专题3.5 图形的位似（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上学期

专题3.5 图形的位似 知识点1：位似图形的概念 　　1.定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点 C、C′ 所在直线都经过同一点 O，且有，那么这两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫位似中心，k 叫相似比。 　　2.位置：位似中心可以在两图形同侧、异侧，也可以在其中一个图形边上或内部。 比较项 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 位似是相似的特殊情况 知识点2：位似图形的性质 　　1.连线共点：位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心。 　　2.距离之比：任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 　　3.线段平行：对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等。 　　4.相似性：位似图形必相似，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 知识点3：位似图形的画法 　　1.位似变换：利用位似图形性质把图形放大或缩小。 　　2.步骤：①确定位似中心 O；②连接位似中心与关键点；③按相似比找出对应点；④顺次连接各点，得到位似图形。 知识点4：平面直角坐标系中的位似变换 　　1.坐标变换：以原点为位似中心，把多边形各顶点坐标都乘同一个数 k（），所得图形与原图形位似，相似比为 |k|。若原顶点为（x，y），对应点为（kx，ky）。 　　2.正负号：k>0 时两图形在原点同侧，k<0 时在原点异侧。 变换 坐标规律 平移 横坐标或纵坐标加（减）平移单位长度 轴对称 关于 x 轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称反之 旋转 180° 横、纵坐标都互为相反数 位似（原点） 对应点横、纵坐标之比绝对值等于相似比 【基础必考题型】 【题型1】识别位似图形 1.核心知识点 　　位似图形的定义；位似与相似的区别。 2.解题方法技巧 　　①判断是否相似； 　　②检验对应点连线是否交于一点（位似中心）； ③相似图形未必位似，位似必相似。 【例题1】.（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形． 【变式题1-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，D选项的相似图形是位似图形，C选项的相似图形不是位似图形． 【题型2】作位似图形 1.核心知识点 　　位似图形画法步骤；网格作图。 2.解题方法技巧 　　①确定位似中心与相似比； 　　②按比例连接中心与关键点找出对应点； ③顺次连接各点，注意放大缩小的方向。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 【答案】如图，四边形即为所作： 【分析】根据位似的性质作图即可． 【详解】略 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 【答案】或 【分析】根据位似比确定原顶点的对应点，然后顺次连接对应点，即可得到所求三角形． 【详解】解∶如图：在线段上取点，满足．在线段上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 如图：在线段的反向延长线上取点，满足．在线段的反向延长线上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知与点在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画，使与它的相似比为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似； （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)请在图中标出位似中心O的位置，并以点O为原点建立平面直角坐标系； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到，画出图形，此时点的坐标为______； (3)请以点O为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为． 【答案】(1)位似中心O的位置及平面直角坐标系如图所示： (2)如图所示； (3)如图所示： 【分析】（1）连接、、，交点即为点； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据相似比为，确定新三角形顶点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）略； （2）图略， 由图可得点的坐标为； （3）略． 【题型3】判断位似中心 1.核心知识点 　　位似中心是对应点连线的交点。 2.解题方法技巧 　　①连接两组对应点； 　　②两条连线的交点即位似中心； ③在网格或坐标系中由连线确定坐标。 【例题3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 【变式题3-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A与点E对应．已知，求这两个正方形的位似中心的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键．连接并延长交轴于，因为正方形和正方形是位似图形，可得，则，可得，则可得坐标． 【详解】解：如图，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． ， ． 正方形和正方形是位似图形， ， ，即， 解得， ∴这两个正方形的位似中心的坐标为． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·全国·单元复习）画出图（）、（）中的位似中心． 【答案】 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】略 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1) 如下图所示，点即为位似中心；坐标是； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】求对应线段长 1.核心知识点 　　位似图形对应线段之比等于位似比。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比； 　　②由已知线段与位似比求未知线段； ③注意对应线段平行或共线关系。 【例题4】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴与位似，点为位似中心， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）一棵树小孔成像的示意图如图所示．已知和是以点O为位似中心的位似图形．若像高，像距（小孔到像的距离），物高，则物距为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用位似图形的性质，对应边成比例，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，列方程即可求出物距的长度． 【详解】解：，， 由题意得，， ，即， 解得：． 【变式题4-3】.（2026·广东深圳·二模）中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主体纹饰与辅助纹饰的相似比为即可求解. 【详解】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为， ∴， ∵， ∴ ． 【题型5】由周长比求周长 1.核心知识点 　　位似图形周长比等于位似比。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k； 　　②周长比＝k，由已知周长求另一周长； ③周长差、和时设元列方程。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为6，则四边形的周长为（     ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】由题意得出四边形四边形且四边形的周长四边形的周长，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形四边形， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为12． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24． 【变式题5-2】.（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即．再根据相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件求出相似比，进而求出的周长． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且等于相似比． ， ． 与的相似比为． 相似三角形的周长比等于相似比，． 的周长等于， 的周长． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【题型6】由面积比求面积 1.核心知识点 　　位似图形面积比等于位似比的平方。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k，面积比＝k²； 　　②由已知面积与面积比求未知面积； ③注意面积比是相似比的平方。 【例题6】.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ， 的面积是2， 的面积为18， 故选：B． 【变式题6-1】.（2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义可知与相似，由对应点、的坐标求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点是对应点， ， 相似比， ， 的面积是2， 的面积． 【变式题6-2】.（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于1， ∴的面积为． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 【压轴素养题型】 【题型7】求位似图形的对应坐标 1.核心知识点 　　原点位似时对应点坐标满足（kx，ky）；求对应点。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k（含正负号）； 　　②用 k 乘已知点坐标得对应点坐标； ③由位似中心与对应点关系列式求解。 【例题7】.（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 【答案】 【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出B、C间的横坐标的长度，、C间的横坐标的长度，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为，、C间的横坐标的长度为， ∵与的位似比为， ∴， 解得：． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】结合位似的性质可得答案． 【详解】解：∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，点的对应点为 ∴的坐标为，即． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且相似比为； (2)把绕坐标原点O逆时针旋转得到，画出； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，点P即为所求． 点P的坐标为 【分析】（1）将点A、B、C的横、纵坐标分别乘以得出点、、的坐标，然后在坐标系中找出点、、再顺次连接即可； （2）先根据旋转找出点、、的对应点、、，再顺次连接即可； （3）先作出点关于x轴的对称点，再连接，交x轴于一点，该点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，即的周长最小； 根据题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 【题型8】与位似有关的规律探究 1.核心知识点 　　连续位似、等边三角形、正方形的位似规律探究。 2.解题方法技巧 　　①观察每次位似的相似比与坐标变化； 　　②归纳一般规律，用字母表示； 　　③代入具体项求坐标、面积等。 【例题8】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 【变式题8-1】.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 【变式题8-2】.（2026·江西宜春·二模）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 【变式题8-3】.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 易错点 1、混淆位似与相似，相似图形未必位似。 2、位似中心判断错误，未连接对应点找交点。 3、求位似比时对应点、对应边找错。 4、坐标系位似中忽略 k 的正负号，同侧异侧判断错。 5、面积比误当位似比，忘记是相似比的平方。 6、作位似图形时对应点定位错误。 重点 1、理解位似图形的定义与位似中心、相似比。 2、掌握位似图形的性质（连线共点、距离比、平行）。 3、会判断、绘制位似图形。 4、掌握坐标系中的位似变换与周长比、面积比。 难点 1、判断位似中心与求位似比。 2、坐标系位似变换中坐标与相似比的计算。 3、位似与三角形、中位线综合问题。 4、连续位似的规律探究。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 图形的位似 知识点1：位似图形的概念 　　1.定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点 C、C′ 所在直线都经过同一点 O，且有，那么这两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫位似中心，k 叫相似比。 　　2.位置：位似中心可以在两图形同侧、异侧，也可以在其中一个图形边上或内部。 比较项 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 位似是相似的特殊情况 知识点2：位似图形的性质 　　1.连线共点：位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心。 　　2.距离之比：任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 　　3.线段平行：对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等。 　　4.相似性：位似图形必相似，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 知识点3：位似图形的画法 　　1.位似变换：利用位似图形性质把图形放大或缩小。 　　2.步骤：①确定位似中心 O；②连接位似中心与关键点；③按相似比找出对应点；④顺次连接各点，得到位似图形。 知识点4：平面直角坐标系中的位似变换 　　1.坐标变换：以原点为位似中心，把多边形各顶点坐标都乘同一个数 k（），所得图形与原图形位似，相似比为 |k|。若原顶点为（x，y），对应点为（kx，ky）。 　　2.正负号：k>0 时两图形在原点同侧，k<0 时在原点异侧。 变换 坐标规律 平移 横坐标或纵坐标加（减）平移单位长度 轴对称 关于 x 轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称反之 旋转 180° 横、纵坐标都互为相反数 位似（原点） 对应点横、纵坐标之比绝对值等于相似比 【基础必考题型】 【题型1】识别位似图形 1.核心知识点 　　位似图形的定义；位似与相似的区别。 2.解题方法技巧 　　①判断是否相似； 　　②检验对应点连线是否交于一点（位似中心）； ③相似图形未必位似，位似必相似。 【例题1】.（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】作位似图形 1.核心知识点 　　位似图形画法步骤；网格作图。 2.解题方法技巧 　　①确定位似中心与相似比； 　　②按比例连接中心与关键点找出对应点； ③顺次连接各点，注意放大缩小的方向。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知与点在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画，使与它的相似比为． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)请在图中标出位似中心O的位置，并以点O为原点建立平面直角坐标系； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到，画出图形，此时点的坐标为______； (3)请以点O为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为． 【题型3】判断位似中心 1.核心知识点 　　位似中心是对应点连线的交点。 2.解题方法技巧 　　①连接两组对应点； 　　②两条连线的交点即位似中心； ③在网格或坐标系中由连线确定坐标。 【例题3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式题3-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A与点E对应．已知，求这两个正方形的位似中心的坐标． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·全国·单元复习）画出图（）、（）中的位似中心． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【培优高频题型】 【题型4】求对应线段长 1.核心知识点 　　位似图形对应线段之比等于位似比。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比； 　　②由已知线段与位似比求未知线段； ③注意对应线段平行或共线关系。 【例题4】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）一棵树小孔成像的示意图如图所示．已知和是以点O为位似中心的位似图形．若像高，像距（小孔到像的距离），物高，则物距为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·广东深圳·二模）中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【题型5】由周长比求周长 1.核心知识点 　　位似图形周长比等于位似比。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k； 　　②周长比＝k，由已知周长求另一周长； ③周长差、和时设元列方程。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为6，则四边形的周长为（     ） A．8 B．12 C．18 D．24 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【变式题5-2】.（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【题型6】由面积比求面积 1.核心知识点 　　位似图形面积比等于位似比的平方。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k，面积比＝k²； 　　②由已知面积与面积比求未知面积； ③注意面积比是相似比的平方。 【例题6】.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．24 【变式题6-1】.（2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式题6-2】.（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【压轴素养题型】 【题型7】求位似图形的对应坐标 1.核心知识点 　　原点位似时对应点坐标满足（kx，ky）；求对应点。 2.解题方法技巧 　　①确定位似比 k（含正负号）； 　　②用 k 乘已知点坐标得对应点坐标； ③由位似中心与对应点关系列式求解。 【例题7】.（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 【变式题7-1】.（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且相似比为； (2)把绕坐标原点O逆时针旋转得到，画出； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【题型8】与位似有关的规律探究 1.核心知识点 　　连续位似、等边三角形、正方形的位似规律探究。 2.解题方法技巧 　　①观察每次位似的相似比与坐标变化； 　　②归纳一般规律，用字母表示； 　　③代入具体项求坐标、面积等。 【例题8】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【变式题8-1】.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 【变式题8-2】.（2026·江西宜春·二模）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 易错点 1、混淆位似与相似，相似图形未必位似。 2、位似中心判断错误，未连接对应点找交点。 3、求位似比时对应点、对应边找错。 4、坐标系位似中忽略 k 的正负号，同侧异侧判断错。 5、面积比误当位似比，忘记是相似比的平方。 6、作位似图形时对应点定位错误。 重点 1、理解位似图形的定义与位似中心、相似比。 2、掌握位似图形的性质（连线共点、距离比、平行）。 3、会判断、绘制位似图形。 4、掌握坐标系中的位似变换与周长比、面积比。 难点 1、判断位似中心与求位似比。 2、坐标系位似变换中坐标与相似比的计算。 3、位似与三角形、中位线综合问题。 4、连续位似的规律探究。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $