河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十六章第一节）

冀教版九年级数学上册　第二十六章　解直角三角形 26.1　锐角三角函数　分层作业 一、作品基础信息 学段学科 初中数学 教材版本 冀教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写） 年级册次 九年级上册 所属章节 第二十六章　解直角三角形 课题名称 26.1　锐角三角函数 课时安排 1课时（本节新授课配套课时作业） 作业类型 课时分层作业（A层基础巩固＋B层能力提升＋C层拓展探究） 适用对象 九年级全体学生 建议用时 约22分钟（A层约8分钟，B层约8分钟，C层约6分钟） 设计者 　　　　　　　　　　（学校／姓名） 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的变化”领域要求学生理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义，能借助直角三角形中的边角关系解决简单的实际问题；在“图形的性质”领域要求学生掌握勾股定理，能运用它进行直角三角形的有关计算。本作业以“定义—识图—计算—推理—应用”为主线，把课标要求转化为可操作的分层任务，在边与角的相互转化中发展几何直观、运算能力和模型观念。 （二）教材分析 本节是冀教版九年级上册第二十六章“解直角三角形”的第一节。它上承第二十五章“图形的相似”——“当锐角确定时，对边与邻边的比是定值”正是由相似三角形推得；下启26.2“特殊角的三角函数值”、26.3“解直角三角形”等内容，是本章的知识起点与核心工具，也为后续学习解直角三角形的应用、高中阶段的三角函数埋下伏笔。 教材从轮船测距、梯子的倾斜程度等实际问题出发，先借助相似三角形说明“在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应边的比相等”，由此得出“当锐角确定时，该锐角的对边与邻边（对边与斜边、邻边与斜边）的比是定值”，再抽象出正切、正弦、余弦的定义，最后介绍用计算器求三角函数值。本节的教学重点是锐角三角函数的定义及其简单应用；难点是理解“比值只与角的大小有关，与三角形的大小无关”，以及在具体图形中准确判断某锐角的对边、邻边与斜边。 （三）学情分析 1．已有基础：学生已经掌握相似三角形的判定与性质，理解成比例线段，会用勾股定理进行直角三角形的边计算，也具备在平面直角坐标系中由点的坐标确定线段长度的经验。 2．主要困难：一是把三角函数值误认为与三角形的大小有关，以为边越长、比值就越大；二是在复杂图形中找不准某锐角的对边与邻边，尤其是斜边上的高把直角三角形分成两个小直角三角形时；三是习惯于用勾股定理“硬算”，不善于用三角函数沟通边与角的关系；四是对 sin²A＋cos²A＝1、sin A＝cos(90°－A) 这类关系式缺乏理解，只会机械套用。 3．分层依据：基于上述差异，把作业设计为A（基础巩固）、B（能力提升）、C（拓展探究）三个层次。A层面向全体学生，重在“明定义、识对邻、会计算”；B层面向大多数学生，重在“会转化、能应用”；C层面向学有余力的学生，重在“能证明、会探究、悟关系”。 （四）设计意图 1．控量提质，落实“双减”。全卷共9题，A层4题必做、B层3题选做、C层2题挑战，总量控制在22分钟以内，避免机械重复训练。 2．定义为本，突出识图。第1、2、4题围绕定义反复训练，反复强化“先找角、再定边、后算比”这一通法。 3．辨析概念，澄清误区。第3题直接指向“三角函数值与三角形的大小无关”这一易错点，让学生在辨析中真正理解“定值”的含义。 4．数形结合，联系实际。第6题把三角函数放在平面直角坐标系中，第7题以梯子靠墙为背景，让学生在真实情境中体会边与角的相互转化。 5．分层评价，鼓励进阶。评价设置“基础达标—能力进阶—拓展挑战”三级量规，鼓励学生在完成本层任务后主动挑战更高层次，保护学习信心。 三、作业目标 （一）基础性目标（知识与技能） 1．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的定义，知道三角函数值是两条边的比、没有单位； 2．会准确识别直角三角形中某锐角的对边、邻边与斜边，能根据定义求锐角的三角函数值，也能由三角函数值求边长。 （二）发展性目标（过程与方法） 3．理解“锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关”，经历从特殊到一般、由形到数的探究过程； 4．会用 sin²A＋cos²A＝1 和 sin A＝cos(90°－A) 这两个关系式进行简单的计算与推理。 （三）素养性目标（核心素养） 5．在识图、计算与推理中发展几何直观、运算能力和推理能力； 6．在梯子、坐标系等情境中发展模型观念和数形结合思想，感受三角函数在解决实际问题中的作用。 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 对应作业目标 核心素养 预估用时 1 A层（基础） 选择 目标1、目标2 几何直观、运算能力 2分钟 2 A层（基础） 填空 目标2 运算能力、推理能力 2分钟 3 A层（基础） 填空 目标3 推理能力、抽象能力 2分钟 4 A层（基础） 解答 目标2 运算能力、几何直观 2分钟 5 B层（提升） 解答 目标1、目标2 运算能力、几何直观 3分钟 6 B层（提升） 解答 目标2、目标6 运算能力、数感 3分钟 7 B层（提升） 解答 目标2、目标6 运算能力、模型观念 3分钟 8 C层（拓展） 证明 目标4、目标5 推理能力、运算能力 3分钟 9 C层（拓展） 探究 目标3、目标4、目标5 推理能力、抽象能力 3分钟 说明：A层为必做题；B层为选做题（至少完成2题）；C层为挑战题（自主选择）。 五、作业评价 （一）评价方式 1．学生自评：对照“七、答案与解析”用“★”标注自己的达成情况，并把典型错题整理到错题本； 2．同伴互评：同桌交换批改A层，重点检查“对边、邻边、斜边有没有找对，比例式有没有写反”； 3．教师评价：A层全批全改，B层、C层以鼓励性评价和思路点评为主，对典型错误（尤其是“三角函数值与边长有关”“对边与邻边混淆”）进行集体讲评。 （二）评价量规 层级 评价要点 达标标准 达成等级（自评） A层 锐角三角函数定义的理解与基本计算 能说出正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中准确指出某锐角的对边、邻边和斜边，A层4题中答对3题以上为达标 ★☆☆　★★☆　★★★ B层 三角函数值的计算与实际应用 能由已知边求三角函数值、由三角函数值求边长，能把实际问题转化为直角三角形模型，书写规范、步骤完整 ★☆☆　★★☆　★★★ C层 关系式的证明与探究 能证明 sin²A＋cos²A＝1，能发现并运用 sin A＝cos(90°－A)，条理清楚、推理严谨 ★☆☆　★★☆　★★★ （三）评价反馈与补偿 1．对A层出错的学生，课堂上用“一审（审清求哪个角的函数）、二定（定出对边、邻边、斜边）、三算（按定义算出比值）”三步法再演示一遍，并配一组同类题巩固； 2．对B层完成较好的学生，鼓励其挑战C层，并用“你是怎样把实际问题转化成直角三角形的”引导其表达思维过程； 3．对C层确有困难的学生，给出“两个式子中都有 a 和 c，想一想直角三角形的三边满足什么关系”的提示，只提示方向不代替思考。 六、试题详情 （一）A层：基础巩固（必做） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则下列结论正确的是（　　） A．sin A＝　　B．cos A＝　　C．tan A＝　　D．tan A＝ （第1题图） 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 sin A＝________，cos A＝________，tan B＝________。 3．把Rt△ABC（∠C＝90°）的三条边都扩大为原来的4倍，得到Rt△A′B′C′，则∠A′的正弦值与∠A的正弦值________（填“相等”或“不相等”）；若 sin A＝，则 sin A′＝________。 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求AB与AC的长。 （第4题图） （二）B层：能力提升（选做） 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D。若AC＝6，BC＝8，求 tan∠ACD 与 sin∠BCD 的值。 （第5题图） 6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3,4)，连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为 α。求 sin α、cos α、tan α 的值。 （第6题图） 7．如图，一架梯子AB斜靠在竖直的墙上，梯子顶端A到墙脚C的距离AC＝4 m，梯子的长AB＝5 m，墙面与地面垂直（即∠ACB＝90°）。 （1）求梯子与地面所成的锐角∠ABC的正弦值与余弦值； （2）若把梯子沿地面向外滑动，使梯子顶端下移到离墙脚3 m处（梯子长度不变），求此时梯子与地面所成的锐角的正切值。 （第7题图） （三）C层：拓展探究（挑战） 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c。 （1）用 a、b、c 分别表示 sin A 与 cos A，并证明 ； （2）利用上述结论求值：若 sin A＝，求 cos A 和 tan A 的值。 （第8题图） 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B互为余角（即∠A＋∠B＝90°），∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c。 （1）用 a、b、c 分别表示 sin A 与 cos B，说明 sin A 与 cos B 的大小关系； （2）若 sin A＝，求 cos B 的值； （3）已知 sin 35°≈0.574，求 cos 55° 的值（结果保留三位小数），并说明理由。 （第9题图） 七、答案与解析 1．答案：C。 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得 。 因为 ∠C＝90°，所以 ∠A 的对边是 BC，邻边是 AC，斜边是 AB。于是 ，，。 对照选项：sin A＝，cos A＝，tan A＝，只有C正确。故选C。 2．答案：；3；。 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得 。 所以 sin A（∠A 的对边比斜边）＝，cos A（∠A 的邻边比斜边）＝；对于 ∠B，其对边是 AC、邻边是 BC，故 tan B＝。 3．答案：相等；。 解析：把Rt△ABC的三条边都扩大为原来的4倍，所得Rt△A′B′C′与Rt△ABC的对应角相等，所以 ∠A′＝∠A。因为锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形的大小（边的长短）无关，所以 sin A′＝sin A，故第一个空填“相等”。又因为 sin A＝，所以 sin A′＝，第二个空填 。 4．答案：AB＝10，AC＝8。 解析：因为 ∠C＝90°，所以 sin A＝。由 BC＝6，sin A＝ 得 ，解得 AB＝10。 再由勾股定理得 。所以 AB＝10，AC＝8。 5．答案：tan∠ACD＝，sin∠BCD＝。 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得 。 因为 CD⊥AB，所以 ∠ACD＋∠A＝90°、∠BCD＋∠B＝90°；又 ∠A＋∠B＝90°，所以 ∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A（同角的余角相等）。 于是 tan∠ACD＝tan B＝；sin∠BCD＝sin A＝。 6．答案：sin α＝，cos α＝，tan α＝。 解析：过点P作PA⊥x轴于点A。因为P(3,4)，所以 OA＝3，PA＝4。 在Rt△OAP中，∠OAP＝90°，由勾股定理得 。 在Rt△OAP中，锐角 α（即∠AOP）的对边是 PA、邻边是 OA、斜边是 OP，所以 sin α＝，cos α＝，tan α＝。 7．答案：（1）sin∠ABC＝，cos∠ABC＝；（2）。 解析：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得 。 对于锐角∠ABC，其对边是 AC、邻边是 BC、斜边是 AB，所以 sin∠ABC＝，cos∠ABC＝。 （2）梯子滑动后，梯子的长不变，仍是 AB＝5 m，而顶端离墙脚的距离变为 3 m。由勾股定理得此时梯子底端到墙脚的距离为 （m）。设此时梯子与地面所成的锐角为 ∠ABC，则 。 8．答案：（1）见解析；（2）cos A＝，tan A＝。 （1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A 的对边为 a、邻边为 b、斜边为 c，由锐角三角函数的定义得 sin A＝，cos A＝。 所以 。由勾股定理得 ，所以 。 （2）解：因为 ∠A 是锐角，所以 cos A＞0。由 得 。 于是 。 9．答案：（1）sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B；（2）；（3）0.574。 解析：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以 sin A＝。 对于锐角 ∠B，其邻边是 BC，而 BC 正是 ∠A 的对边 a，斜边仍为 c，所以 cos B＝。因此 sin A＝cos B。 （2）由（1）知 sin A＝cos B。因为 sin A＝，所以 cos B＝。 （3）因为 55°＝90°－35°，即 55° 与 35° 互为余角，所以 cos 55°＝sin 35°≈0.574。理由：由（1）可知，一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值（sin A＝cos(90°－A)），这里 A＝35°，90°－A＝55°，故 cos 55°＝sin 35°。 学科网（北京）股份有限公司 $