1.3.1利用平方差公式进行因式分解 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用平方差公式进行因式分解”，通过图形变换（边长a的正方形剪去边长b的小正方形拼成长方形）推导公式，衔接乘法公式，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解公式来源与适用条件。 其亮点在于强调“二项、异号、皆平方”的结构识别，通过分层实例（如多项式底数分解、先提公因式再套公式）培养推理能力与运算能力，结合简便计算、面积计算等应用提升模型意识，助力学生形成规范解题习惯，教师使用可系统落实考点，提高教学效率。

湘教版数学八年级上册1.3.1利用平方差公式进行因式分解专项练习 核心考点：平方差公式因式分解的适用条件、公式的正向运用、底数为多项式的平方差分解、先提公因式再用公式的综合分解 答题要求：准确识别平方差公式结构特征，牢记“两数平方、符号相反”，分解遵循“先提公因式，再套公式”原则，分解务必彻底，步骤书写规范 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 平方差公式因式分解的表达式是（） A. $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ B. $$a^2-b^2=(a-b)^2$$ C. $$a^2+b^2=(a+b)^2$$ D. $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ 2. 下列多项式能直接用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B.$$x^2-9$$ C. $$x^2-2x+1$$ D. $$x^2+6x+9$$ 3. 多项式$$4a^2-25b^2$$分解因式的结果是（） A. $$(4a-25b)(4a+25b)$$ B. $$(2a-5b)(2a+5b)$$ C. $$(2a-5b)^2$$ D. $$(2a+5b)^2$$ 4. 下列因式分解错误的是（） A. $$1-x^2=(1+x)(1-x)$$ B. $$9m^2-1=(3m-1)(3m+1)$$ C. $$-x^2+y^2=(x+y)(x-y)$$ D. $$4-x^2y^2=(2-xy)(2+xy)$$ 5. 分解因式$$(x+1)^2-4$$的结果是（） A. $$(x+3)(x-1)$$ B. $$(x-3)(x+1)$$ C. $$(x+3)^2$$ D. $$(x-1)^2$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 能用平方差公式分解的多项式必须满足：是________项式，两项符号________，且每一项都可以写成________的形式。 7. 因式分解：$$x^2-16=$$________。 8. 因式分解：$$0.25a^2-b^2=$$________。 9. $$16x^2-($$________$$)^2=(4x+3y)(4x-3y)$$。 10. 分解因式$$2x^2-8$$时，需要先________，再运用平方差公式分解。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 直接利用平方差公式分解下列因式。 （1）$$25-x^2$$ （2）$$36m^2-49n^2$$ 12. 底数为多项式，利用平方差公式分解因式。 （1）$$(a-b)^2-c^2$$ （2）$$(2x+y)^2-(x-2y)^2$$ 13. 先提公因式，再用平方差公式分解因式。 （1）$$3x^2-27$$ （2）$$2a^3-8ab^2$$ 四、能力提升题（15分） 14. 利用平方差公式简便计算：$$101^2-99^2$$。 五、拓展探究题（15分） 15. 已知长方形草坪长为$$(4a+3b)$$，宽为$$(4a-3b)$$，现将草坪改造扩建，求原草坪的面积；若$$a=2，b=1$$，计算草坪的实际面积。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：平方差公式核心是两数平方相减，分解为两数和与两数差的积，其余选项为完全平方公式，不符合要求。 2. B 解析：A为平方和，无法分解；C、D是完全平方式，不满足平方差结构；B是两数平方相减，可直接用平方差公式分解。 3. B 解析：原式变形为$$(2a)^2-(5b)^2$$，套用公式得$$(2a-5b)(2a+5b)$$。 4. C 解析：$$-x^2+y^2=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$$，选项符号变形错误，其余选项分解正确。 5. A 解析：原式变形为$$(x+1)^2-2^2$$，套用公式得$$(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$$。 二、填空题 6. 二；相反；平方数（整式平方） 7. $$(x+4)(x-4)$$ 8. $$(0.5a+b)(0.5a-b)$$ 解析：原式化为$$(0.5a)^2-b^2$$，再套用平方差公式。 9. $$3y$$ 10. 提取公因式 三、解答题 11. 解：（1）原式$$=5^2-x^2=(5+x)(5-x)$$；（2）原式$$=(6m)^2-(7n)^2=(6m+7n)(6m-7n)$$。 12. 解：（1）原式$$=(a-b+c)(a-b-c)$$；（2）原式$$=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+y)-(x-2y)]=(3x-y)(x+3y)$$。 13. 解：（1）原式$$=3(x^2-9)=3(x+3)(x-3)$$；（2）原式$$=2a(a^2-4b^2)=2a(a+2b)(a-2b)$$，先提公因式再套公式，分解彻底。 四、能力提升题 14. 解：原式$$=(101+99)(101-99)=200×2=400$$。利用平方差公式将大数平方运算转化为简单加减乘运算，简化计算过程。 五、拓展探究题 15. 解：长方形面积=长×宽，原式$$=(4a+3b)(4a-3b)=16a^2-9b^2$$。将$$a=2，b=1$$代入，得$$16×2^2-9×1^2=64-9=55$$，即草坪实际面积为55。 练习总结：利用平方差公式因式分解的关键是识别“平方相减”的结构，牢记二项、异号、皆平方的特征。解题核心步骤为先观察是否有公因式，提尽公因式后再套用公式，同时掌握整体换元思想，将多项式整体看作底数进行分解，杜绝分解不彻底、结构判断错误等常见问题。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.3.1利用平方差公式进行因式分解 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解． 学习目标 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a－b)米 a2－b2=(a+b)(a－b) 复习导入 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 探索新知 (5x)2 － (2y)2 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x－2y). x x y y + ( ) ( － ) x2 － y2 = 解：原式= 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， × 下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 － ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） － a2 － b2 － (a2+b2) y2－x2 （3） － x2 + y2 （4）x2 － 25y2 (x+5y)(x－5y) （5）m2 － 1 (m+1)(m－1) √ √ × √ 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. + ( ) ( － ) x x y y x2 － y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝(x2)2－(y2)2 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 练习 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析 多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3(x＋y)(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再运用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 1. 下列多项式：； ； ；； ； .能用平方差公式因式分解的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 11 返回 4 2．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)·(2x－3)，则n＝________． 3.因式分解： ___________________ ____. 举一反三 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 练习 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝(x2)2－32 ＝(x2＋3)(x2－3) ＝(x2＋3)[ x2－()2 ] ＝(x2＋3)(x＋)(x－). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝(6.1＋3.9)(6.1－3.9) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝(0.12＋0.88)(0.12－0.88) ＝1×(－0.76)＝－0.76. 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. 针对训练 ＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ). ＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ). 解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 ) ＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 ) (2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b ) ＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b ) 当堂检测 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝( x2 )2－32 ＝( x2＋3 )( x2－3 ) ＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ] ＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 当堂检测 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 ) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 ) ＝1×(－0.76 )＝－0.76. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 当堂检测 例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n. 因为 n 为整数， 所以8n 一定能被 8 整除， 方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 当堂检测 例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值． 所以 x - y＝ - 2 ②. 解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2， x ＋ y ＝ 1 ①， 联立 ①② 组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值. 当堂检测 4. 下面是明明同学把多项式 分解因式的具体步骤： 第一步 第二步 第三步 第四步 举一反三 21 （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是 __________________； 公因式没有提取完 （2）请给出这个问题的正确解法. 【解】原式 . 返回 举一反三 22 【解】原式＝(x－y)a2－(x－y)＝(x－y)(a2－1) ＝(x－y)(a＋1)(a－1)． 5. 把下列多项式因式分解： (1)(x－y)a2－x＋y; 　　　 (2)18(a－b)2－50(a＋b)2. 【解】原式＝2[9(a－b)2－25(a＋b)2]＝2[3(a－b)＋5(a＋b)][3(a－b)－5(a＋b)]＝2(3a－3b＋5a＋5b)(3a－3b－5a－5b)＝2(8a＋2b)(－2a－8b)＝－8(4a＋b)(a＋4b)． 返回 举一反三 23 返回 6. ［长沙市北雅中学期末］若, ,则 的值为( ) A A. 12 B. 4 C. 6 D. 举一反三 24 7. 可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数 是( ) A A. 17，15 B. 17，16 C. 15，16 D. 13，14 返回 举一反三 25 平方差公式分解因式 公式 a2 － b2 = (a + b)(a － b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 谢谢观看 THANKS $