河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十五章第五节）

冀教版九年级数学上册　第二十五章　图形的相似 25.5　相似三角形的判定　分层作业 一、作品基础信息 项目 内容 学段学科 初中数学（九年级） 教材版本 河北教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级上册（冀教版·2024年版） 所属章节 第二十五章　图形的相似　25.5　相似三角形的判定 课题名称 相似三角形的判定（共3课时） 课时安排 3课时：判定定理1（两角分别相等）；判定定理2（两边成比例且夹角相等）；判定定理3（三边成比例） 作业类型 分层作业（A层基础巩固·必做／B层能力提升·选做／C层拓展探究·挑战） 适用对象 九年级学生 建议用时 约35分钟（A层约13分钟，B层约12分钟，C层约8分钟） 设计者 　 设计日期 　 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“图形的相似”归入“图形与几何”领域，要求学生“通过具体实例认识图形的相似”“探索并证明相似三角形的判定定理”。课标强调，学生应当经历“观察—猜想—验证—证明”的完整过程，在活动中发展几何直观、空间观念、推理能力和模型观念。本节作业设计以此为纲，既关注判定定理的准确理解与规范表达，也关注从复杂图形中提取基本图形、选择合适的定理进行推理的能力。 （二）教材分析 本节是第二十五章“图形的相似”的第5节，共3课时。在此之前，学生已经学习了比例线段（25.1）、平行线分线段成比例（25.2）、相似图形（25.3）和相似三角形（25.4）；在此之后，25.6相似三角形的性质、25.7相似三角形的应用都以本节为基础。 本节把“三个角分别相等、三条边成比例”这一繁琐的定义，逐步简化为易于操作的三个判定定理。若△ABC∽△A′B′C′，则 。反之，要判定两个三角形相似，只需满足“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”中的一条即可。此外，“平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似”这一预备定理，是学生最早掌握的判定方法，也是推导三个判定定理的基础。 值得注意的是，三个判定定理与全等三角形的判定（ASA 与 AAS、SAS、SSS）在形式上是一一对应的，教材正是通过“类比全等”的方式展开研究的。这种“定义—弱化条件—类比猜想—证明—应用”的研究套路，是本节最重要的数学思想方法，也是作业设计应着力体现的主线。 （三）学情分析 学生已有的基础：一是理解比例线段和比例的基本性质，能进行简单的比例运算；二是掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，会用预备定理判定两个三角形相似；三是有全等三角形SSS、SAS、ASA、AAS的判定经验，具备一定的推理书写能力。 可能存在的困难：一是对应元素识别错误，写比例式时“对应边”张冠李戴；二是对判定定理2中的“夹角”缺少敏感，容易把“两边成比例且其中一边的对角相等”误当作判定依据；三是面对复合图形时找不到基本图形（A型、X型、共角型、双垂直型），不知道该选用哪个定理；四是推理书写中“因为—所以”层次不清、依据不写。因此，作业在A层设置辨析与直接应用，在B层设置图形分离与综合推理，在C层专门针对错误认识设置反例探究。 （四）设计意图 1．分层递进。A层（基础巩固）面向全体学生，落实三个判定定理的识记与直接应用；B层（能力提升）面向多数学生，考查定理的选择、基本图形的识别与综合推理；C层（拓展探究）面向学有余力的学生，在辨析与开放探究中发展高阶思维。 2．凸显本质。通过“判断—对照—反思”的题目设计，引导学生不断回到“对应角相等、对应边成比例”的本质上来，避免把判定定理当作机械的符号操作。 3．以错促思。第8题把学生的常见误判“SSA”做成开放探究，让学生在构造反例的过程中真正理解判定定理成立的条件，发展批判性思维。 4．控制总量。全卷共9题，A层必做、B层选做、C层挑战，总用时控制在35分钟左右，做到减少数量、提高质量。 三、作业目标 （一）基础性目标 1．能准确叙述相似三角形的三个判定定理和判定三角形相似的预备定理，并能用符号语言规范表达。 2．能正确识别两个三角形的对应边与对应角，会依据相似写出正确的比例式，并求出其中线段的长。 （二）发展性目标 3．能从复合图形中分离出A型、X型、共角型、双垂直型等基本图形，选择合适的判定定理进行推理。 4．能综合运用相似三角形的判定解决求线段长、求角度、证明比例式（等积式）等问题，做到步骤完整、依据充分、书写规范。 （三）素养性目标 5．经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，体会类比、转化的数学思想，发展几何直观和推理能力。 6．通过对“SSA能否判定相似”的辨析与反例构造，发展批判性思维；通过自主探究直角三角形相似的判定，发展创新意识与应用意识。 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 对应目标 核心素养 预估用时 1 A层 判断题 目标1 几何直观、推理能力 3分钟 2 A层 填空题 目标1、目标2 推理能力 3分钟 3 A层 解答题 目标2 几何直观、运算能力 4分钟 4 A层 证明题 目标1、目标2 推理能力 3分钟 5 B层 解答题 目标3、目标4 推理能力、模型观念 4分钟 6 B层 解答题 目标2、目标4 运算能力、推理能力 4分钟 7 B层 证明题 目标3、目标4 推理能力、几何直观 4分钟 8 C层 探究题 目标6 批判性思维、推理能力 4分钟 9 C层 探究题 目标5、目标6 推理能力、创新意识 4分钟 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。自评重在对照目标反思“我会了什么、错在哪里”；互评重在交流解题思路与书写规范；教师评价采用等级加评语，重点关注推理的条理性、依据的准确性和方法的多样性。A层题全批全改，B层题抽样批改并组织讨论，C层题由小组交流后集体讲评。 （二）评价量规 评价维度 优秀（★★★） 合格（★★） 待改进（★） 知识理解 能准确叙述三个判定定理和预备定理，正确率不低于90% 基本能叙述判定定理，正确率70%～90% 判定定理记忆不清，正确率低于70% 推理表达 步骤完整，依据充分，比例式中对应关系书写规范 步骤基本完整，偶有依据缺失 推理跳跃，依据不清，对应关系易错 方法策略 能快速分离基本图形并灵活选择定理，有多种解法 在提示下能选择合适定理完成推理 不能选择合适定理，不能分离基本图形 学习态度 独立完成，主动订正，乐于交流展示 能按时完成，订正较及时 需督促才能完成，订正不及时 （三）评价反馈与补偿 1．对A层错题，当天在错题本上重写完整过程，重点落实比例式中“对应”关系的书写。 2．对B层题采用“一说二改”：先说出图形中隐藏的基本图形，再补齐推理中缺失的依据。 3．对C层题，组织小组交流反例的构造思路，把“为什么SSA不能判定相似”讲清楚，并把结论与“两边成比例且夹角相等”作对比。 4．对全部正确且解法有特色的学生，鼓励其把另解整理成数学小论文，在班级展示栏展出。 六、试题详情 （一）A层　基础巩固（必做） 1．判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”，并简要说明理由。 （1）两个等边三角形一定相似。　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） （2）两个直角三角形一定相似。　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） （3）有一个角为50°的两个等腰三角形一定相似。　　　　　　　　　（　　） （4）顶角相等的两个等腰三角形一定相似。　　　　　　　　　　　　（　　） 2．已知△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝8，BC＝10，A′B′＝4，则B′C′＝______，△ABC与△A′B′C′的相似比为______。 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝4，DB＝6，DE＝6，求BC的长。 4．如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝8，AC＝12，∠A＝40°；A′B′＝4，A′C′＝6，∠A′＝40°。求证：△ABC∽△A′B′C′。 （二）B层　能力提升（选做） 5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B。若AD＝2，AB＝8，求AC的长。 6．已知△ABC的三边长分别为AB＝4，BC＝6，CA＝8，△DEF的三边长分别为DE＝6，EF＝9，FD＝12。 （1）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，求△DEF的周长。 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D。求证：；若BD＝4，AD＝6，求CD的长。 （三）C层　拓展探究（挑战） 8．学习全等三角形时我们知道，“两边和其中一边的对角分别相等（SSA）”不能判定两个三角形全等。类比这一经验，小明猜想：“两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似。”请你判断小明的猜想是否正确。若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例（要求画出图形并标出数据）。 9．类比“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”，小颖猜想：“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。”请你判断这个猜想是否正确：若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，且 。求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。 七、答案与解析 （一）A层　基础巩固 1．解析： （1）√。等边三角形的三个角都是60°，三组角分别相等（三条边也成比例），所以一定相似。 （2）×。例如一个含30°、60°、90°的直角三角形与一个含45°、45°、90°的直角三角形，对应角不相等，故不一定相似。 （3）×。反例：第一个等腰三角形的顶角为50°，则两底角均为65°；第二个等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为80°、另一底角为50°。两个三角形的三个角不能全部对应相等，故不一定相似。 （4）√。两个等腰三角形的顶角相等，则两组底角分别相等〔都等于（180°－顶角）÷2〕，三个角分别相等，故相似。 2．答案：B′C′＝5；△ABC与△A′B′C′的相似比为2∶1。 解析：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ 。∴ 。 3．答案：BC＝15。 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似）。 ∴ 。∵AB＝AD＋DB＝4＋6＝10，∴ 。 ∴ ，∴BC＝15。 4．证明：∵ ，，∴ 。 又∠A＝∠A′＝40°，∴△ABC∽△A′B′C′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 （二）B层　能力提升 5．答案：AC＝4。 解析：在△ACD和△ABC中，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ ，∴ ，∴AC＝4（负值舍去）。 6．答案：（1）△ABC∽△DEF，理由见解析；（2）△DEF的周长为27。 解析：（1）∵ ，∴△ABC∽△DEF（三边成比例的两个三角形相似）。 （2）∵△ABC∽△DEF，相似比为 ，∴△ABC与△DEF的周长之比也为 。∴△DEF的周长＝。（也可由DE＋EF＋FD＝6＋9＋12＝27直接验证。） 7．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDA＝90°。 ∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°。又∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAD。 ∴△ABD∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。∴ ，∴ 。 当BD＝4，AD＝6时，，∴CD＝9。 （三）C层　拓展探究 8．答案：小明的猜想不正确。 反例：如图，作∠B＝60°，在∠B的一边上取BA＝4；在∠B的另一边上分别取BC₁＝3、BC₂＝1，连接AC₁、AC₂，得到△ABC₁和△ABC₂。 计算：； 。∴ 。 于是在△ABC₁与△ABC₂中：AB＝AB，AC₁＝AC₂（两组边成比例，比值为1），∠B＝∠B＝60°（相等的角是其中一边AC的对角），满足“两边成比例且其中一边的对角相等”，但BC₁＝3≠1＝BC₂，两个三角形不全等。 又因为两个三角形有两组边分别相等，若它们相似，则相似比只能为1，从而两个三角形全等，这与BC₁≠BC₂矛盾。所以△ABC₁与△ABC₂不相似，小明的猜想不成立。 点评：判定两个三角形相似时，“两边成比例”的夹角必须是这两边的夹角，即必须用“两边成比例且夹角相等”；若相等的角是其中一边的对角，则不能判定相似。 9．答案：小颖的猜想正确，证明如下。 证明：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，且 。 设 ，则AB＝k·A′B′，AC＝k·A′C′。 由勾股定理，，∴ 。 ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）。即斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 学科网（北京）股份有限公司 $