专题01 三次函数的图象和性质7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦三次函数的图象和性质专题，系统涵盖单调性、极值、最值、零点、切线、对称及根与系数关系七大核心考法，构建从知识要点到解题技能的完整复习体系。 清单采用题型脑图梳理考法框架，考法深研细化解题步骤，如单调性问题中导函数判别式分类讨论、极值问题中极值点判定规则，培养学生数学思维与逻辑推理能力。配套例题覆盖选择、填空、解答题，标注易错点与解题技巧，助力学生自主复习，教师可精准把握备考方向。

专题01 三次函数的图象和性质 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 三次函数的单调性问题 1. 标准三次函数 ，求导得二次导函数 ； 2. 单调性判定核心看导函数判别式 ： ①：恒不变号， 全程单调递增， 全程单调递减，无极值； ②： 有两不同实根 ； ： 递增， 递减； ： 递减， 递增； ③：导函数仅有一重零点，函数在上单调； 3. 含参单调恒成立：区间上单调递增恒成立；单调递减恒成立，转化二次函数恒成立判别式/分离参数； 4. 复合三次型：结合同增异减，同时保证内层、外层定义域； 5. 分段三次：分段各自单调+分段点左段函数值≤(增)/≥(右段)函数值。 1．（2026高三·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·期末）函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 3．（2026高三·上海·期末）若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 4．（2026高三·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 5．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 6．（2026高三·北京·阶段检测）已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（2026高三·四川眉山·期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A． B．3 C． D． 8．（天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学试卷）已知函数，则不等式的解集为__________． 9．（2026高三·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 10．（2026高三·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 题型02 三次函数的极值问题 1. 极值存在前提：导函数二次方程有两个不等实根； 2. 判定规则：在零点左右符号改变才是极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点； 3. 已知极值/极值点求参： ①极值点满足； ②极值点对应函数值等于给定极值，联立方程，事后检验左右导数符号，排除重根无极值情况； 4. 极值点韦达：两根之和，可快速求极值点之和； 5. 方程有三解：极大值且极小值； 6. 切线与极值结合：切点导数为斜率，极值点切线水平。 11．（2026高三·湖北武汉·期末）函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·广东深圳·期末）三次函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 13．（2026高三·广东深圳·期末）已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 14．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高三学期期末学业质量测评数学试题）函数的所有极值点之和为_____. 15．【多选】（2026高三·云南楚雄·期末）已知是函数的极大值点，则（    ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 16．（2026高三·天津武清·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出a，b的值； (2)若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 17．（2026高三·天津和平·期末）已知函数在处取得极小值2． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 19．【多选】（2026高三·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 20．（2026高三·河南南阳·期末）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； (3)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 题型03 三次函数的最值问题 1. 闭区间最值标准步骤： ①求导找出全部极值点，筛选落在区间内的极值点； ②计算区间端点与区间内极值； ③全部数值对比，最大为最大值，最小为最小值； 2. 开区间存在最值条件：最值只能在区间内极值点取得，要求极大/极小值为全局唯一高低点，端点趋向无穷无最值； 3. 含参区间：移动区间边界，分极值点在区间内、左侧、右侧三类讨论； 4. 恒成立最值转化：恒成立；恒成立。 21．（四川成都市2025-2026学年高三学期定时练习数学试题）函数的最小值为________. 22．（2026高三·上海·期末）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 23．（2026高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 24．（2026高三·天津东丽·阶段检测）已知曲线在坐标原点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求在上的最值. 题型04 三次函数的零点问题 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 25．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）已知函数，则方程的实数根个数可能为（   ） A．1 B．5 C．6 D．9 26．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，，都有 27．【多选】（2026高三·安徽芜湖·期末）已知函数则下列命题正确的有（    ） A．若在定义域上是增函数，则 B．若的极小值点与极小值均为0，则 C．若有两个正的零点和极值0，则 D．对，在函数的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组 28．【多选】（2026高三·安徽·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的极大值为 B．若，则函数有极小值点 C．若在区间上单调递减，则的最大值为 D．若函数恰有个零点，则的值为 29．【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 30．【多选】（2026高三·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 31．（2026高三·湖北·期末）设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（   ） A． B． C． D． 32．【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 33．（2026高三·北京·竞赛）设为整数，且函数在区间内正好有两个不同零点，所有满足条件的整数的和为______. 34．（四川攀枝花市2025-2026学年高三学期教学质量监测数学样卷）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 35．（山东济南市2025-2026学年高三学期期末学情检测数学试题）已知函数，其中． (1)若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； (2)若有3个不同的零点，求的取值范围． 36．（2026高三·重庆·期末）已知在处取得极大值. (1)求在点处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数. 题型05 三次函数的切线问题 1. 切点在曲线上（）： 斜率，切线方程； 2. 点不在曲线上（过定点作切线）： 设切点，写出切线方程，代入定点坐标，整理关于的三次方程； 方程实根个数=切线条数：1根1条切线、2根2条、3根3条； 3. 公切线：两条曲线导数相等+切点纵坐标相等联立参数； 4. 切线与零点结合：切线水平等价于切点为极值点。 37．（2026高三·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 38．（2026高三·安徽·阶段检测）已知曲线在点处的切线的斜率为12，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)讨论方程的解的个数． 39．【多选】（2026高三·河北承德·期末）实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（   ） A．函数在区间上有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象与直线有3个不同的交点 D．直线与函数的图象相切 40．（2026高三·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 三次函数的对称问题 1. 核心结论：任意三次函数 图像唯一对称中心： 横坐标 ，对称中心 ； 2. 对称中心等价条件： 对任意恒成立； 3. 导数对称性质：三次函数中心对称导二次函数关于直线轴对称； 4. 极值对称：两个极值点横坐标关于对称中心对称，即；两点连线中点为对称中心； 5. 拓展：三次图像上任意两点关于中心对称，四点可构成平行四边形，有无穷多组。 41．【多选】（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（     ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．若，则的最小值为 D．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 42．【多选】（2026高三·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 43．【多选】（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 44．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）设函数，则（   ） A．当时， B．直线是曲线的切线 C．点是曲线的对称中心 D．存在，，使得当时， 45．【多选】（2026高三·江西赣州·期末）已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 题型07 三次函数根与系数的关系 设三次方程 三个实数根为，展开对比系数得韦达公式： 1. 2. 3. 衍生推论：（） 应用场景：已知根的和/积求参数、已知直线与三次三交点，快速求和、中点坐标、对称中心。 46．【多选】（广东惠州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（     ） A．的图象的对称中心为 B． C． D． 47．【多选】（2026高三·安徽芜湖·期末）已知函数（），则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极值点 B．若函数有两个零点和，则 C．若不是函数的极值点，则 D．若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三次函数的图象和性质 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 三次函数的单调性问题 1. 标准三次函数 ，求导得二次导函数 ； 2. 单调性判定核心看导函数判别式 ： ①：恒不变号， 全程单调递增， 全程单调递减，无极值； ②： 有两不同实根 ； ： 递增， 递减； ： 递减， 递增； ③：导函数仅有一重零点，函数在上单调； 3. 含参单调恒成立：区间上单调递增恒成立；单调递减恒成立，转化二次函数恒成立判别式/分离参数； 4. 复合三次型：结合同增异减，同时保证内层、外层定义域； 5. 分段三次：分段各自单调+分段点左段函数值≤(增)/≥(右段)函数值。 1．（2026高三·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 2．（2026高三·全国·期末）函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 【答案】B 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 因此函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 3．（2026高三·上海·期末）若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意，得对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，得对于恒成立， 当时，对于恒成立，满足题意； 当时，函数在上是严格增函数， 则，即，解得（舍去）或. 综上所述，的取值范围是. 4．（2026高三·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于在区间上恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，，变形得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值，， 当在上恒成立，可得， 所以实数a的最大值为. 5．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数（且）在区间上单调递减，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知函数为对数型复合函数，外层为对数函数，内层为含绝对值的三次函数，需根据对数底数和两种情况分类讨论，结合复合函数“同增异减”的单调性规律，以及内层函数的单调区间、真数恒正的条件列不等式组求解. 【详解】设，令，解得或或，且，令，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 作出函数大致图象如下： ①当时，在区间上单调递减，因为函数在上的单调递减区间为， 所以，解得． ②当时，在区间上单调递增，因为函数在上的单调递减区间为，． 所以，解得． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题属于对数型复合函数单调性求参问题，核心解题方法为“同增异减”原则，即内外层函数单调性相同则复合函数为增函数，单调性相反则复合函数为减函数；遇到底数含参数的对数函数，必须对底数分和两类讨论. 6．（2026高三·北京·阶段检测）已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围. 【详解】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 7．（2026高三·四川眉山·期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】首先将题干中割线斜率大于的条件变形，可以构造新函数，将原不等式转化为在上单调递增的问题.因为可导函数在定义域上单调递增的充要条件是其导函数恒大于等于，所以对求导，得到关于的二次函数恒大于等于的条件;利用二次函数恒非负的判别式准则，建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围，进而得到最大值. 【详解】，都有， 不妨设，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， 可得： 移项整理得： 故函数是上的单调递增函数， 因为 , , 要满足在上单调递增，就要求：恒成立, 是开口向上的二次函数，要使其在上恒大于等于0， 只需二次函数的判别式即可,即 所以的取值范围是，因此实数的最大值为. 8．（天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学试卷）已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成，求解即可. 【详解】由，定义域为R， 求导得：恒成立， 即在R上单调递增， 所以等价于， 即，解得， 故不等式的解集为. 9．（2026高三·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为， 所以时，；时，； 由，得或， 所以． 10．（2026高三·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 题型02 三次函数的极值问题 1. 极值存在前提：导函数二次方程有两个不等实根； 2. 判定规则：在零点左右符号改变才是极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点； 3. 已知极值/极值点求参： ①极值点满足； ②极值点对应函数值等于给定极值，联立方程，事后检验左右导数符号，排除重根无极值情况； 4. 极值点韦达：两根之和，可快速求极值点之和； 5. 方程有三解：极大值且极小值； 6. 切线与极值结合：切点导数为斜率，极值点切线水平。 11．（2026高三·湖北武汉·期末）函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为. 12．（2026高三·广东深圳·期末）三次函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)在区间和上单调递增，在区间递减，极大值是，极小值是. 【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，求出函数的导数，利用和即可求解. 【详解】（1）由题意可知，函数，则， 可得，， 所以在处的切线方程为 ， 即， 解得，. （2）由（1）可得函数，则 ， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以在区间 和 上单调递增，在区间递减， 则函数的极大值是，函数的极小值是. 13．（2026高三·广东深圳·期末）已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为列方程解出的两个候选值，再分别代入导数分析左右单调性，检验是否为极小值点，舍去不符合条件的得到结果； （2）将代入函数，利用区间内分离参数，构造关于的二次函数，通过换元确定新变量取值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，则， 由函数在处取得极小值，得，解得，， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，； （2）由（1）得，， 不等式在恒成立， 即不等式在恒成立， 令，， 由，得，则，故， 所以时，取最大值， 所以，即的取值范围是． 14．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高三学期期末学业质量测评数学试题）函数的所有极值点之和为_____. 【答案】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值即得． 【详解】∵，∴ 令得或， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以为的极大值点，为的极小值点. 函数的所有极值点之和为. 15．【多选】（2026高三·云南楚雄·期末）已知是函数的极大值点，则（    ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 【答案】ACD 【分析】利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D. 【详解】函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 16．（2026高三·天津武清·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出a，b的值； (2)若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过极值点的定义对函数求导来求解. (2)根据函数单调性判断函数极值来求解取值范围. 【详解】（1）， 因为在和取极值，所以是的两个根， 韦达定理：， 解得． （2）由，得， ， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， ， 因此， 解得. 17．（2026高三·天津和平·期末）已知函数在处取得极小值2． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系列方程求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1），则. 由题意知，即，解得. 此时， 当时，；当时，； 所以在处取得极小值，满足题意. 综上，，. （2）由（1）得 ，. ， 令，即，解得 (舍去). 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，在处取得最小值，为. 又，. 综上，函数在区间上的最大值为10，最小值为2. 18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的极小值点为3，求得，利用导数确定函数的单调性及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 19．【多选】（2026高三·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 20．（2026高三·河南南阳·期末）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； (3)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)已知函数，若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为，化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）根据题意，求出，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于且极小值小于即可求解； （3）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【详解】（1）略. （2）已知函数，则， 由于是的极值点，所以，解得，所以，， 令，解得，， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 因此在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为， 要使有个不同的零点，要满足极大值大于且极小值小于， 即，解得，所以的取值范围是. （3）已知函数，则， 由于对任意的，且，恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于：对任意的，且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 题型03 三次函数的最值问题 1. 闭区间最值标准步骤： ①求导找出全部极值点，筛选落在区间内的极值点； ②计算区间端点与区间内极值； ③全部数值对比，最大为最大值，最小为最小值； 2. 开区间存在最值条件：最值只能在区间内极值点取得，要求极大/极小值为全局唯一高低点，端点趋向无穷无最值； 3. 含参区间：移动区间边界，分极值点在区间内、左侧、右侧三类讨论； 4. 恒成立最值转化：恒成立；恒成立。 21．（四川成都市2025-2026学年高三学期定时练习数学试题）函数的最小值为________. 【答案】－2 【分析】根据题意，求导得，求得函数的极大值，即可得到结果. 【详解】函数， 则， 令，得或（舍）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 则当时，函数有极小值，即最小值为. 22．（2026高三·上海·期末）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求函数导数判断单调性与极值点，结合开区间存在最大值的约束条件列不等式组，求解得到的取值范围。 【详解】因为，所以，令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值4. 要使函数在区间存在最大值，则，解得， 所以满足条件的. 23．（2026高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； 极大值为，极小值为； (2)或 (3) 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值即可； （2）根据单调性和极值作出函数图像，结合图像确定参数范围即可； （3）根据题意可知最大值在处取得，则，再解不等式组即可． 【详解】（1）， 则的解为，的解为或， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为 （2）由（1）可得，函数的简要图像如下： 方程恰有一个实数解， 则或； （3）令，即， 解得或， 又函数在区间存在最大值，则最大值要在处取得， ，解得． 24．（2026高三·天津东丽·阶段检测）已知曲线在坐标原点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接根据切点在曲线上及导数的几何意义可得； （2）直接对函数求导，并求函数的极值，并列表判断可得. 【详解】（1）因为切点为原点，则 ，得. 又 ，斜率 ，得 . 因此 ，. （2）由（1）得 ，，令 得 或 ． 计算得 ，，，，比较得最大值为 ，最小值为 . 因此函数在上的最大值为，最小值为 . 题型04 三次函数的零点问题 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 25．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）已知函数，则方程的实数根个数可能为（   ） A．1 B．5 C．6 D．9 【答案】ABD 【详解】令，则. 因为，，当或时，单调递增；当时，单调递减，且，，且的值域为R，图像如图： 故当或时均有一个根，当时单调递增且值域为；当时单调递增且值域为； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有3个根，且单调递减且值域为； 故当或时均有一个根，即方程有一个实数根，故A正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程有5个实数根，故B正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程也有5个实数根； 故当时均有3个根，分别为，，，此时方程有9个实数根，故D正确. 26．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，，都有 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】A，因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的x恒成立，所以，解得，故A正确； B，令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； C，因为， 当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； D，设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，，都有，故D正确． 27．【多选】（2026高三·安徽芜湖·期末）已知函数则下列命题正确的有（    ） A．若在定义域上是增函数，则 B．若的极小值点与极小值均为0，则 C．若有两个正的零点和极值0，则 D．对，在函数的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组 【答案】BCD 【分析】选项A，利用导数判断三次函数单调性，需保证导函数判别式，推导得；选项B，通过极小值点与极小值均为0列方程，求得，再结合导数与极值的关系验证时成立；选项C，设二重正零点形式的函数，展开对比系数后用均值不等式证明；选项D，利用三次函数的中心对称性，可知存在无数组对称点构成平行四边形. 【详解】选项A，，因为在定义域上是增函数，所以，即，取，，满足题意，但，则A错误； 选项B，若的极小值点与极小值均为0，则，此时， 极值点为和，若是极小值点，则需满足，此时在处取极小值0，符合条件，所以，B正确； 选项C，设有两个正的零点，且其中一个极值为，因为极值点处函数值为，所以该点对应的零点为二重根， 设这个二重正零点为，另一个正零点为，则，且， 于是，展开得 ，所以 ， 要证 ，即证， 也就是证 ， 由均值不等式， ，当且仅当时取等号，但，故， 两边立方得 ，所以 ，C正确； 选项D，对于三次函数， ，令， 则，因为，所以图象关于点成中心对称，， 因为，所以当时有，，即图象关于点中心对称. 任取图象上两点，作关于对称中心的对称点，则四点构成平行四边形，这样的取法有无数种，D正确. 28．【多选】（2026高三·安徽·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的极大值为 B．若，则函数有极小值点 C．若在区间上单调递减，则的最大值为 D．若函数恰有个零点，则的值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用导数的求出函数的单调性即可判断AB；根据题意，得到在上恒成立，利用导数即可判断C；根据题意，利用导数分类讨论的范围，得到函数的单调性和极值即可判断D. 【详解】对于A，若，则，， 令，解得和， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极大值，极大值为，故A正确； 对于B，，，所以函数在定义域内单调递增，没有极值点，故B错误； 对于C，若在区间上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立， 由于函数在上的最小值为，所以，即的最大值为，故C正确； 对于D，，， 当时，，函数在定义域内为增函数，故函数不可能存在个零点，不符合题意； 当时，由，解得， 当时，；当时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则函数的极小值为，极大值为． 又函数恰有个零点，所以或者，解得，故D正确． 29．【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 【答案】AC 【详解】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 30．【多选】（2026高三·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 【答案】ACD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 31．（2026高三·湖北·期末）设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导，得到函数单调性和极值情况，根据零点个数得到，求出恰有三个零点的有序实数对共有个，从而得到概率 【详解】由a，，，，得有序实数对共有对， 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值且，在处取得极小值且， 由a，，得恒成立， 因此函数恰有三个零点，当且仅当，即，， 当时，b无解； 当时，； 当时，， 当，5，6，7时，， 满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为． 32．【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 【答案】BCD 【分析】本题为分段函数多选题，逐个分析选项即可：代入算函数值，判断A选项；分段求导找极值，判断B选项；分段解方程，统计零点数判断C选项；分析的单调性，结合的范围判断D选项的值域. 【详解】对于，故A错误； 对于B，当时，， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故在处取极大值，故B正确； 对于C，当时，，结合B选项知在时仅有一个零点. 当时，令，解得， 所以共2个零点，故C正确； 对于D，结合B，C选项，在上的图象为 由图象可知， 若，则函数在上的值域为， 故D正确. 33．（2026高三·北京·竞赛）设为整数，且函数在区间内正好有两个不同零点，所有满足条件的整数的和为______. 【答案】 【分析】由可得，令，其中，则直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，结合可得结果. 【详解】由可得，令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ，由可得，如下表所示： 减 极小值 增 极大值 减 又因为，，则，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因为，故实数的取值集合为， 因此满足条件的整数的和为. 34．（四川攀枝花市2025-2026学年高三学期教学质量监测数学样卷）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； （2）若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 35．（山东济南市2025-2026学年高三学期期末学情检测数学试题）已知函数，其中． (1)若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； (2)若有3个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）值域为 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导数，再代值求出；（ii）利用导数求出在给定区间上的最大值与最小值即得. （2）利用导数求出函数的极值，再利用三次函数的图象特征列出不等式组求解. 【详解】（1）（i）函数，求导得， 由在处的导数为0，得， 所以. （ii）由（i）得，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数在区间上的值域为. （2）由（1）知，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得，解得， 所以的取值范围是. 36．（2026高三·重庆·期末）已知在处取得极大值. (1)求在点处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2)①当或时，有一个零点； ②当或时，有两个零点； ③当时，有三个零点. 【分析】（1）由题意可得，，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）已知，则 因为在处取得极大值， 则，解得，，经检验，符合题意， 所以，， 故，， 则切线方程为，即. （2）令，所以， 的零点个数等价于的图像与直线的交点个数， 由（1）可知，，，令，解得或， 则，，的关系如下表： 单调递增 单调递减 单调递增 所以的极大值为，极小值为，如图所示， ①当或时，有一个零点； ②当或时，有两个零点； ③当时，有三个零点. 题型05 三次函数的切线问题 1. 切点在曲线上（）： 斜率，切线方程； 2. 点不在曲线上（过定点作切线）： 设切点，写出切线方程，代入定点坐标，整理关于的三次方程； 方程实根个数=切线条数：1根1条切线、2根2条、3根3条； 3. 公切线：两条曲线导数相等+切点纵坐标相等联立参数； 4. 切线与零点结合：切线水平等价于切点为极值点。 37．（2026高三·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)函数的单调递增区间为： ，递减区间为： (2)或 【分析】（1）先求出导函数，根据导函数正负得出函数单调区间即可； （2）先设切点为，再根据导函数得出切线斜率，再计算求解参数，最后带回得出切线方程. 【详解】（1）函数定义域为， 由函数，可得 ， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为： ； 递减区间为：. （2）因为点不在曲线上， 设切点为，所以 ， 所以切线方程为 ， 又因为在切线上，所以 ， 即 ，解得或 则， 当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 38．（2026高三·安徽·阶段检测）已知曲线在点处的切线的斜率为12，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)讨论方程的解的个数． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为，    ； (3)当或时，有一个解， 当或时，有两个解， 当时，有三个解 【分析】（1）应用切线及极值列式计算求解参数得出解析式； （2）根据导函数正负得出函数单调区间； （3）根据导数得出函数的单调性及极值，结合函数最值得出解的个数. 【详解】（1）由题意，，函数的定义域为R，可得． 因为函数在点处的切线的斜率为12， 所以① 又函数在处取得极值， 此时，　② 由①②可得， 所以函数． （2）由（1）知，，． 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为，． （3）由（1），（2）知，函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数的极大值为，， 函数的极小值为，， 当时，，当时，． 可知， 当或时，有一个解， 当或时，有两个解， 当时，有三个解． 39．【多选】（2026高三·河北承德·期末）实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（   ） A．函数在区间上有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象与直线有3个不同的交点 D．直线与函数的图象相切 【答案】ABD 【分析】对求导，利用导数确定单调区间、求出的极值可判断A、B；根据方程的实数根的个数可判断C；由，求得在点处的切线为即可判断D. 【详解】因为，，所以． 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在和处取得极值． 对于A，由以上分析，得函数在区间上有2个极值点，故A正确； 对于B，由以上分析，得函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数． 方程可化为，方程只有2个不同的实数根和， 所以函数的图象与直线只有2个交点，故C错误； 对于D，因为，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 所以直线与函数的图象相切，故D正确． 40．（2026高三·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围. 【详解】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 题型06 三次函数的对称问题 1. 核心结论：任意三次函数 图像唯一对称中心： 横坐标 ，对称中心 ； 2. 对称中心等价条件： 对任意恒成立； 3. 导数对称性质：三次函数中心对称导二次函数关于直线轴对称； 4. 极值对称：两个极值点横坐标关于对称中心对称，即；两点连线中点为对称中心； 5. 拓展：三次图像上任意两点关于中心对称，四点可构成平行四边形，有无穷多组。 41．【多选】（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（     ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．若，则的最小值为 D．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A，由题意 的定义域为 ， 因为 恒成立，当且仅当时， 所以在定义域内单调递增，A正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知 对恒成立，代入 整理得，令， 解得，所以的对称中心为 ，B正确； 选项C，因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时 ，C正确； 选项D，因为为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以 ，则， 故 ，得，D错误. 42．【多选】（2026高三·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心. 【详解】对于A：因为， 由，得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 对于B：因为当时，单调递增， 而当时，，所以，故B错误； 对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误； 对于D：因为，即， 所以点为函数的对称中心，故D正确. 43．【多选】（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 【答案】ABC 【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ， 知不是的对称中心，故D选项错误. 44．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）设函数，则（   ） A．当时， B．直线是曲线的切线 C．点是曲线的对称中心 D．存在，，使得当时， 【答案】BCD 【分析】判断函数单调性，结合不等式性质可判断A选项，利用导数的几何意义可判断B选项，根据函数对称性的概念直接可判断C选项，取，可判断D选项. 【详解】由已知，则， A选项：或时，时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，，则，A选项错误； B选项：设切点为，则切线斜率， 解得，或， 当时，切点为，此时切线方程为， 当时，切点为，此时切线方程为， B选项正确； C选项：由， 则，即函数关于中心对称； D选项：取，， 易知函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 即函数在上的值域为， 即当时，，D选项正确. 45．【多选】（2026高三·江西赣州·期末）已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 【答案】BD 【分析】求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判断B；令，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判断D. 【详解】A. ， 令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，A错误； B．法一：（图象平移）设， 此函数为奇函数，关于成中心对称， 因此的图象是向上平移2个单位得到的， 故关于成中心对称， 法二：（中心对称定义）由中心对称的定义， 得到=， 所以关于成中心对称，B正确； C. 因为， 令，得或，所以有2个零点，C错误; D.因为，设切点为，则切线斜率为 ，解得或， 当时，，切线方程为 ，即，D正确. 题型07 三次函数根与系数的关系 设三次方程 三个实数根为，展开对比系数得韦达公式： 1. 2. 3. 衍生推论：（） 应用场景：已知根的和/积求参数、已知直线与三次三交点，快速求和、中点坐标、对称中心。 46．【多选】（广东惠州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（     ） A．的图象的对称中心为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A根据判断；B根据得出即可；C根据三次函数的单调性得出；D根据即可. 【详解】因为， 所以的图象的对称中心为，故A正确； 因为是方程的三个根，所以， 即， 则， 则， 得，故B错误； 当或时，则在，上单调递增； 当时，在上单调递减； 则，即，则，故C正确； 因为，，所以， 因为， 则， 则，故D正确. 47．【多选】（2026高三·安徽芜湖·期末）已知函数（），则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极值点 B．若函数有两个零点和，则 C．若不是函数的极值点，则 D．若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】ACD 【分析】求导得到，判断两侧导数符号求解A，分析的根，取特殊情况验证求解B；求，结合题意并分类讨论判断是否为极值点判断C，利用三次函数中心对称性质证明三点共线判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，. 当时，，故与 同号； 当 时，，故与异号. 因此在两侧变号，是极值点，故A正确， 对于B，取，得到， 当时，可得，解得或， 此时两根之和为，故B错误. 对于C，由题意得，因为， 且，，所以， 当时，，且， 其中，，故与异号；而与同号. 因此在两侧异号，故不是极值点. 当时，在附近趋近于，故的符号由决定， 即与异号，两侧同号，故为极值点， 因此不是极值点等价于，故C正确. 对于D项，设直线过点和，则有三个根. 由于， 其二次项系数为，首项系数为，由韦达定理三根之和为. 已知，故，即点也在直线上，三点共线，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $