，则； 所以，每条直线上的数字之和为24， 因为，，，，，， 所以，， 故答案为：12；9；6；8； 【说明】本题在理解题意后，主要考查了有理数加法运算；解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算． 题型2、与有理数加法运算律相关 例3、小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【提示】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律； 【答案】C； 【解析】原式为，小慧将其变为， 因为，交换了加数4的位置， 所以，使用了加法交换律； 又因为，将和结合， 所以，使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【说明】本题主要考查了有理数加法运算律； 例4、杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（    ） A． B． C． D． E． 【提示】先求出第三组的总重量为，根据最轻的四个砝码的重量是判断出第三组的砝码；根据最重的四个砝码的重量是判断出第一组的砝码，从而判断出第二组的砝码，即可求解； 【答案】C； 【解析】所有砝码的重量为， 又第一组的总重量是，第二组的总重量是， 所以，第三组的总重量为， 因为，最轻的四个砝码的重量是， 所以，第三组四个砝码为，，，，总重量为， 因为，最重的四个砝码的重量是， 所以，第一组四个砝码为，，，，总重量为， 所以，第二组四个砝码为，，，，总重量为， 所以，各选项中与重的砝码在同一组是； 【说明】本题考查了有理数加法运算律； 题型3、有理数加法中的符号问题处理 例5、下列说法正确的是（    ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【提示】本题考查了有理数加法的相关概念，根据有理数加法的相关概念逐一判断即可； 【答案】C； 【解析】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C； 【说明】本题主要考查了有理数加法中的符号问题； 例6、已知有理数，，则，，，中最大的数是（    ） A． B． C． D． 【提示】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小； 【答案】B； 【解析】因为，有理数，，所以，， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数； 【说明】本题考查了有理数加法中的符号问题与有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数大小比较； 题型4、有理数加法的实际应用 例7、神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（     ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 【提示】注意阅读理解与转化； 【答案】D； 【解析】由题意得，合格尺寸（单位：微米）满足，即， 因为，，，， 所以，A、B、C均不符合要求； 因为，，所以，D符合要求． 【说明】本题考查了有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用； 例8、如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． （1）若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； （2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【提示】注意阅读理解与识图； 【答案】（1）6，9；（2）千米； 【解析】（1）解：小彬家在数轴上的位置表示的有理数为， 小颖家在数轴上的位置表示的有理数为； （2）解：由题意得，（千米） 答：货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了千米． 【说明】本题考查了用数轴上的点表示有理数、有理数加法在生活中的应用； 题型5、省略加法和括号的形式的处理 例9、把算式中的各个加数及前面的运算符号省略不写，可写成（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查有理数的加减运算，通过将减法转换为加法，并省略加号，得到简写形式； 【答案】A； 【解析】因为， （减去一个数等于加上它的相反数） （省略括号和加号） 所以，可写成， 故选：A； 【说明】本题考查了省略加法和括号的形式； 例10、普陀某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： （1）请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式； （2）题干中横线上空缺的计算结果是； （3）按小亮的方法计算：； 【提示】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可； 【答案】（1）；（2）0；（3）； 【解析】（1）原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ； 【说明】本题综合考查了有理数加法运算、省略加法和括号的形式； 题型6、有关有理数的减法运算 例11、全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 【提示】此题主要考查了正负数的意义，有理数的减法运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示； 根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再进行有理数的减法运算，进而得出答案． 【答案】； 【解析】全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作：分， 故答案为：． 【说明】本题考查了正负数的定义、有理数的减法运算； 例12、若，，且，则的值是( 　　) A．或 B．或 C．或2 D．8或2 【提示】本题考查了绝对值的概念和有理数的加减运算，关键是根据条件筛选出符合条件的值；根据绝对值的定义，确定m和n的可能值，再结合的条件筛选出符合条件的组合，最后计算的值； 【答案】A； 【解析】因为，，， 所以，，， 又因为，， 所以，，， 当，时，， 当，时，， 故选A． 【说明】本题综合考查了求一个数的绝对值、有理数的减法运算； 题型7、有理数加减中的简便运算 例13、“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【提示】直接根据图（2）作答即可． 【答案】； 【解析】由图（2）可知； 【说明】本题考查了有理数加减中的简便运算； 例14、阅读材料解决问题 （1）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20， 则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）； （2）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： （3）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算：． 【提示】（1）（2）根据材料提供的方法求解即可；（3）根据绝对值的性质取绝对值求解即可； 【答案】（1）22，9；（2）；（3）①；②； 【解析】（1）因为，点，表示的数分别为，20， 所以，，线段的中点表示的数为； （2）由： ； （3）①因为， 所以，； ②，，，同理， ． 【说明】本题综合考查了数轴上两点之间的距离、求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数加减中的简便运算； 题型8、有理数减法的实际应用 例15、最高气温与最低气温的差称为温差．某地某天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差为（     ） A． B． C． D． 【提示】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键；根据题意列算式计算即可得到结果； 【答案】C； 【解析】因为，最低气温为，最高气温为， 所以，， 所以，该地这天的温差为． 故选：C； 【说明】本题考查了有理数减法的实际应用； 例16、古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基准，张明50岁，记为岁，那么王横25岁记为______． 【提示】本题考查了正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量．以40岁为基准，张明50岁，记为岁，25减去40即可解答； 【答案】岁； 【解析】以40岁为基准，张明50岁，记为岁， 那么王横25岁记为（岁． 故答案为：岁； 【说明】本题主要考查了正负数的定义、有理数减法的实际应用； 题型9、有理数的加、减混合运算 例17、我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．在如图所示的幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为______． e d a b c 2 【提示】本题主要考查了代数式求值，有理数加减运算，正确理解题意是解题的关键．根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，求出a、b、c、d、e的值，即可求解； 【答案】2； 【解析】幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的数字之和为：， 所以，， ， ， ， ， 所以，． 故答案为：2． 【说明】本题考查了有理数的加减混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值； 例18、用表示不大于的整数中的最大整数，如，，则________． 【提示】本题主要考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键．根据题意，分别求出和的值，然后相加即可； 【答案】； 【解析】由题意得， ，， 所以，． 故答案为：； 【说明】本题综合考查了有理数大小比较、有理数的加减混合运算； 题型10、有理数加减混合运算的应用 例19、在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（      ） A． B． C． D． 【提示】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果； 【答案】C； 【解析】因为，日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， 所以，正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， 因为，，， 所以，当天太阳高度达到最大值的时间为． 【说明】本题考查了有理数加减混合运算的应用； 例20、下表是某气象小组记录的5月20日至24日每天最高气温的变化情况，且19日的最高气温为（＋表示气温比前一天升高，－表示气温比前一天降低） 时间 20日 21日 22日 23日 24日 每一天最高气温的变化（与前一天比较） （1）请计算出5月22日的最高气温 （2）这五天中哪一天气温最高？哪一天气温最低？ 【提示】（1）19日的最高气温与表格中前三个数据进行相加，求解即可； （2）求出每一天的最高气温，再进行比较即可； 【答案】（1）31℃；（2）22日气温最高，21日气温最低； 【解析】（1）； 答：5月22日的最高气温是 （2）20日最高气温为：， 21日最高气温为：， 22日最高气温为：31℃， 23日最高气温为：； 24日最高气温为：； 因为，， 所以，22日气温最高，21日气温最低． 【说明】本题考查了有理数加减混合运算的应用；读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 题型11、有理数加减法与数轴结合 例21、如图，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为______． 【提示】本题考查有理数与数轴，根据图形，得到直尺中处对应的数轴上的数和处对应的数轴上的数，求和即可； 【答案】1； 【解析】由图可知，数轴上的一个单位长度对应刻度尺上， 所以，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数分别为和， ； 故答案为：1． 【说明】本题考查了用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算； 例22、在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． 【提示】根据绝对值的几何意义，将原式转化为数轴上点到，，，四个定点的距离和，分组计算每组的最小距离和，再求和得到原式的最小值； 【答案】11； 【解析】表示数轴上点到点和点的距离之和， 所以，当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； 表示数轴上点到点和点的距离之和， 所以，当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； 所以，当在到之间（含端点）时，两个式子同时取到最小值， 所以，原式的最小值为。 【说明】本题综合考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 题型12、有关有理数加、减法的新定义问题 例23、定义新运算：若，则的值是（    ） A．6 B． C．2 D． 【提示】本题考查有理数的加法，根据题中新定义列算式，然后利用有理数的加法运算法则求解即可； 【解析】由题意， ． 故选：B； 【说明】本题考查了新定义与有理数加法运算的交汇； 例24、定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　 　） A． B． C． D． 【提示】本题是定义新运算和有理数的加法，根据定义的新运算，确定整数范围并求和，计算末两位数即可，弄清新运算是解题的关键； 【答案】B； 【解析】由于，，且运算包含和之间的所有整数，而不是整数， 所以，实际取到之间的整数， 所以， ， 所以，的末两位数为， 故选：． 【说明】本题考查了新定义与有理数加法运算的交汇； 1、有理数加、减法口诀 加法口诀：同号相加号不变，绝对值来做加法； 异号相加取大号，大减小来算不差； 相反数相加等于0，加0依旧是原它； 减法口诀：减法变加相反数，符号转换要记住； 混合运算先统一，交换结合巧凑数； 先定符号再算数，粗心错误少光顾。 2、有理数的加法 （1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； （2）运算律：①利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义； ②注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3、有理数的减法 （1）①任意两个数都可以进行减法运算；②几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值； （2）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 （3）将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 4、有理数的加减混合运算 （1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； （2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； （3）根据有理数加法法则进行计算得出结果； （4）注意：①减法转化为加法的时候注意符号的改变；②多利用运算律，能使计算更加简便。 1．下列对加法运算律的运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：； 2．计算的依据是（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D； 【解析】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 3．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B； 【解析】因为，点到原点的距离为， 所以 ，点表示的数为或． 因为，点向左移动个单位到达点， 所以，点表示的数为或． 因为，点到点和点的距离相等， 所以，点是线段的中点， 所以，点表示的数为或． 4．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（    ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B； 【解析】如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， 因为，四个可能的正方形内的各数的总和相同， 所以，，即， 所以，， 同理，，即， 所以，， 所以，第四个角落的单元格里的数为1． 5．我国古代数学家刘徽首创算筹正负记法：竖放小棒记正数（1根），斜放小棒记负数（1根）．根据这种表示方法，观察图①，可推算图②所得到的数值为 【答案】； 【解析】根据题意，竖放小棒记正数，斜放小棒记负数，且根小棒代表数值 观察图可知： 竖放小棒有根，表示数值； 斜放小棒有根，表示数值 所以，图②所得到的数值为 ． 6．全班数学测试平均成绩为85分，某同学考87分，记作分，得分80分记作______． 【答案】分； 【解析】因为，平均成绩为85分，某同学考87分，记作分，， 所以，平均成绩85分应记作0分， 因为，80分比85分少5分， 所以，得分80分应记作分． 故答案为：分； 7．如图，已知四个有理数a、b、c、d在一条缺失了原点和单位长度的数轴上对应的点分别为A、B、C、D，当时，则在a、b、c、d四个有理数中，绝对值最大的一个数是______． 【答案】a； 【解析】因为，， 所以，b与d互为相反数， 所以，原点在B、D的中点， 所以，距离原点最远的是点A， 根据绝对值的几何意义知：绝对值最大的数是a． 故答案为：a． 8．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【提示】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值； 【答案】； 【解析】根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 9．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【提示】根据题目给出的新定义，先确定的值，再代入计算即可； 【答案】； 【解析】根据定义可得 因为，表示小于或等于的最大整数，而小于或等于的最大整数是， 所以，， 所以，． 10．计算：= 【提示】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算； 【答案】； 【解析】由 ． 11．根据加法的运算律进行简便运算， （1）将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 （2）如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律； （3）仿照图中的方法，简便计算：． 【提示】本题考查有理数加法运算及加法运算律； （1）根据图中过程结合有理数加法运算法则补充即可； （2）根据有理数加法运算律解答即可； （3）先将分数化为小数，再利用有理数加法法则及运算律计算即可． 【答案】（1），；（2）②，①；（3）； 【解析】（1） ……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四； （2）根据有理数加法运算律可得：“步骤一”运用了②加法交换律，“步骤二”运用了①加法结合律； （3）原式 ． 12．情境：如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．有一个玩具火车放置在数轴上，车头在点A，车尾在点B．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点B时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点A时，车头正好与点D重合，请解决以下问题： （1）________，________； （2）请求出点C和点D表示的数； （3）在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，小丽问爸爸：“爸爸，您今年多少岁？”爸爸说：“我是你这么大的时候，你还要14年才能出生，等你到我这个年龄时我就有64岁了”．借助数轴工具，若把爸爸和小丽的年龄差看为木棒，请你算一算小丽和爸爸的年龄分别是多少． 【提示】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）求出的长，根据题意可得，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）设点A表示的数为小丽现在的年龄，点B表示的数为小丽爸爸现在的年龄，当小丽爸爸的年龄为点A表示的数时，小丽的年龄为点D表示的数，当小丽爸爸的年龄为64（点C表示的数）岁时，小丽的年龄为点B表示的数，根据题意可得点D和点C表示的数，则可求出的长，进而可求出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； 【答案】（1）3；9；（2）点C表示的数为，点D表示的数为；（3）小丽的年龄为12岁，小丽爸爸的年龄为38岁； 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， 所以，； （2）由（1）得， 所以，； 因为，当车头移动到点B时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点A时，车头正好与点D重合， 所以，， 所以，点C表示的数为，点D表示的数为； （3）解：设点A表示的数为小丽现在的年龄，点B表示的数为小丽爸爸现在的年龄，当小丽爸爸的年龄为点A表示的数时，小丽的年龄为点D表示的数，当小丽爸爸的年龄为64（点C表示的数）岁时，小丽的年龄为点B表示的数， 根据小丽爸爸的说法可知，点D表示的数为，点C表示的数为64， 所以，， 又因为，小丽与小丽爸爸的年龄差不会变化， 所以，， 所以，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以，小丽的年龄为12岁，小丽爸爸的年龄为38岁． 第2页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 “1.2 有理数的加法与减法”的理解与拓展 【沪教版】五四制中预数学 “1.2 有理数的加法与减法”，是从小学算术到初中代数的关键过渡，核心是：引入负数后统一加减运算规则；加法分三类：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号、绝对值相减；与0相加不变、相反数相加得0。减法统一为：减去一个数等于加它的相反数，实现加减互化；运算中先定符号、再算绝对值，是计算的关键步骤； 拓展上，本节依托加法交换律、结合律，可通过同号结合、凑整、相反数配对简化混合运算；能解决温度、海拔、收支等含相反意义量的实际问题；它夯实了有理数运算基础，为后续乘除、混合运算与方程学习铺路，培养符号意识、转化思想与严谨计算习惯，是初中代数运算的起点。 1.2 有理数的加法与减法 1、有理数的加法 （1）有理数的加法法则 ①同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③任何一个数与0相加，仍得这个数． 【说明】课本边上的注解：若互为相反数，则 ；反过来也成立，即若 ，则互为相反数； （2）加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变；即：；其中，表示有理数。 （3）加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即： ；其中，， a, b, c 表示有理数。 2、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 题型1、有关有理数的加法运算 例1、下面的数中，与的和为0的是（      ） A． B． C． D．2022 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．则图中a、b、c、d对应的数字依次为______． 题型2、与有理数加法运算律相关 例3、小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 例4、杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（    ） A． B． C． D． E． 题型3、有理数加法中的符号问题处理 例5、下列说法正确的是（    ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 例6、已知有理数，，则，，，中最大的数是（    ） A． B． C． D． 题型4、有理数加法的实际应用 例7、神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（     ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 例8、如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． （1）若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； （2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 题型5、省略加法和括号的形式的处理 例9、把算式中的各个加数及前面的运算符号省略不写，可写成（    ） A． B． C． D． 例10、普陀某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： （1）请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式； （2）题干中横线上空缺的计算结果是； （3）按小亮的方法计算：； 题型6、有关有理数的减法运算 例11、全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 例12、若，，且，则的值是( 　　) A．或 B．或 C．或2 D．8或2 题型7、有理数加减中的简便运算 例13、“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 例14、阅读材料解决问题 （1）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20， 则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）； （2）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： （3）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算：． 题型8、有理数减法的实际应用 例15、最高气温与最低气温的差称为温差．某地某天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差为（     ） A． B． C． D． 例16、古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基准，张明50岁，记为岁，那么王横25岁记为______． 例17、我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．在如图所示的幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为______． e d a b c 2 例18、用表示不大于的整数中的最大整数，如，，则________． 题型10、有理数加减混合运算的应用 例19、在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（      ） A． B． C． D． 例20、下表是某气象小组记录的5月20日至24日每天最高气温的变化情况，且19日的最高气温为（＋表示气温比前一天升高，－表示气温比前一天降低） 时间 20日 21日 22日 23日 24日 每一天最高气温的变化（与前一天比较） （1）请计算出5月22日的最高气温 （2）这五天中哪一天气温最高？哪一天气温最低？ 题型11、有理数加减法与数轴结合 例21、如图，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为______． 例22、在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． 题型12、有关有理数加、减法的新定义问题 例23、定义新运算：若，则的值是（    ） A．6 B． C．2 D． 例24、定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　 　） A． B． C． D． 1、有理数加、减法口诀 加法口诀：同号相加号不变，绝对值来做加法； 异号相加取大号，大减小来算不差； 相反数相加等于0，加0依旧是原它； 减法口诀：减法变加相反数，符号转换要记住； 混合运算先统一，交换结合巧凑数； 先定符号再算数，粗心错误少光顾。 2、有理数的加法 （1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； （2）运算律：①利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义； ②注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3、有理数的减法 （1）①任意两个数都可以进行减法运算；②几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值； （2）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 （3）将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 4、有理数的加减混合运算 （1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； （2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； （3）根据有理数加法法则进行计算得出结果； （4）注意：①减法转化为加法的时候注意符号的改变；②多利用运算律，能使计算更加简便。 1．下列对加法运算律的运用正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的依据是（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 3．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（    ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 5．我国古代数学家刘徽首创算筹正负记法：竖放小棒记正数（1根），斜放小棒记负数（1根）．根据这种表示方法，观察图①，可推算图②所得到的数值为 6．全班数学测试平均成绩为85分，某同学考87分，记作分，得分80分记作______． 7．如图，已知四个有理数a、b、c、d在一条缺失了原点和单位长度的数轴上对应的点分别为A、B、C、D，当时，则在a、b、c、d四个有理数中，绝对值最大的一个数是______． 8．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 9．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 10．计算：= 11．根据加法的运算律进行简便运算， （1）将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 （2）如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律； （3）仿照图中的方法，简便计算：． 12．情境：如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．有一个玩具火车放置在数轴上，车头在点A，车尾在点B．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点B时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点A时，车头正好与点D重合，请解决以下问题： （1）________，________； （2）请求出点C和点D表示的数； （3）在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，小丽问爸爸：“爸爸，您今年多少岁？”爸爸说：“我是你这么大的时候，你还要14年才能出生，等你到我这个年龄时我就有64岁了”．借助数轴工具，若把爸爸和小丽的年龄差看为木棒，请你算一算小丽和爸爸的年龄分别是多少． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $