26.2 特殊角的三角函数值-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦30°、45°、60°角的三角函数值这一核心知识点，通过回顾直角三角形中三角函数定义导入新课，衔接旧知与新知，搭建清晰的学习支架。 以学生熟悉的三角板为探究载体，引导自主推导特殊角三角函数值，培养几何直观与推理意识，结合例题、变式训练及规律探究，提升应用能力，助力学生夯实基础，教师教学更高效。

26.2 特殊角的三角函数值 课题 特殊角的三角函数值 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P132-134 教学目标 1.会用1.熟记30°，45°，60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊角的三角函数的式子． 2.会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数． 3.经历探究特殊角的三角函数值的过程，使学生了解特殊与一般的关系，培养学生的逆向思维． 4.通过探索与发现新知识，使学生积极参加活动，增强学习数学的信心． 教学重难点 重点：熟记30°，45°，60°的三角函数值，并进行有关计算. 难点：计算含有30°，45°，60°角的三角函数的式子. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾旧知，导入新课 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A确定，那么∠A的三角函数如下： 回顾上节课所学内容，为新知的学习作准备. 2.实践探究，学习新知 观察与思考 如图，在一副三角板中有三个特殊的锐角，分别是30°，45°，60°. 1.直接说出30°角的正弦值，60°角的余弦值和45°角的正切值，并说明理由. 预设答案：sin 30°=，cos 60°=，tan 45°=1.根据正弦、余弦、正切的定义，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的性质解决. 师生活动：教师出示问题，学生独立思考，利用学过的三角函数的知识尝试解答，学生口答，教师点评，并让学生叙述用到的知识. 2.30°，45°，60°角的其他三角函数值分别为多少？你是如何得到的？ 师生活动：教师提出问题后，先让学生简单思考，然后教师在黑板上画出含特殊角的直角三角形，与学生一起进行探究. 【探究】 1.30°，60°角的三角函数值 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°． sin 30°=____，cos 30°=____，tan 30°=____． sin 60°=____，cos 60°=____，tan 60°=____． 提示：当∠A=30°时，sin A写成sin 30°. 分析：设BC=1，则AB=2，AC= 教师强调用到的性质定理： 勾股定理；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 预设答案： sin 30°= ，cos 30°= ，tan 30°= ． sin 60°= ，cos 60°= ，tan 60°= ． 2.45°角的三角函数值 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°． sin 45°=____，cos 45°=____，tan 45°=____． 分析：设BC=1，则AC=1，(等角对等边) AB= (勾股定理) 教师强调用到的性质定理： 等腰三角形的性质、勾股定理 预设答案： sin 45°= ，cos 45°= ，tan 45°=1． 【归纳】 30°，45°，60°角的三角函数值： 【拓展】 问题1 观察上面三个角的正(余)弦的值，你发现了什么规律？ 预设答案：sin 30°=cos 60°， sin 60°=cos 30°， sin 45°=cos 45°．即30°，45°，60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值． 追问 对于其他任意互余的角，此规律还成立吗？ 师生活动：教师提出问题后，可以让学生通过计算器计算几组互余的角的正、余弦值，观察一下，也可以通过普通的直角三角形证明. 结论：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 问题2 观察前面三角函数值的表格，说明当锐角α变化时，对应的三角函数值是如何变化的？ 师生活动：教师提出问题后，学生单独思考，再交流讨论，教师可以提示学生画草图观察，学生口答，教师点评，师生共同给出结论. 【总结】 已知0＜α＜90°. 当锐角α增大时，正弦值增大，余弦值减小，正切值增大. 先让学生自己根据已学知识解答第1个题，这样能够帮助学生回忆所用知识，为下面的探究做铺垫. 以分组探究交流的形式探索新知，提高学生分析问题和解决问题的能力，并让学生体会从一般到特殊的数学思维. 通过归纳明确30°，45°，60°角的三角函数值，并通过观察、探究找出互余两角的正余弦值的关系. 通过探究验证前面发现的规律，体会数学结论的严谨性. 探究各锐角三角函数值的变化趋势，加深对三角函数知识的了解. 3.学以致用，应用新知 考点1 计算与特殊角的三角函数值有关的式子 例1 求下列各式的值： （1）2sin 30°+3tan 30°－tan 45°; （2）sin²45° + tan 60°cos 30°. 为方便起见，今后将（sin α）2，（cos α）2，（tan α）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α. 解：（1）2sin 30°+3tan 30°－tan 45° =2×+3×－1=. （2）sin²45° + tan 60°cos 30° =（）²+×=+=2. 答案：A 变式训练1  求+sin 60°. 答案：. 考点2 用特殊锐角的三角函数值求角度 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC=2 ,CD=3，求∠B的度数． 解：∵CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中， ∵ AC=2 ,CD=3，∴sin A===. ∴∠A=60°. ∴∠B=90°－∠A=90°－60°=30°. 考点3 锐角三角函数的变化规律 例3 比较大小：sin 47°，cos 53°，tan 45° ．（用＜连接）. 答案： cos 53°＜ sin 47 ＜tan 45° 通过例1的训练，让学生进一步熟悉30°，45°，60°角的三角函数值，并增强学生对所学知识的应用意识. 通过例2的训练，让学生掌握用锐角的三角函数值求角度的方法 4.随堂训练，巩固新知 1. 若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 答案：A 2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A=，且∠B=90°∠A，则sin B等于(　　) A. 　　 B. C. 　 D.1 解析：∵ sin A=，且∠A，∠B都是锐角， ∴∠A=30°， 又∵∠B=90°∠A，∴∠B=60°， ∴sin B=sin 60°=. 答案：C 3.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan 75°﹥tan 48°﹥tan 15° B.tan 75°﹤tan 48°﹤tan 15° C.cos 75°﹥cos 48°﹥cos 15° D.sin 75°﹤sin 48°<sin 15° 答案：A 4.sin 80°，cos 80°，tan 80°的大小关系是(　 ) A.tan 80°＜cos 80°＜sin 80° B.cos 80°＜tan 80°＜sin 80° C.sin 80°＜cos 80°＜tan 80° D.cos 80°＜sin 80°＜tan 80° 答案：D 5.若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60 ° D．0°＜α＜30° 答案：C 6.已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状． 解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0， ∴tanA＝1，sinB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形． 7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长。 解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC。 在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝， 解得BC＝2(＋1)。 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 30°，45°，60°角的三角函数值 特殊角的三角函数值 互余的两锐角的正弦、余弦之间的关系 锐角的三角函数值的变化规律 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P133练习，P134习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 26.2　特殊角的三角函数值 1.30°，45°，60°角的三角函数值 2.任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 3.知0＜α＜90°. 当锐角α增大时，正弦值增大，余弦值减小，正切值增大. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 三角板是学生非常熟悉的学习用具,在这节课的教学中,教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生的推理能力和计算能力.给学生留充分的时间,采取多种形式让学生记住特殊角的三角函数值. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $