2027年中考数学一轮复习难题攻克专题解析之专题有理数

**基本信息** 该专项通过分层设计的有理数问题，系统整合方程思想、逻辑推理与实际建模，形成“概念-运算-应用”三阶训练体系，突出核心素养导向。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数运算|选择1/5|方程消元法|概念生成：通过数量关系构建方程链| |科学记数法|选择2/7|指数定位法|原理推导：小数与指数的转化规则| |新定义运算|填空9/15|定义转化法|符号抽象：新运算与代数表达的转换| |实际应用|解答16/20|优化建模法|应用拓展：从生活问题抽象数学模型|

2027年中考数学复习难题速递之有理数 一．选择题（共7小题） 1．有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将每两张卡片上的数字相加，所得两数之和记录如表： 卡片编号 A、B B、C C、D D、E E、A 两数的和 56 58 35 60 53 以下说法错误的是（　　） A．A卡片上的数最小 B．C卡片上的数大于D卡片上的数 C．B卡片上的数最大 D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小 2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约0.000000000335m．数据0.000000000335用科学记数法表示为（　　） A．0.335×10﹣9 B．3.35×10﹣10 C．3.35×1010 D．3.35×10﹣9 3．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，计算326×53，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①b的值小于3； ②a的值为偶数； ③5m﹣n＝﹣6； ④b﹣c＝1． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若A点的坐标为（x﹣y，xy），则满足条件的点A有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 5．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 6．如图，a，b，a+b在数轴上的对应点分别是A，B，P，则a﹣b在数轴上的对应点位于（　　） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 7．据科技部生物中心消息，中国科学技术大学的研究团队开发了微米分辨率的肿瘤组织磁成像技术，相关成果已于2022年2月在《PNAS》发表．已知1微米＝0.000001米，数据“0.000001”用科学记数法表示为（　　） A．1×10﹣5 B．0.1×10﹣6 C．1×10﹣6 D．0.1×10﹣5 二．填空题（共8小题） 8．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为　 　 元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为　 　 元． 9．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若，则f（2）＝　 　 ；若，那么　 　 ． 10．在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮B啮合，齿轮B与齿轮C啮合，且齿轮A有32齿，齿轮B有24齿，齿轮C有48齿，齿轮A的转速为180圈/分钟，那么齿轮C的转速是 　 　 圈/分钟． 11．有一游戏，规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）．这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 54 66 59 71 48 则卡片上的数最大的是　 　 ．（填卡片编号） 12．陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们三人的服务． 13．已知跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，其下降的高度d（m）和下降的时间t（s）之间的关系可近似地表示为d＝5t2（不计空气阻力），则跳伞运动员在打开降落伞前下降1125m需要　 　 s． 14．期中考试之后学校让学生自主设计一次外出活动，学校为每个班级提供2000元活动经费．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，还需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套）（包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 已知这个班级共有学生42人，每辆车限定载客45人． （1）在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买　 　 个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）． （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有　 　 种购买方案． 15．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0，每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如（1011）2表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： （1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝13， （1110011）2＝1×26+1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝115， （163）8＝1×82+6×81+3×80＝115， 故（1101）2＝13，115＝（1110011）2＝（163）8． （1）大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 （011）2 （111）2 （2）八卦符号共有8种组合：（000）2～（111）2，转换成十进制数后对应0～7，也可以看成八进制的0～7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数；再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾＝（111）2＝7．