15.3.2等边三角形 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

八上数学 RJ 15.3 等腰三角形 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 1.类比等腰三角形的研究经验，探索等边三角形的性质和判定. 2.能够利用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，提升推理能力. 1．三角形按边的相等关系分类 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形. 等边三角形 　　等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 复习 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？ 情景引入 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 问题引入 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？ A B C 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴 性质3 等边三角形每条边上的中线, 高和所对角的平分线都三线合一. 归纳总结 等边三角形的性质 边 角 对称性 三边相等 三角相等=60° 三线合一； 轴对称图形，三条对称轴 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数. 跟踪训练1 解　∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. (西峰区期末)如图，AD 是等边△ABC 的中线，AE = AD，求∠EDC 的度数. 解：∵ AD 是等边△ABC 的中线， ∴ AD ⊥ BC，∠BAD =∠CAD = ∴∠ADC = 90°. ∵AE = AD， ∴∠EDC=∠ADC- ∠ADE=15°. 练一练 探究二 对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 知识点2:等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 三边相等(等边三角形的定义) 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 练一练 用几何语言表示： ∵　在Rt△ABC中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半. ∴　BC = AB． A B C 探究新知 【例】如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m， ∠A =30°，立柱BC，DE 要多长？ 例题解析 A B D E C 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法一 ∵ AB∥DC，∠A=60°， ∴∠ADC=120°. ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠ADC=60°. ∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°. ∴∠ABD=∠ADB=∠A. ∴△ABD是等边三角形. 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法二 ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB. ∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB， ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. 又∠A=60°. ∴△ABD 是等边三角形 (2) 等边三角形的性质: 1.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. (3) 等边三角形的判定: 1.三边都相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形. (1) 等边三角形的定义: 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 边角互相转化思想 本节课学习了哪些知识点呢？ 含30°角的直角三角形的性质 内容—在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注意—前提条件：在直角三角形中 使用要点—①找准30 °的角所对的直角边. ②作辅助线，构造含30°角的直角三角形. 牛刀小试 1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm。 9 2、如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于 。 30° 3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 分析：（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形 ∠BAC =×60°= 30°. ∴∠ADE =∠AED = = 75°. 4.如图，在中，，，，点D从点A出发以的速度向点C运动，同时点E从点C出发以的速度向点B运动，运动的时间为，解决以下问题：（2）当t为何值时，为直角三角形？ 证明：（2）①当为直角时，， ，，； ②当为直角时，， ，，， 当t的值为或3时，为直角三角形. $