1.2 第1课时 提单项式公因式 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 1.2 第1课时 提单项式公因式 专项练习 ## 知识点回顾 提单项式公因式是因式分解最基础的方法。如果多项式的各项都含有一个相同的单项式，这个单项式叫做多项式各项的**公因式**。提单项式公因式，就是把各项的公因式提取到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。 找单项式公因式两步法：①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同字母，字母的指数取最低次数。 公式：$\(ma+mb+mc=m(a+b+c\()\)\\()\)$ 注意：提取公因式后，括号内项数和原多项式项数一致；首项为负时，一般提取负号，括号内各项要变号；分解结果必须是整式乘积形式。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 多项式$6a^2-9a$各项的公因式是（） A.$3$　B.$3a$　C.$6a$　D.$a^2$ 2. 把$4x^2-12x$分解因式，结果正确的是（） A.$4(x^2-3x\()\)$　B.$x(4x-12\()\)$　C.$4x(x-3\()\)$　D.$\(4x(x+3\()\)\\()\)$ 3. 将多项式$-8x^2y+12xy^2$提取公因式$-4xy$后，括号内的式子是（） A.$2x-3y$　B.$-\(2x+3y\\()\)$　C.$\(2x+3y\\()\)$　D.$-2x-3y$ 4. 多项式$5m(x-y\()\)-10n(x-y\()\)$的公因式是（） A.$5m$　B.$10n$　C.$5(x-y\()\)$　D.$x-y$ 5. 下列因式分解正确的是（） A.$\(3a+6=3(a+6\()\)\\()\)$　B.$2x^2-4x=2x(x-2\()\)$ C.$x^2+x=x(x+\frac{1}{x}\()\)$　D.$-2a+4=-2(a+2\()\)$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 多项式$15x^3y-10x^2y^2$的公因式是________。 2. 分解因式：$3x^2-6xy=$____________。 3. $-6a^2+9a = -3a($________$\()\)$。 4. 已知$2x^2+ax=2x(x-5\()\)$，则$\(a=\)$________。 5. 计算：$3.14×15-3.14×5=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分，共32分） 1. 写出下列多项式的单项式公因式 （1）$8x^2-16x$　　（2）$12a^2b-18ab^2$ 2. 用提单项式公因式分解因式 （1）$5x^2+10x$　　（2）$9a^2-27ab$ 3. 分解因式：$-4m^2+12mn$ 4. 简便计算：$2025^2-2025×2024$ ## 四、拓展提升题（每题14分，共28分） 1. 已知长方形的面积为$6x^2-3x$，长为$3x$，求这个长方形的宽。 2. 先分解因式，再求值：$4a^2b-8ab$，其中$\(a=\)2$，$\(b=3\)$。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：系数6和9最大公约数3，相同字母$a$最低次幂$a$，公因式$3a$。 2. C 解析：公因式$4x$，原式$=4x(x-3\()\)$，A、B没有提取彻底。 3. A 解析：$(-8x^2y+12xy^2\()\)÷(-4xy\()\)=2x-3y$。 4. C 解析：两项都含有$5$和$(x-y\()\)$，公因式$5(x-y\()\)$。 5. B 解析：A应为$3(a+2\()\)$；C出现分式不是因式分解；D应为$-2(a-2\()\)$。 ## 二、填空题 1.$5x^2y$　2.$3x(x-2y\()\)$　3.$2a-3$　4.$-10$ 5.$\(31.4\)$ 解析：原式$=3.14×(15-5\()\)=3.14×10=\(31.4\)$ ## 三、基础解答题 1.（1）公因式：$8x$；（2）公因式：$6ab$ 2.（1）原式$=5x(x+2\()\)$；（2）原式$=9a(a-3b\()\)$ 3.原式$= -4m(m-3n\()\)$ 4.原式$=2025×(2025-2024\()\)=2025×1=2025$ ## 四、拓展提升题 1. 解：宽=面积÷长 $(6x^2-3x\()\)÷3x = 3x(2x-1\()\)÷3x=2x-1$ 答：长方形宽为$2x-1$。 2. 解：原式$=4ab(a-2\()\)$ 代入$\(a=\)2,\(b=3\)$，$4×2×3×(2-2\()\)=0$ ## 易错警示 1. 提取负公因式时，括号内**每一项都要变号**，容易只改变第一项符号； 2. 公因式要提取干净，不能残留系数或相同字母； 3. 因式分解结果不能出现分式，必须全部是整式； 4. 多项式提取公因式后，剩下的多项式项数不变，不要漏写常数项。 如果你需要，我可以把这篇扩写到**1400字完整版**，或者单独出一份不带答案的空白试卷。你想要哪个？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.2 第1课时 提单项式公因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1 2 3 理解公因式的概念. 掌握找多项式中的公因式的方法 掌握提公因式法进行因式分解 学习目标 知识回顾 单项式乘以多项式 a(b+c)=ab+ac 下列等式的左边到右边的变形属于什么运算?实际上运用了乘法的什么运算律？ 乘法对加法的分配律 ab+ac=a(b+c) 下列等式的左边到右边的变形属于什么变形？ 乘积形式 因式分解 逆用乘法对加法的分配律 像运用这样的方法来因式分解，它叫什么方法呢？ 学习目标 03 新知探究 探究一 公因式 xy中，次数大于0的因式有x,y; 3xz中，次数大于0的因式有x,z; xy与3xz有相同的因式x. 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ 03 新知探究 几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 乘法对加法的分配律用式子怎么表示？ 03 新知探究 ∵ ∴是多项式的因式分解 你能找到和的公因式并将它们进行因式分解吗？ 它们的公因式都是a 探究二 提公因式 03 新知探究 ∵ ∴是多项式的因式分解 思考：你能将进行因式分解吗？ 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 03 新知探究 把多项式4x26x3因式分解. 例1 分析：多项式由4x2和6x3这两项组成，它们的系数分别为4，6，不考虑其符号，则4与6的最大公因数是2；这两项都含有字母x，且x的最低次数为2. 因此，可提出公因式2x2. 解： 4=2. 03 新知探究 把多项式8x2y412xy2z因式分解. 例2 解： 8x2y412xy2z =4xy22xy24xy23z =4xy2(2xy2 3z) 1. 把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 A 2. 将多项式3ab2(x－y)n－9ab(x－y)5因式分解时，提取的公因式是3ab(x－y)5，则n的值可能为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 返回 举一反三 C 3．下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是(　　) A．12abc－9a2b2c3＝3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y) C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x) 返回 举一反三 03 新知探究 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ 思考 1.系数：当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数取各项系数的最大公因数，当多项式的各项系数都是分数时,公因式的系数的分子分母取各项系数分子分母的最大公因数； 2.字母：取各项相同的字母； 3.指数：取各项中相同字母的指数次数最低的。 03 新知探究 探究三 提公因式法的注意事项 三名同学对多项式2x2+4x进行因式分解，结果如下： （1） 2x2+4x=2(x2+2x)； （2） 2x2+4x =x(2x+4)； （3） 2x2+4x=2x(x+2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 1.分解必须要彻底(分解到不能再分解为止) 2.把各项中相同的因式一次性提出来 03 新知探究 把多项式5x23xy+z因式分解. 例3 解： 5x23xy+z= x (5x3y+1) 提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留 03 新知探究 把多项式3x26xy3xz因式分解. 例4 解： 3x26xy3xz =(3x26xy3xz) =3x(x2yz) 提取负公因式后，需改变各项符号 03 新知探究 使用提公因式法时需注意什么？ 1.一次提净：把各项中相同的因式一次性提出来，分解必须要彻底(分解到不能再分解为止) 2. 切勿漏1：提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留 3.注意符号：提取负公因式后，需改变各项符号 注意事项 17 新知应用 基础巩固题 1、说出下列多项式中各项的公因式。 方法技巧 解题的关键： 找到多项式中各项的公因式。 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数. (1) 5x +2 (2) ∏x3 +∏x2 (3) 9m2n - 6mn (4) (5) - 12x2y+18xy - 15y x ∏x2 3mn ab -3y 新知应用 基础巩固题 2. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 C 3. 下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） B 公因式是3xy,不含有z 提取负号，括号内各项都要变号。 第三项提取公因式后，还剩下-1，不能漏掉。 新知应用 基础巩固题 D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式.直接提取公因式-3x即可分解． 解： 3x2(答案不唯一) 4. 在□处填入一个整式，使关于x的多项式4x3＋□＋x可以因式分解，则□处可以填：____________________(写出一个即可)． 返回 举一反三 21 【解】原式＝9xy(x－y)[3x－4(x－y)] ＝9xy(x－y)(3x－4x＋4y)＝9xy(x－y)(－x＋4y)． (2)27x2y(x－y)－36xy(x－y)2； 举一反三 22 返回 举一反三 23 返回 D 6. [娄底市期中]将多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为(　　) A．x2－x＋1 B．x2＋x＋y C．x2－x－1 D．x2＋x＋1 举一反三 24 (a－2)(b＋1) 7. 分解因式：ab＋a－2b－2＝________________． 返回 举一反三 8. 因式分解： (1)x(x－2)－x＋2；　　 (2)(a－b)(a－4b)－4b2；     【解】原式＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)． 【解】原式＝a2－4ab－ab＋4b2－4b2＝a2－5ab＝a(a－5b)． 举一反三 26 返回 (3)2(x－2y)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2. 【解】原式＝2(2y－x)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2＝(2y－x)(x＋2y)[2(2y－x)＋3(x＋2y)]＝(2y－x)(x＋2y)(4y－2x＋3x＋6y)＝(2y－x)(x＋2y)(10y＋x)． 举一反三 27 返回 B 9．利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99，下列各式计算正确的是(　　) A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999 B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900 C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098 D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198 举一反三 28 课堂小结 1. 确定公因式的方法： 一定系数，二定字母，三定指数. 2. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏项； （3）多项式的首项取正号. 谢谢观看 THANKS 4、把 因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 5.把下列各式分解因式： (1)a2b4＋a2b2； 【解】原式＝a2b2. (3)－3x3myn－1－2x2myn＋6xmyn＋1(m，n均为大于1的正整数)． 【解】原式＝－xmyn－1(3x2m＋2xmy－6y2)． $