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． （3）先秦文献《世本•作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 17．现在黑板上写x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若x＝2，y＝5，z＝3，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若x+y+z＝2026，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 18．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等． 记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； （2）如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，a+b﹣3．为了求出a+b的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于a+b的不等式，进而可求出a+b的值； 小林说：观察整个图形，找到S与a+b的关系，进而求出a+b的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出a+b的值． 19．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． 【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　 ； 【应用】（2）根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝2，求（x﹣y）2的值； 【拓展】（3）如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC边向上分别作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，点E在CD上，连接AE，若AB＝11，DE＝3，求△ACE的面积． 20．定义新运算：a⊗b＝3（a﹣b）． （1）试说明a⊗b+b⊗a＝0； （2）设整式C满足C⊗（2x）＝3x﹣6，求整式C． 2027年中考数学复习难题速递之有理数（2026年7月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B D B A C C 一．选择题（共7小题） 1．有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将每两张卡片上的数字相加，所得两数之和记录如表： 卡片编号 A、B B、C C、D D、E E、A 两数的和 56 58 35 60 53 以下说法错误的是（　　） A．A卡片上的数最小 B．C卡片上的数大于D卡片上的数 C．B卡片上的数最大 D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小 【考点】有理数的加法．版权所有 【专题】实数；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】通过观察表格数据，分别列出A+B＝56，B+C＝58，C+D＝35，D+E＝60，E+A＝53，再将5个方程相加之后得出A+B+C+D+E＝131，最后分别计算出每个卡片的数值进行比较即可． 【解答】解：设卡片上的数分别是A、B、C、D、E， 由题意得：A+B＝56，B+C＝58，C+D＝35，D+E＝60，E+A＝53， 将5个方程相加后整理得：A+B+C+D+E＝131， ∴A＝131﹣B﹣C﹣D﹣E＝131﹣（B+C）﹣（D+E）＝131﹣58﹣60＝13， B＝131﹣A﹣C﹣D﹣E＝131﹣（A+E）﹣（C+D）＝131﹣53﹣35＝43， C＝131﹣A﹣B﹣D﹣E＝131﹣（A+B）﹣（D+E）＝131﹣56﹣60＝15， D＝131﹣A﹣B﹣C﹣E＝131﹣（A+E）﹣（B+C）＝131﹣53﹣58＝20， E＝131﹣A﹣B﹣C﹣D＝131﹣（A+B）﹣（C+D）＝131﹣56﹣35＝40， ∴A＝13，B＝43，C＝15，D＝20，E＝40， ∵13＜15＜20＜40＜43，即A＜C＜D＜E＜B， ∴B选项是错误的符合题意，A、C、D选项正确不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法以及简单的逻辑推理和等量代换．解题的关键在于通过观察表格中数据的特征，利用“总和”的方法求出每张卡片上具体的数值，进而比较它们的大小． 2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约0.000000000335m．数据0.000000000335用科学记数法表示为（　　） A．0.335×10﹣9 B．3.35×10﹣10 C．3.35×1010 D．3.35×10﹣9 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【专题】实数；抽象能力． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：0.000000000335＝3.35×10﹣10， 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 3．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，计算326×53，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①b的值小于3； ②a的值为偶数； ③5m﹣n＝﹣6； ④b﹣c＝1． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数的乘法；正数和负数．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】D 【分析】由题意可得：a+4＝n，a+4＝3a﹣10m，其中0≤a≤5，0≤n≤9，a，n都为整数，可得a＝2，n＝6，再进一步求解即可． 【解答】解：如图， 由题意可得：a+4＝n，a+4＝3a﹣10m，其中0≤a≤5，0≤n≤9，a，n，m都为整数， ∴a＝2，n＝6， 其中a＝1，n＝5，a＝3，n＝7，a＝4，n＝8，a＝5，n＝9不符合题意， 如图， ∴m＝0，c＝0，b＝1， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③5m﹣n＝0﹣6＝﹣6；④b﹣c＝1﹣0＝1， ∴①②③④都正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，掌握新定义是解题的关键． 4．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若A点的坐标为（x﹣y，xy），则满足条件的点A有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】有理数的加法；点的坐标．版权所有 【专题】新定义；实数；推理能力；应用意识． 【答案】B 【分析】先算出九个数的和为135，再根据题意可知幻方和＝九数之和除以3，即幻方和＝135÷3＝45，由于x，y在对角线的角上，由此设方格中心数为m，最后利用利用线段组合的对数锁定角上数字即可得出组合． 【解答】解：9个数的和为：3+6+9+12+15+18+21+24+27＝135， ∴幻方和＝135÷3＝45， 设方格中心数为m，由于过中心格子的线有4条（一横，一竖，两对角线）， ∴这4条线数字的总和为：4×45＝180， ∴135+3m＝180，解得：m＝15， 由图可知，x，y，m，在同一条对角线上， ∴x+y+m＝45， ∴x+y＝30， 角上的数所在的三条线之和均为45， ∴同一线上另外两数之和＝45﹣角上的数，若角上数字为9，则两数之和＝45﹣9＝36， ∴组合仅有：（12，24）和（15，21）， ∴本题中四个角上的数字只能是：6，12，18，24， ∵x，y在角上，且x+y＝30， ∴x，y的组合为（6，24）或（12，18）， 当时，A（﹣18，144），当时，A（18，144）， 当时，A（﹣6，216），当时，A（6，216）， 综上所述，满足条件的点A共有4个， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法、新定义三阶幻方，本题的解题关键是找到核心规律：幻方和＝九数之和除以3、中心数＝幻方和除以3、利用线段组合的对数锁定角上数字． 5．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；应用意识． 【答案】A 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 数轴上表示1，﹣2，3，﹣3的点，到原点的距离分别为1，2，3，3， 因为1＜2＜3， 所以与原点最近的是表示1的点． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 6．如图，a，b，a+b在数轴上的对应点分别是A，B，P，则a﹣b在数轴上的对应点位于（　　） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】C 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， a+b＜a＜b， 所以b＜0， 则a＜b＜0． 由a＞a+b得， a﹣b＞a． 因为AP＜AB， 则a﹣（a+b）＜b﹣a， 所以﹣b＜b﹣a， 则a﹣b＜b， 所以a＜a﹣b＜b， 即a﹣b在数轴上的对应点位于点A和点B之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 7．据科技部生物中心消息，中国科学技术大学的研究团队开发了微米分辨率的肿瘤组织磁成像技术，相关成果已于2022年2月在《PNAS》发表．已知1微米＝0.000001米，数据“0.000001”用科学记数法表示为（　　） A．1×10﹣5 B．0.1×10﹣6 C．1×10﹣6 D．0.1×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【专题】实数；抽象能力． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000001＝1×10﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 二．填空题（共8小题） 8．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为　0　 元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为　284　 元． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）0； （2）284． 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过20kg，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为0； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过20kg搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【解答】解：（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过20kg，验证存在两箱价值相等的合规分装方案如下： 所有商品的总重量为4×1.2+4×3.5+3×1.8+5×0.3＝25.7kg， 总价值为4×18+4×49+3×26+5×6＝376元， 根据题意需尽量让两箱价值接近总价值的一半188元，同时每箱重量不超过20kg， 存在可行分装方案：第一箱装2件洗衣液、3件洗洁精和2件香皂， 重量为2×3.5+3×1.8+2×0.3＝13kg， 价值为2×49+3×26+2×6＝188元； 第二箱装2件洗衣液、4件卷纸和3件香皂， 重量为2×3.5+4×1.2+3×0.3＝12.7kg， 价值为2×49+4×18+3×6＝188元； 两箱价值相等，差值最小为0元； 故答案为：0； （2）优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择4件洗衣液时重量为4×3.5＝14kg，剩余4件总重量需不超过6kg，选择2件洗洁精和2件卷纸，总重量为2×1.8+2×1.2＝6kg，刚好符合不超过6kg， 此时总价值为4×49+2×26+2×18＝284元； 若选择5件洗衣液重量为17.5kg，剩余3件最高价值组合为1件洗洁精加2件香皂，总价值为5×49+26+12＝283元，低于284元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为284元． 故答案为：284． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 9．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若，则f（2）＝　　 ；若，那么　　 ． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】计算题；新定义；运算能力． 【答案】；． 【分析】将f（2）化为f（1+1）＝f（1）•f（1），再代入计算即可； 根据新运算法则得出，从而求解即可． 【解答】解：∵， ∴f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）； ∵， ∴． 故答案为：；． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算法则是解题的关键． 10．在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮B啮合，齿轮B与齿轮C啮合，且齿轮A有32齿，齿轮B有24齿，齿轮C有48齿，齿轮A的转速为180圈/分钟，那么齿轮C的转速是 　120　 圈/分钟． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】探究型；推理能力． 【答案】120． 【分析】根据“齿数与转速成反比”，即可得出答案． 【解答】解：（1）48：32＝3：2， 180120（圈/分钟）， 故答案为：120． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键掌握齿数与转速成反比． 11．有一游戏，规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）．这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 54 66 59 71 48 则卡片上的数最大的是B ．（填卡片编号） 【考点】有理数的加法．版权所有 【专题】开放型；应用意识． 【答案】B． 【分析】根据题意可得A+B＝54①，B+C＝66②，C+D＝59③，D+E＝71④，E+A＝48⑤，再分别求出5个数，最后比较急即可． 【解答】解：由题意可得：A+B＝54①，B+C＝66②，C+D＝59③，D+E＝71④，E+A＝48⑤， ①+②+③+④+⑤可得2（A+B+C+D+E）＝298， 则A+B+C+D+E＝149⑥， ⑥﹣①﹣③可得E＝36， ⑥﹣②﹣⑤可得D＝35， ⑥﹣⑤﹣③可得B＝42， ⑥﹣②﹣④可得A＝12， ⑥﹣①﹣④可得C＝24， ∵42＞36＞35＞24＞12． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查有理数的加法，理解题意是解题的关键． 12．陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　75　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　120　 min可以完成为他们三人的服务． 【考点】有理数的混合运算；有理数的加法．版权所有 【专题】优选方案问题；方案型；推理能力． 【答案】（1）75； （2）120． 【分析】先做会产生“长静置”的工序：优先做会触发R静置的工序，让顾客进入等待状态，理发师利用这段时间做其他人工工序．人工工序必须串行，静置工序可并行：同一时间只能做1项人工工序，但多个顾客的R静置可以和其他顾客的人工工序同时进行． 【解答】解：（1）拆解两人的工序与耗时 爸爸：仅D工序，20min（无静置）， 妈妈：C（25）→R（≥30）→D（20）， 理论串行总耗时：25+30+20＝75 min； （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①0～10min：完成陈老师的工序A，耗时10min，结束后陈老师开始第一次静置，最早40min可以做B， ②10～35min：完成妈妈的工序C，耗时25min，结束后妈妈开始静置，最早为65min可以做D， ③35～40min：短暂空闲5min，等待陈老师第一次静置完成， ④40～60min：完成陈老师的工序B，耗时20min，结束后陈老师开始第二次静置，最早90min可做D， ⑤60～80min：完成爸爸的工序D，耗时20min，爸爸理发完成， ⑥80～100min：完成妈妈的工序D，耗时20min，妈妈理发完成， ⑦100～120min：完成陈老师的工序D，耗时20min，陈老师理发完成， 总时间为120min，该安排为最优安排，故最短时间为120 min． 故答案为：（1）75；（2）120． 【点评】这是统筹规划（时间优化）问题，属于初中数学中“多任务车间调度”的简化模型．在资源（理发师）有限的约束下，通过工序顺序优化，将“静置等待时间”转化为“有效工作时间”，实现总耗时最短． 13．已知跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，其下降的高度d（m）和下降的时间t（s）之间的关系可近似地表示为d＝5t2（不计空气阻力），则跳伞运动员在打开降落伞前下降1125m需要　15　 s． 【考点】有理数的减法．版权所有 【专题】方程思想；运算能力． 【答案】15． 【分析】先代入求值，再结合实际情况确定t的值即可． 【解答】解：根据题意，把d＝1125代入d＝5t2得： 5t2＝1125， 化简得：t2＝225， 解得：t＝15或t＝﹣15（不合题意，舍去）． 故答案为：15． 【点评】此题代入求值是关键． 14．期中考试之后学校让学生自主设计一次外出活动，学校为每个班级提供2000元活动经费．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，还需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套）（包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 已知这个班级共有学生42人，每辆车限定载客45人． （1）在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买　19　 个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）． （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有　6　 种购买方案． 【考点】有理数的混合运算；列代数式．版权所有 【专题】实数；整式；运算能力． 【答案】（1）19； （2）6． 【分析】（1）由30÷2＝15（元），15＜16＜20，可得出当购买纪念品套装越多时，购买纪念品的数量越多，利用数量＝总价÷单价，可求出购买纪念品套装的套数，结合余数大于16等于20，可得出本次活动最多能够买19个纪念品； （2）设购买x套纪念品套装，y个纪念品徽章，则购买个纪念品冰箱贴，分x＝1，3，5，7四种情况考虑，结合y，均正整数，即可得出符合题意的方案共有6种． 【解答】解：（1）∵30÷2＝15（元），15＜16＜20， ∴当购买纪念品套装越多时，购买纪念品的数量越多， ∵（2000﹣1500﹣5×42）÷30＝9（套）……20（元），20＞16，20＝20， ∴9×2+1＝19（个）， ∴本次活动最多能够买19个纪念品． 故答案为：19； （2）设购买x套纪念品套装，y个纪念品徽章，则购买个纪念品冰箱贴， 当x＝1时，∵y，均是正整数， ∴y可以为5，10，15； 当x＝3时，∵y，均是正整数， ∴y可以为5，10； 当x＝5时，∵y，均是正整数， ∴y可以为5； 当y＝7时，∵y，均是正整数， ∴y无解，不符合题意，舍去， 综上所述，符合题意的方案共有3+2+1＝6（种）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出购买纪念品冰箱贴的数量． 15．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　8　 ． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】8 【分析】根据定义，得（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，解得即可． 【解答】解：（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了实数新定义计算，正确理解定义是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0，每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如（1011）2表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： （1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝13， （1110011）2＝1×26+1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝115， （163）8＝1×82+6×81+3×80＝115， 故（1101）2＝13，115＝（1110011）2＝（163）8． （1）大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 （011）2 （111）2 （2）八卦符号共有8种组合：（000）2～（111）2，转换成十进制数后对应0～7，也可以看成八进制的0～7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数；再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾＝（111）2＝7．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． （3）先秦文献《世本•作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 【考点】有理数的混合运算；数学常识．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】（1）（100）2、（101）2； （2）会徽中对应年份为2021年； （3）m的值为3． 【分析】（1）八卦符号与二进制数的对应，根据“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0，结合表格中已有符号的对应关系，可推出对应的二进制数； （2）徽中符号对应年份的计算，二进制转十进制：将徽中四个二进制数分别转换为十进制数，组合成四位数；八进制转十进制：将该四位数视为八进制数，转换为十进制数，得到年份． （3）判断自然数m是否存在，表示数量：根据满m进一和满4进一规则，分别表示两农户的牛羊数量；建立方程：令两农户数量相等，解方程判断是否存在自然数m． 【解答】解：（1）根据题意可得后两个符号对应的二进制为（100）2和（101）2， 故答案为（100）2、（101）2； （2）∵， ， ， ， 故四个数为3745，把3745看作8进制进行转化成十进制如下： 5×80＝2021， 故会徽中对应的年份为2021年； （3）存在， 由题意和农户打结的图可知A农户的牛羊数量为（213）m， B农户的牛羊数量为（120）4， 由两户牛羊数量相等可列方程为： 2×m2+1×m1+3×m0＝1×42+2×41+0×40， 化简为：2m2+m﹣21＝0， 因式分解可得：（2m+7）（m﹣3）＝0， 解得：（舍），m2＝3， 故m的值为3． 【点评】本题考查二进制、八进制、四进制、任意进制转化为十进制的方法． 17．现在黑板上写x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若x＝2，y＝5，z＝3，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若x+y+z＝2026，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【考点】有理数的加法．版权所有 【专题】数学建模思想；推理能力． 【答案】（1）当x＝2，y＝5，z＝3，故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）当x+y+z＝2026时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）利用一步一步擦去不同字母补上字母C即可推理证明； （2）利用余数的特征进行推理证明； 【解答】 （1）证明：因为x＝2，y＝5，z＝3， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C，C， ②再擦去A、B，写上C、C 即为B、B、B、C、C、C、C、C，C、C， ③再擦去B、C，写上A、A 即为A、A、B、B、C、C、C、C，C、C， ④再擦去A、B，写上C、C 即为A、B、C、C、C、C、C、C，C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C 即为C、C、C、C、C、C、C、C，C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）证明：因为x+y+z＝2026， 2026÷3＝675……1， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设x≥y，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到（x﹣y）个A，0个B，（z+2y）个C， 若x＝y，则此时全是C，即可证明， 若x＞y，因为x，y除以3余数相同，故（x﹣y）是3的倍数，假设（x﹣y）÷3＝k， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，（m﹣1）个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，（m+1）个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，（m+3）个C， 重复上述操作k次，就把（x﹣y）个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当x+y+z＝2026时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【点评】本题考查代数逻辑推理能力． 18．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等． 记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； （2）如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，a+b﹣3．为了求出a+b的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于a+b的不等式，进而可求出a+b的值； 小林说：观察整个图形，找到S与a+b的关系，进而求出a+b的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出a+b的值． 【考点】有理数的加法．版权所有 【专题】数与式． 【答案】（1）4，5，12； （2）6或9． 【分析】（1）设两个空白方格中，左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12； （2）设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得S＝6（a+b），最后由S为整数，以及4≤a+b≤9，求出a+b的值． 【解答】解：（1）左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， ∴两个空白方格中，从左到右依次应填4，5，每个圆圈上的三个数字之和为：3+x+y＝3+4+5＝12， 故答案为：4，5，12； （2）设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白“口”应填的数为y， ∵每个圆圈上的三个数字之和为S， ∴， ∴①+②+③得：4a+4b﹣6+（m+x+y）＝3S，即x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6，整理得x+y＝2S+6﹣3（a+b）， ∵所有填入的数字之和为：1+2+3+4+5+6＝x+y+m+a+b+（a+b﹣3）， ∴x+y+m+2（a+b）＝24， ∵x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6， ∴24﹣2（a+b）＝3S﹣4（a+b）+6， ∴S＝6（a+b）， ∵4≤a+b≤9，S为整数， ∴a+b＝6或9． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． 【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ； 【应用】（2）根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝2，求（x﹣y）2的值； 【拓展】（3）如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC边向上分别作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，点E在CD上，连接AE，若AB＝11，DE＝3，求△ACE的面积． 【考点】数学常识；完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）（x﹣y）2＝8； （3）S△ACE＝14． 【分析】（1）根据图2中大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形的边长为a﹣b，进而可得出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）设BC＝CE＝n，AC＝DC＝m，依题意得DE＝CD﹣CE＝m﹣n＝3，AB＝AC+BC＝m+n＝11，根据（1）的结论得mn＝28，由此可得△ACE的面积． 【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）根据（1）结论得，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵x+y＝4，xy＝2， ∴42﹣（x﹣y）2＝4×2， ∴（x﹣y）2＝42﹣4×2＝8； （3）设AC＝m，BC＝n， 由题意可得：BC＝CE＝n，AC＝DC＝m， ∴DE＝CD﹣CE＝m﹣n＝3，AB＝AC+BC＝m+n＝11， ∴4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝112﹣32＝8×14， ∴mn＝28， ∴． 【点评】本题考查完全平方式的几何背景，正确进行计算是解题关键． 20．定义新运算：a⊗b＝3（a﹣b）． （1）试说明a⊗b+b⊗a＝0； （2）设整式C满足C⊗（2x）＝3x﹣6，求整式C． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】计算题；新定义；整式；运算能力． 【答案】（1）a⊗b+b⊗a ＝3（a﹣b）+3（b﹣a） ＝3a﹣3b+3b﹣3a ＝0； （2）C＝3x﹣2． 【分析】（1）根据新定义进行变形即可求解； （2）根据新定义得到方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）a⊗b+b⊗a ＝3（a﹣b）+3（b﹣a） ＝3a﹣3b+3b﹣3a ＝0； （2）依题意有3（C﹣2x）＝3x﹣6， 3C﹣6x＝3x﹣6， 3C＝9x﹣6， C＝3x﹣2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，关键是对新定义运算的熟练掌握． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $