专题01 相似三角形的应用（5大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01 相似三角形的应用 一、核心思想：数学建模 　　1.建模流程：现实生活情境 → 抽象几何图形 → 识别相似三角形 → 利用相似对应边成比例列方程求解 → 还原现实情境检验结果合理性。 　　2.两类投影区分 　　　　①平行投影（太阳光）：光线互相平行，同一时刻物高与影长成正比； 　　　　②中心投影（路灯、台灯）：光线汇聚于点光源，物高和影长不成固定比例，关键点：光源、物体顶端、影子顶端三点共线。 二、三大传统测量模型 1.影子测高模型（平行投影） 　　原理：同一时刻太阳光平行，构造直角三角形相似； 　　比例关系：物高与影长之比相等，即 ； 　　注意：影子部分落在墙面、台阶上，不能直接套用原始比例，需要分割图形作辅助线。 2.平面镜反射测高模型（物理光的反射） 　　原理：反射角等于入射角，得到两组直角相等，利用AA判定两个直角三角形相似； 　　比例关系：。 3.标杆测量模型 　　原理：人眼、标杆顶端、被测物体顶端三点共线；过观测点作地面平行线，拆分出两组相似直角三角形； 　　适用场景：物体底部不可直接到达的高度测量。 三、测距（测河宽、池塘宽度） 　　1.构造A型、X型（8字）相似三角形，把不可直接测量距离转化为可以实地丈量的线段； 　　2.优先构造直角三角形，降低计算难度；保证关键点处在同一条直线上。 四、视线与盲区 　　1.视线是直线，障碍物顶端、眼睛、盲区临界点三点共线； 　　2.盲区：视线被障碍物遮挡，无法观察到的区域，通过相似计算盲区长度、范围。 五、三角形内接图形（裁剪类） 　　1.三角形内部裁剪矩形、正方形，矩形一边落在三角形底边上，剩余两个顶点落在两条腰上； 　　2.平行于底边的直线截三角形，得到小三角形与原三角形相似，相似比等于对应高之比。 【基础必考题型】 【题型1】平行投影：利用影子测物体高度（含墙面影子） 解题方法技巧 　　1.识别太阳光平行投影，优先使用"同一时刻物高比影长相等"； 　　2.影子全部落在水平地面：直接列比例方程求解； 　　3.影子部分落在竖直墙面：过墙面上影子端点作地面平行线，分割图形，构造小的A字型相似； 4.求出结果必须检验长度为正数。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意可证明，则，据此求出的长即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：金字塔的高度为． 【变式题1-2】.（2025·江苏扬州·三模）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 【题型2】利用A、X型相似测量不可直接到达的宽度（河宽、池塘宽） 解题方法技巧 　　1.审题标记目标线段（不可测距离），找到实地可以丈量的线段； 　　2.根据题意构造A型或者X型（8字）相似，保证关键点共线； 　　3.找准对应边列出比例式求解未知宽度； 4.注意区分点在线段上还是在线段延长线上。 【例题2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 【答案】河的宽度大致为96.7米 【分析】观察图中的对顶角相等和一组直角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，然后根据“相似三角形对应边成比例”，求解未知边长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段河道的示意图．请运用相似三角形的知识，设计一个测量河道宽度的方案，并说明设计依据． 【答案】解：方案如下： 如图所示，在河岸上取A、B两点，过点B作河岸的垂线交的延长线于点C，测量出的长度，即可求出的长度． 设计依据如下：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴只需要知道的长度即可求出的长度． 【分析】在河岸上取A、B两点，过点B作河岸的垂线交的延长线于点C，测量出的长度，通过证明，得到，据此可得答案． 【详解】略 【变式题2-3】.1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得 ， ，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 【培优高频题型】 【题型3】三角形内接正方形、矩形基础裁剪计算 解题方法技巧 　　1.三角形内接矩形/正方形，矩形底边落在三角形底边上，上方小三角形和原大三角形相似； 　　2.相似比等于"小三角形的高∶原三角形的高"； 　　3.设正方形边长或者矩形一边为未知数，表达出小三角形的高； 4.根据相似比列方程求解。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】设这个正方形的边长为厘米，可证明四边形是矩形，得到，则，证明，得到，据此建立比例式求解即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为厘米， ∵四边形是正方形， ∴； ∵是的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长为48厘米． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·广东清远·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1) 证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； (2) (3) 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、矩形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（1）类似，证明，则，求出，与（2）同理，证明四边形是矩形，即，再求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 【题型4】中心投影（路灯灯光）影子综合问题 解题方法技巧 　　1.路灯属于点光源，光源点、物体顶端、影子顶端三点共线； 　　2.多个影子问题，每一组影子单独构造一组A型相似； 　　3.动点行走类：用时间t表示移动距离，建立含参数的比例方程； 4.可结合代数式，求影子总长、影子端点移动速度。 【例题4】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 【变式题4-1】.（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 【答案】(1) 如图所示，折线为路灯杆在太阳光下的影子 (2)路灯杆的高度为m 【分析】（1）同一时刻，太阳光线是平行的，据此即可求解； （2）作，交于点，易证，根据相似的性质可得出的长度，根据矩形的判定定理得出四边形是矩形，依据矩形的性质得出的长度，即可得到的高度． 【详解】（1）解：同一时刻，太阳光线是平行的， 连接，过点C作一条直线与平行，交于点F， 光线被围墙挡住，落在围墙上的部分为，地面部分， 所以，路灯杆在太阳光下的影子为折现； （2）解：过点F作，交于点H，如答案图中所示， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：路灯杆的高度为m． 【压轴素养题型】 【题型5】视线盲区问题（生活情境：车辆盲区、墙体遮挡） 解题方法技巧 　　1.核心条件：眼睛、障碍物顶端、盲区边界点三点在一条直线； 　　2.抽象出直角三角形，利用AA证明相似； 　　3.立体简化为平面几何模型； 4.新情境：汽车安全盲区，结合现实生活进行判断、计算长度。 【例题5】.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 【变式题5-1】.（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：在四边形中，， 四边形是平行四边形， ． (2)的长度为． 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，进而得到． （2）先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的判定定理证明出，根据相似三角形的性质建立比例式，最后结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， ． 【变式题5-2】.（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 【变式题5-3】.（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 【题型6】平面镜反射与标杆测高基础计算 解题方法技巧 　　1.平面镜题型：利用光反射定律得到角相等，用AA证明直角三角形相似； 　　2.标杆题型：过观测者眼睛作地面的水平线，把图形拆分为上下两部分； 　　3.分清人高、标杆高、被测物高，区分地面上各个水平距离； 　　4.大题必须写出相似证明，不可以直接套用结论。 【例题6】.（2026·河南平顶山·三模）中国文字博物馆位于河南省安阳市，是我国首座以文字为主题的国家级博物馆，馆前字坊造型取自甲骨文中的“字”之形.小聪和小颖利用所学知识测量中国文字博物馆馆前字坊的高度（大门底部不可达），如图，小聪先站在点处，用测角仪测得从眼睛处看字坊顶端的仰角为；然后小颖在小聪与大门之间的线段上放一平面镜（平面镜大小厚度不计），经过不断调整，当平面镜放在处时，小聪刚好在镜子中看到字坊顶端的像，这时测得，已知，，，求馆前字坊的高度.（结果精确到） 【答案】 【分析】过点作于点，则四边形为矩形，设，在Rt中，解直角三角形得，再证，然后利用相似的性质解出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 设，则， 在Rt中，， ∴， 由题知， ∴， 即， 解得， 答：馆前字坊的高度约为． 【变式题6-1】.（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型7】跨学科综合：小孔成像、光学透镜中的相似应用 解题方法技巧 　　1.物理背景：小孔成像、凸透镜实像，光线直线传播，形成X型（8字）相似三角形； 　　2.读懂题干给出的物理定义，不需要额外记忆物理知识，只提取几何条件； 　　3.找准物高、像高、物距、像距，对应相似三角形对应边； 　　4.结合探究小问，证明成像比例规律。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 【答案】具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半 【分析】设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x，根据得到，据此求出x即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x， 由题意得，，且， ∴， ∴， ∴， ∴具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为， 答：具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定与性质求出，证明，，得出，，联立解方程组即可． 【详解】解：∵都与垂直， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，（经检验，符合题意）， 答：像的长为． 【变式题7-2】.（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． (1)当时，证明：，并据此完成填空； (2)证明：． 【答案】(1) 证明：记左边点F为，右边点F为，则， 过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为， 则四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴在两倍焦距处成倒立等大的实像； 等大 (2) 证明：由（1）得， ∴， ∴两边取倒数得：， ∴两边同时除以得：，即． 【分析】（1）记左边点F为，右边点F为，则，过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，四边形是矩形，，故，，，，继而得出，从而得到，则，再用证明，从而得到，可知在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）由（1）得，则，再两边取倒数并除以即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-3】.（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 ①．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； ②．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； ③．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； ④．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； ⑤．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【答案】（1）①设，，，， ∵，， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 即规律1得证． ②连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，即规律2得证． （2）或 （3）或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，得到，证明，得到，即可推导解题即可； ②连接，即可得到四边形为平行四边形，证明，即可得到结论； （2）根据题意可证，，根据对应边成比例解答即可； （3）分为或两种情况，根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）解：设物体的长为a，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，即蜡烛和透镜的距离为或． （3）解：或或． ①当时， ∵， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴，即 ∴，（舍去） ∴． ②当时 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即 ∴，， ∴或， 综上所述，u的值为或或． 　1.相似三角形的应用本质是数学建模：把生活实际问题，转化成课本学过的相似三角形，所有测量方法，全部来源于AA、SAS、SSS相似判定，答题时不能只写模型名称，要写出角度条件证明相似。 　　2.三大测量手段：影子、平面镜、标杆；测距依靠A字型、8字型；裁剪问题重点记住：平行底边截得小三角形和原三角形相似，相似比等于高之比。 　　3.解题必做四步：画示意图→证相似→列比例方程→检验现实合理性。 　　4.注意两类投影区分：太阳光（平行投影，物高影长比值固定）；路灯灯光（中心投影，三点共线，比值不固定）。 　　5.创新考法趋势：数学文化古文阅读、物理跨学科光学、生活器械抽象建模、测量方案评价与误差分析，需要先读懂情境，再剥离出几何条件。 【对应练习题】 一、单选题 1．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 3．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 二、填空题 4．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 5．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 【答案】20 【分析】由得到，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 对应60等份，对应等份，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小玻璃管口径是． 6．如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为__________米． 【答案】6 【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 设梯子的长为x米， ，，， ， ，即梯子的长度为6米． 三、解答题 7．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆（即），当他距标杆时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆距电视塔的距离是，求电视塔的高度． 【答案】 【分析】过点F作于点H，交于点G，可证明四边形是矩形，四边形是矩形，则可推出的长，证明，得到，据此求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于点H，交于点G， ∴； 由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：电视塔的高度为． 8．在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 【答案】宝塔的塔高为 【分析】由同一时刻同一地点太阳光平行得结合两个直角证，设，通过相似所列比例式用表示出，再表示出，然后证明，通过对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：同一时刻同一地点太阳光平行，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：宝塔的塔高为． 9．如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【答案】(1)能拍摄外高为的景物 (2)相机的焦距应调整为 【分析】（1）先证明，可得，将相关数据代入求解即可； （2）由（1）的关系式，将相关数据代入求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． ∵像高，焦距是，物距为， 解得， ∴能拍摄外高为的景物； （2）解：∵拍摄高为的景物，物距为，像高不变， ∴由（1）可得， 解得， ∴相机的焦距应调整为． 10．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的应用 一、核心思想：数学建模 　　1.建模流程：现实生活情境 → 抽象几何图形 → 识别相似三角形 → 利用相似对应边成比例列方程求解 → 还原现实情境检验结果合理性。 　　2.两类投影区分 　　　　①平行投影（太阳光）：光线互相平行，同一时刻物高与影长成正比； 　　　　②中心投影（路灯、台灯）：光线汇聚于点光源，物高和影长不成固定比例，关键点：光源、物体顶端、影子顶端三点共线。 二、三大传统测量模型 1.影子测高模型（平行投影） 　　原理：同一时刻太阳光平行，构造直角三角形相似； 　　比例关系：物高与影长之比相等，即 ； 　　注意：影子部分落在墙面、台阶上，不能直接套用原始比例，需要分割图形作辅助线。 2.平面镜反射测高模型（物理光的反射） 　　原理：反射角等于入射角，得到两组直角相等，利用AA判定两个直角三角形相似； 　　比例关系：。 3.标杆测量模型 　　原理：人眼、标杆顶端、被测物体顶端三点共线；过观测点作地面平行线，拆分出两组相似直角三角形； 　　适用场景：物体底部不可直接到达的高度测量。 三、测距（测河宽、池塘宽度） 　　1.构造A型、X型（8字）相似三角形，把不可直接测量距离转化为可以实地丈量的线段； 　　2.优先构造直角三角形，降低计算难度；保证关键点处在同一条直线上。 四、视线与盲区 　　1.视线是直线，障碍物顶端、眼睛、盲区临界点三点共线； 　　2.盲区：视线被障碍物遮挡，无法观察到的区域，通过相似计算盲区长度、范围。 五、三角形内接图形（裁剪类） 　　1.三角形内部裁剪矩形、正方形，矩形一边落在三角形底边上，剩余两个顶点落在两条腰上； 　　2.平行于底边的直线截三角形，得到小三角形与原三角形相似，相似比等于对应高之比。 【基础必考题型】 【题型1】平行投影：利用影子测物体高度（含墙面影子） 解题方法技巧 　　1.识别太阳光平行投影，优先使用"同一时刻物高比影长相等"； 　　2.影子全部落在水平地面：直接列比例方程求解； 　　3.影子部分落在竖直墙面：过墙面上影子端点作地面平行线，分割图形，构造小的A字型相似； 4.求出结果必须检验长度为正数。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度． 【变式题1-2】.（2025·江苏扬州·三模）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【题型2】利用A、X型相似测量不可直接到达的宽度（河宽、池塘宽） 解题方法技巧 　　1.审题标记目标线段（不可测距离），找到实地可以丈量的线段； 　　2.根据题意构造A型或者X型（8字）相似，保证关键点共线； 　　3.找准对应边列出比例式求解未知宽度； 4.注意区分点在线段上还是在线段延长线上。 【例题2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段河道的示意图．请运用相似三角形的知识，设计一个测量河道宽度的方案，并说明设计依据． 【变式题2-3】.1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【培优高频题型】 【题型3】三角形内接正方形、矩形基础裁剪计算 解题方法技巧 　　1.三角形内接矩形/正方形，矩形底边落在三角形底边上，上方小三角形和原大三角形相似； 　　2.相似比等于"小三角形的高∶原三角形的高"； 　　3.设正方形边长或者矩形一边为未知数，表达出小三角形的高； 4.根据相似比列方程求解。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【变式题3-1】.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【变式题3-3】.（25-26九年级上·广东清远·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【题型4】中心投影（路灯灯光）影子综合问题 解题方法技巧 　　1.路灯属于点光源，光源点、物体顶端、影子顶端三点共线； 　　2.多个影子问题，每一组影子单独构造一组A型相似； 　　3.动点行走类：用时间t表示移动距离，建立含参数的比例方程； 4.可结合代数式，求影子总长、影子端点移动速度。 【例题4】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【变式题4-1】.（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 【压轴素养题型】 【题型5】视线盲区问题（生活情境：车辆盲区、墙体遮挡） 解题方法技巧 　　1.核心条件：眼睛、障碍物顶端、盲区边界点三点在一条直线； 　　2.抽象出直角三角形，利用AA证明相似； 　　3.立体简化为平面几何模型； 4.新情境：汽车安全盲区，结合现实生活进行判断、计算长度。 【例题5】.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【变式题5-1】.（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【变式题5-2】.（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【变式题5-3】.（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【题型6】平面镜反射与标杆测高基础计算 解题方法技巧 　　1.平面镜题型：利用光反射定律得到角相等，用AA证明直角三角形相似； 　　2.标杆题型：过观测者眼睛作地面的水平线，把图形拆分为上下两部分； 　　3.分清人高、标杆高、被测物高，区分地面上各个水平距离； 　　4.大题必须写出相似证明，不可以直接套用结论。 【例题6】.（2026·河南平顶山·三模）中国文字博物馆位于河南省安阳市，是我国首座以文字为主题的国家级博物馆，馆前字坊造型取自甲骨文中的“字”之形.小聪和小颖利用所学知识测量中国文字博物馆馆前字坊的高度（大门底部不可达），如图，小聪先站在点处，用测角仪测得从眼睛处看字坊顶端的仰角为；然后小颖在小聪与大门之间的线段上放一平面镜（平面镜大小厚度不计），经过不断调整，当平面镜放在处时，小聪刚好在镜子中看到字坊顶端的像，这时测得，已知，，，求馆前字坊的高度.（结果精确到） 【变式题6-1】.（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【题型7】跨学科综合：小孔成像、光学透镜中的相似应用 解题方法技巧 　　1.物理背景：小孔成像、凸透镜实像，光线直线传播，形成X型（8字）相似三角形； 　　2.读懂题干给出的物理定义，不需要额外记忆物理知识，只提取几何条件； 　　3.找准物高、像高、物距、像距，对应相似三角形对应边； 　　4.结合探究小问，证明成像比例规律。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 【变式题7-1】.（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 【变式题7-2】.（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． (1)当时，证明：，并据此完成填空； (2)证明：． 【变式题7-3】.（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 ①．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； ②．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； ③．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； ④．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； ⑤．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 　1.相似三角形的应用本质是数学建模：把生活实际问题，转化成课本学过的相似三角形，所有测量方法，全部来源于AA、SAS、SSS相似判定，答题时不能只写模型名称，要写出角度条件证明相似。 　　2.三大测量手段：影子、平面镜、标杆；测距依靠A字型、8字型；裁剪问题重点记住：平行底边截得小三角形和原三角形相似，相似比等于高之比。 　　3.解题必做四步：画示意图→证相似→列比例方程→检验现实合理性。 　　4.注意两类投影区分：太阳光（平行投影，物高影长比值固定）；路灯灯光（中心投影，三点共线，比值不固定）。 　　5.创新考法趋势：数学文化古文阅读、物理跨学科光学、生活器械抽象建模、测量方案评价与误差分析，需要先读懂情境，再剥离出几何条件。 【对应练习题】 一、单选题 1．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 5．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 6．如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为__________米． 三、解答题 7．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆（即），当他距标杆时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆距电视塔的距离是，求电视塔的高度． 8．在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 9．如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 10．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $