专题02 四心问题与奔驰定理10种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 四心问题与奔驰定理10种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 三角形重心的判断 1.核心逻辑 重心是三条中线交点；向量核心条件：；动点向量表达式若可以变形指向某条中线，则轨迹过重心。取边中点，利用向量加法的平行四边形法则，判断动点是否落在中线上。 2.解题步骤 ①看到向量式子，取三角形某一边中点； ②利用向量加减法化简，看是否可以写成与中线共线的向量； ③若动点始终在中线上，则轨迹经过重心； ④记住：重心分中线的比值（顶点到重心重心到中点）。 3.易错提醒 混淆重心向量公式；看不出中点条件，不会做向量变形；把重心当成到三顶点距离相等（那是外心）。 1．（2026高一·甘肃张掖·阶段检测）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 2．（2026高一·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3．（第2讲三点成一线系数和为一）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知点在所在的平面内，满足（），则动点的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【答案】D 【详解】令边上的高为，则有， 令边的中点为，则，因此，， 即，所以动点的轨迹一定通过的重心．故选：D． 5．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 题型02 重心性质的应用 1.核心逻辑 重心把三角形分成三块面积相等的小三角形；过重心的直线交两边，满足向量三点共线结论；可以结合余弦定理、数量积、函数求最值。 2.解题步骤 ①使用重心向量关系式做向量变形； ②过重心的直线：设参数，利用三点共线条件列等式求参数关系； ③面积问题：三块小三角形面积相等； ④求模长、数量积：向量平方，转化边长计算；求最值可以建系。 3.易错提醒 记错分中线比例；忽略三点共线条件；向量平方漏掉交叉数量积项。 6．（2026高一·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 7．（2026高一·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则______. 【答案】 【分析】利用重心的向量性质，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角. 【详解】由点O是的重心，可知：， 又，可设，则， 再由余弦定理得：， 又因为，所以. 故答案为： 8．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）如图，点G为的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则m＋n＝______． 【答案】1 【分析】延长交于，由于点G为△ABC的重心，可得，再将已知条件代入，利用三点共线可得， 【详解】延长交于，因为点G为△ABC的重心， 则， 所以 因为，， 所以， 因为三点共线， 所以. 故答案为：1 9．【多选】（2026高一·辽宁·期中）已知为的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确； ，D不正确. 故选：BC 10．【多选】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积是面积的 C．若，，则 D．若，，则当取得最小值时， 【答案】BCD 【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D． 【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错； ，B正确； ，， 是等腰三角形，， 是锐角，， ， ，C正确； 设，， ， 所以时，取得最小值， 此时， D正确． 故选：BCD． 题型03 三角形外心的判断 1.核心逻辑 外心是外接圆圆心，到三个顶点距离相等：； 向量条件：取边中点，，即外心与边中点连线垂直这条边。动点落在边的垂直平分线上，则轨迹过外心。 2.解题步骤 ①条件出现模长相等，直接判定在外心； ②取线段中点，做向量数量积，判断是否垂直，确认是否在垂直平分线上； ③两条垂直平分线交点即为外心。 3.易错提醒 把外心和重心混淆；数量积运算化简出错；直角三角形外心在斜边中点，容易忽略。 11．（2026高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【答案】A 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【详解】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 12．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 13．（2026高一·四川眉山·阶段检测）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论. 【详解】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心. 故选:B. 【点睛】本题考查三角形外心的向量表示，考查向量线性运算以及垂直的向量表示，考查数形结合思想，属于中档题. 14．（2026高一·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 15．（2026高一·安徽马鞍山·期中）点O在ABC所在的平面内，若，则O为ABC的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积运算，结合向量垂直的条件及三角形外心的定义即可求解. 【详解】分别取AB的中点为D，BC的中点为E，如图所示 则，， 由得， 所以，所以垂直平分线段， 由得, 所以，所以垂直平分线段， 所以点O为ABC的外心. 故选：D． 题型04 外心性质的应用 1.核心逻辑 外心到三顶点距离等于外接圆半径；常用技巧：取边中点，利用这个二级结论；可结合平方、数量积、三角函数求解。 2.解题步骤 ①遇到外心，优先取各边中点，利用垂直关系处理数量积； ②向量等式两边平方，结合外接圆半径进行计算； ③判断三角形形状，直角三角形外心在斜边中点； ④求参数：列方程组求解系数。 3.易错提醒 直接把当成；不会使用中点简化数量积计算。 16．（2026高一·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则______． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 18．（2026高一·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的形状，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由，可知点为的中点，且是的外心， 所以，又因为，则，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 19．（2026·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      20．（2026高三·北京·阶段检测）在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值. 【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且， ， 同理可得， ， 由，可得，即， 解得，，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 题型05 三角形内心的判断 1.核心逻辑 内心是角平分线交点；经典向量模型：，是方向单位向量；菱形模型，两个单位向量相加指向角平分线。 2.解题步骤 ①识别单位向量相加的结构，判定在角平分线上； ②两条角平分线交点即为内心； ③向量表达式有边长系数，可以联想奔驰定理。 3.易错提醒 分不清单位向量；把内心向量条件和重心搞混；忘记菱形模型的几何意义。 21．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 22．（河南省南阳市2025-2026学年高一学期期中质量评估数学试卷）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 23．（2026·四川南充·模拟预测）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 24．（2026高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 25．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例； 【详解】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 题型06 内心性质的应用 1.核心逻辑 内心到三边距离相等，等于内切圆半径；奔驰定理中内心对应系数为三边边长，即；角平分线定理配合向量运算。 2.解题步骤 ①已知内心，优先使用奔驰定理，得到三边比例； ②角平分线定理得到线段比例，转化向量； ③建系：求出内心坐标，进行坐标运算； ④结合内切圆面积公式。 3.易错提醒 奔驰定理内心的系数记混；角平分线比例搞反；计算内心坐标出错。 26．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 【答案】 【分析】借助奔驰定理，以此得出三角形三边之比，然后利用余弦定理计算即可 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 27．在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 28．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【答案】 【分析】根据为的内心，可以得到等式，由，，分别表示，，得到关于，，的等式，令两个等式相对应的系数相等即可. 【详解】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 故答案为：. 29．（2026高三·全国·一轮复习）设为的内心，，，，则______，______． 【答案】 /0.625 /0.3125 【分析】解法1：根据平面向量共线定理即可求解. 解法2：根据题意，以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，根据坐标运算即可求解. 【详解】解法1： ， 设为与的交点，如图所示， 由角平分线的性质知，， 故， 则有，解得. 解法2： 以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则，，． 又设，则，，． 因为是内心， 所以， 又，得，即，则， 所以，从而， 解得. 故答案为：. 30．（2026高一·广西柳州·期中）设为的内心，，，，则_______________ 【答案】 【分析】取中点，作，根据内心的特征可知；利用内切圆半径的求法可求得，由长度关系可求得，利用向量线性运算可表示出，由此可得. 【详解】取中点，连接，作，垂足分别为， ，为的角平分线，； 又，，，则； 周长，面积， 内切圆半径，， 又，， ，， ，，. 故答案为：. 题型07 三角形垂心的判断 1.核心逻辑 垂心是三条高线交点；向量核心条件：，，，即垂心与顶点连线垂直对边。 2.解题步骤 ①做向量数量积，若点和顶点连线与对边数量积为0，则垂直； ②满足两组垂直，该点即为垂心； ③外心条件结合向量变形推导垂心（）。 3.易错提醒 数量积为0代表垂直，不要写成向量等于0；混淆垂心与其他三心的向量条件。 31．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，则下列说法正确的是（    ） A．是的外心 B．是的内心 C．是的重心. D．是的垂心 【答案】D 【分析】首先利用数量积的运算公式变形，判断选项. 【详解】∵，∴， ∴，∴， 同理由，得到， ∴点是的三条高的交点. 故选：D 32．（2026高三·全国·一轮复习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 33．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 34．（2026高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 35．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 题型08 垂心性质的应用 1.核心逻辑 垂心各条连线垂直对边；奔驰定理垂心系数：，即；常和三角函数结合。 2.解题步骤 ①利用垂直条件，数量积等于0列等式； ②奔驰定理处理含有正切的向量等式； ③几何作图，利用高线构造直角三角形，计算面积、边长； ④向量平方求模长。 3.易错提醒 垂心的奔驰定理系数是正切，不要记成边长；锐角、钝角三角形垂心位置不同（钝角在三角形外部）。 36．（2026高二·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 【答案】 【分析】作于，根据为的垂心得出，再由，求出与的关系，再由三角形面积公式求面积. 【详解】过点作于，因为为垂心，所以三点共线， 在中，，所以， 所以. 在中，， 所以，又，所以， 所以， 因此. 故答案： 37．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值. 【详解】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 38．已知H是的垂心，满足，且，则__________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可得，两边点乘及由垂心向量公式得解. 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 39．（2026高一·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 40．（2026高一·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为， 所以， ，即，即， ， ， ， 所以， . 题型09 三角形的“四心”问题的综合 1.核心逻辑 综合考察四心向量、欧拉线定理：外心O、重心G、垂心H共线，；多选高频，方法：向量变形、奔驰定理、坐标代入验证。 2.解题步骤 ①熟记欧拉线向量关系； ②每个选项：要么向量代数推导，要么特殊三角形（等边、直角三角形）建系代入坐标检验； ③区分四个心对应的向量条件； ④注意钝角三角形部分心在三角形外部。 3.易错提醒 记错欧拉线的比例关系；忽略钝角三角形四心位置；只靠记忆二级结论，不做推导。 41．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 42．【多选】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点、、分别的外心、重心、垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用重心的几何性质可判断A选项；由可得，利用平面向量的线性运算可得出，再结合可判断B选项；利用可判断C选项；利用三角形外心的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为为的重心，则且， ，， 所以，，故，A错； 对于B选项，由题意可知，，， 因为，则， ， ，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，因为为的外心，则，D对. 故选：BCD. 43．【多选】（2026高一·湖北·期末）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据三角形重心的向量性质及向量的加减法求得结果；对于B，根据三角形的外心性质结合向量的数量积求得结果；对于C，由欧拉线定理得，即，结合三角形重心的向量性质进行计算即可；对于D，利用正余弦定理及向量的数量积公式进行计算. 【详解】对于A，的重心为，有，且，， 故，故A正确. 对于B，的外心为，有 ，故B错误； 对于C，由欧拉线定理得，即，又， 所以，故C正确； 对于D，因为，，， 所以由余弦定理 又，所以，如图，， 由正弦定理可得，所以， 则，故D正确.    故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 三角形的三条垂直平分线交于一点，即为外心，外心是三角形外接圆的圆心. （1）； （2），；. 44．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由重心为G，得， 则，A正确； 对于B，外心为O，有，， ，B错误； 对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得， 因此，C正确； 对于D，由，得，则， ，D正确. 故选：ACD 45．【多选】（2026高一·安徽合肥·阶段检测）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 【答案】AB 【分析】根据计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；由重心的性质可知可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D． 【详解】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以， 所以，故A正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 如图所示，设为中点，则，所以三点共线， 又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确； 对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误； 对于D选项，因为 ， 如图所示，设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误． 故选：AB. 题型10 奔驰定理 1.核心逻辑 奔驰定理：为内一点，，则 四心对应奔驰定理： 重心： 内心： 垂心： 外心也可以转化面积比；定理只对点在三角形内部成立。 2.解题步骤 ①看到三角形内部一点的向量线性等式，优先联想奔驰定理； ②向量系数之比等于三个小三角形面积之比； ③已知四心，直接写出对应系数比例； ④已知向量等式反推面积比，进一步求边长、角度； ⑤点在三角形外部，面积要带上正负号。 3.易错提醒 直接把奔驰定理用于三角形外部的点；混淆四心对应的面积系数；分不清分别对应哪个小三角形。 46．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 47．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 48．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 49．【多选】（2026高一·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 50．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四心问题与奔驰定理10种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 三角形重心的判断 1.核心逻辑 重心是三条中线交点；向量核心条件：；动点向量表达式若可以变形指向某条中线，则轨迹过重心。取边中点，利用向量加法的平行四边形法则，判断动点是否落在中线上。 2.解题步骤 ①看到向量式子，取三角形某一边中点； ②利用向量加减法化简，看是否可以写成与中线共线的向量； ③若动点始终在中线上，则轨迹经过重心； ④记住：重心分中线的比值（顶点到重心重心到中点）。 3.易错提醒 混淆重心向量公式；看不出中点条件，不会做向量变形；把重心当成到三顶点距离相等（那是外心）。 1．（2026高一·甘肃张掖·阶段检测）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 2．（2026高一·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 4．（2026高一·全国·专题练习）已知点在所在的平面内，满足（），则动点的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 5．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 题型02 重心性质的应用 1.核心逻辑 重心把三角形分成三块面积相等的小三角形；过重心的直线交两边，满足向量三点共线结论；可以结合余弦定理、数量积、函数求最值。 2.解题步骤 ①使用重心向量关系式做向量变形； ②过重心的直线：设参数，利用三点共线条件列等式求参数关系； ③面积问题：三块小三角形面积相等； ④求模长、数量积：向量平方，转化边长计算；求最值可以建系。 3.易错提醒 记错分中线比例；忽略三点共线条件；向量平方漏掉交叉数量积项。 6．（2026高一·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    7．（2026高一·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则______. 8．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）如图，点G为的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则m＋n＝______． 9．【多选】（2026高一·辽宁·期中）已知为的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积是面积的 C．若，，则 D．若，，则当取得最小值时， 题型03 三角形外心的判断 1.核心逻辑 外心是外接圆圆心，到三个顶点距离相等：； 向量条件：取边中点，，即外心与边中点连线垂直这条边。动点落在边的垂直平分线上，则轨迹过外心。 2.解题步骤 ①条件出现模长相等，直接判定在外心； ②取线段中点，做向量数量积，判断是否垂直，确认是否在垂直平分线上； ③两条垂直平分线交点即为外心。 3.易错提醒 把外心和重心混淆；数量积运算化简出错；直角三角形外心在斜边中点，容易忽略。 11．（2026高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 12．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 13．（2026高一·四川眉山·阶段检测）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 14．（2026高一·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 15．（2026高一·安徽马鞍山·期中）点O在ABC所在的平面内，若，则O为ABC的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 题型04 外心性质的应用 1.核心逻辑 外心到三顶点距离等于外接圆半径；常用技巧：取边中点，利用这个二级结论；可结合平方、数量积、三角函数求解。 2.解题步骤 ①遇到外心，优先取各边中点，利用垂直关系处理数量积； ②向量等式两边平方，结合外接圆半径进行计算； ③判断三角形形状，直角三角形外心在斜边中点； ④求参数：列方程组求解系数。 3.易错提醒 直接把当成；不会使用中点简化数量积计算。 16．（2026高一·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则______． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____． 18．（2026高一·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 20．（2026高三·北京·阶段检测）在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 题型05 三角形内心的判断 1.核心逻辑 内心是角平分线交点；经典向量模型：，是方向单位向量；菱形模型，两个单位向量相加指向角平分线。 2.解题步骤 ①识别单位向量相加的结构，判定在角平分线上； ②两条角平分线交点即为内心； ③向量表达式有边长系数，可以联想奔驰定理。 3.易错提醒 分不清单位向量；把内心向量条件和重心搞混；忘记菱形模型的几何意义。 21．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 22．（河南省南阳市2025-2026学年高一学期期中质量评估数学试卷）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 23．（2026·四川南充·模拟预测）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 24．（2026高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 25．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 题型06 内心性质的应用 1.核心逻辑 内心到三边距离相等，等于内切圆半径；奔驰定理中内心对应系数为三边边长，即；角平分线定理配合向量运算。 2.解题步骤 ①已知内心，优先使用奔驰定理，得到三边比例； ②角平分线定理得到线段比例，转化向量； ③建系：求出内心坐标，进行坐标运算； ④结合内切圆面积公式。 3.易错提醒 奔驰定理内心的系数记混；角平分线比例搞反；计算内心坐标出错。 26．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 27．在中，I为的内心，若，则__________. 28．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 29．（2026高三·全国·一轮复习）设为的内心，，，，则______，______． 30．（2026高一·广西柳州·期中）设为的内心，，，，则_______________ 题型07 三角形垂心的判断 1.核心逻辑 垂心是三条高线交点；向量核心条件：，，，即垂心与顶点连线垂直对边。 2.解题步骤 ①做向量数量积，若点和顶点连线与对边数量积为0，则垂直； ②满足两组垂直，该点即为垂心； ③外心条件结合向量变形推导垂心（）。 3.易错提醒 数量积为0代表垂直，不要写成向量等于0；混淆垂心与其他三心的向量条件。 31．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，则下列说法正确的是（    ） A．是的外心 B．是的内心 C．是的重心. D．是的垂心 32．（2026高三·全国·一轮复习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 33．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 34．（2026高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 35．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型08 垂心性质的应用 1.核心逻辑 垂心各条连线垂直对边；奔驰定理垂心系数：，即；常和三角函数结合。 2.解题步骤 ①利用垂直条件，数量积等于0列等式； ②奔驰定理处理含有正切的向量等式； ③几何作图，利用高线构造直角三角形，计算面积、边长； ④向量平方求模长。 3.易错提醒 垂心的奔驰定理系数是正切，不要记成边长；锐角、钝角三角形垂心位置不同（钝角在三角形外部）。 36．（2026高二·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 37．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 38．已知H是的垂心，满足，且，则__________． 39．（2026高一·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 40．（2026高一·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 题型09 三角形的“四心”问题的综合 1.核心逻辑 综合考察四心向量、欧拉线定理：外心O、重心G、垂心H共线，；多选高频，方法：向量变形、奔驰定理、坐标代入验证。 2.解题步骤 ①熟记欧拉线向量关系； ②每个选项：要么向量代数推导，要么特殊三角形（等边、直角三角形）建系代入坐标检验； ③区分四个心对应的向量条件； ④注意钝角三角形部分心在三角形外部。 3.易错提醒 记错欧拉线的比例关系；忽略钝角三角形四心位置；只靠记忆二级结论，不做推导。 41．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 42．【多选】（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点、、分别的外心、重心、垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 43．【多选】（2026高一·湖北·期末）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 44．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 45．【多选】（2026高一·安徽合肥·阶段检测）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 题型10 奔驰定理 1.核心逻辑 奔驰定理：为内一点，，则 四心对应奔驰定理： 重心： 内心： 垂心： 外心也可以转化面积比；定理只对点在三角形内部成立。 2.解题步骤 ①看到三角形内部一点的向量线性等式，优先联想奔驰定理； ②向量系数之比等于三个小三角形面积之比； ③已知四心，直接写出对应系数比例； ④已知向量等式反推面积比，进一步求边长、角度； ⑤点在三角形外部，面积要带上正负号。 3.易错提醒 直接把奔驰定理用于三角形外部的点；混淆四心对应的面积系数；分不清分别对应哪个小三角形。 46．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 47．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 48．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 49．【多选】（2026高一·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 50．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $