专题04 解三角形中的最值及范围问题7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题04 解三角形中的最值及范围问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 与角度有关的最值问题 1.核心逻辑 把所求三角函数式，利用消元，化为单角的三角函数；结合三角形（锐角/钝角）约束，确定角的取值范围，再求值域、最值。 2.解题步骤 ①利用内角和，减少变量，统一为单个角； ②三角恒等变换，化为标准正弦型； ③根据三角形条件（锐角、钝角）写出该角的取值区间； ④结合三角函数图像求最值、取值范围。 3.易错提醒 锐角三角形只限制一个角为锐角，忽略另外两个角也要小于；角的范围扩大，导致结果出错。 1．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可. （2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值. 【详解】（1）由，故，而， 所以，故. （2）由，故，即， 由余弦定理知：，即， 所以，即，又， 故， 由，则或（舍）， 所以，则，即， ，而， 所以，当时有最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值. 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知． ①        ② ． (1)求角A； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①：由正弦定理得，求得，即可求解； 若选②：由正弦定理化简得到即，再由余弦定理得，即可求解； （2）由（1）化简得到，根据题意，求得，得到．进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：（1）若选①：由， 因为，可得， 所以，即． 又由正弦定理得， 因为，所以 ，，所以，． 若选②：因为， 由正弦定理可得，可得，即， 所以．因为，所以. （2）解：由（1）知，可得， 则． 因为为锐角三角形，可得， 可得，所以．可得． 所以．所以的取值范围是． 3．（2026高一·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用余弦定理角化边求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解. （3）由（1）令，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 而，解得，而，所以. （2）由及，得，解得，而，则， 由余弦定理得，所以. （3）由（1）知，令， 由为锐角三角形，得，则， 因此， 所以的取值范围是. 4．（2026高一·广东深圳·阶段检测）在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围； (3)若BC边上的中线长为，，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据正弦定理，余弦定理即可求解； 根据两角和差公式即可求解； 根据向量关系即可求解． 【详解】（1）选择条件①，因为， 由正弦定理，得，将代入条件①， 则， 因，，约去，得， 展开，即， 移项得，即，又，所以； 选择条件②，根据题意可知，， 等式两边同乘abc，得，由正弦定理，则， 因为，，所以， 因，，约去，得，故； 选择条件③，由余弦定理， 代入条件③，则⟹，化简得：， 对比余弦定理，得，即，因为，所以； （2）由，得，即， ， 因为，所以，， 故的取值范围是； （3）设BC中点为D，，，， 由向量关系，平方得， 即，即⟹，解得舍负， 面积 5．（2026高二·浙江温州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示转化，再利用正弦定理边角互化，再结合三角形内角的范围即可求出角； （2）由（1）可知，将其代入，利用差角的正、余弦公式化简变形为，再结合角的范围及在上的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得， 即.因为，所以， 所以，即.因为，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即， 所以， 即的取值范围为. 题型02 与边长有关的最值问题 1.核心逻辑 两条路线： 路线一（边）：已知一角以及对边，余弦定理结合基本不等式，先求范围，再求边长范围； 路线二（角）：正弦定理边化角，转化三角函数求值域。 2.解题步骤 ①已知一角一边：优先余弦定理，结合基本不等式得到边的不等关系； ②多个边表达式，用正弦定理全部转化角； ③结合三角形内角约束，得到角范围，求三角函数值域； ④注意三角形两边之和大于第三边。 3.易错提醒 基本不等式不检验等号成立条件；锐角三角形条件漏掉，没有约束角的上限下限。 6．（26-27高三·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以由正弦定理得 即 所以 因为 ，所以 又 ，所以 所以 ,即 因为 ,所以 ． （2）因为 ， 所以 当且仅当 时，取等号， 所以 7．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的最小值为____． 【答案】 【分析】利用三角形内角关系结合已知条件表示，进而得出，利用正弦定理结合诱导公式表示，利用倍角公式化简，并利用换元法求出的最小值． 【详解】在中，，已知，即， 联立可得， 由得，故； 由正弦定理得， 已知，则，故， ， ， 则 ， 令，由得，且， 则，当取最大值时，的取值最小， 开口向下，对称轴为，最大值为， 故． 8．（26-27高三·安徽·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角形内角和以及诱导公式化简即可求解； （2）由正弦定理以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以，又， 所以实数的取值范围为. 9．（26-27高三·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，将中的角都化为边，再结合余弦定理表示出，结合是锐角三角形，即可求得角的大小； （2）利用正弦定理，将用含角的代数式表示出，再结合角的范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理，可得， 去分母，得，即． 由余弦定理，可得． 因为在锐角中，，所以． （2）由正弦定理，可得 ． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得． 所以，则，故． 10．（2026高三·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将等式变形，再利用二倍角公式求出，利用正弦定理及得到， ，利用两角差的正弦公式展开，再结合的取值范围求出三角函数的值域. 【详解】因为，所以， 则变为， 由正弦定理 ，得， 中，约去得 ， 因为，是锐角三角形，，， 所以，得，，得，所以， 是锐角三角形，所以，且，即， 所以 ， ，， ，， 所以 因为，所以，所以. 题型03 与周长有关的最值问题 1.核心逻辑 周长；若已知某一条边，周长等价求另外两条边之和。 方法1：正弦定理把全部换成角，周长化为三角函数，求值域； 方法2：余弦定理+基本不等式求的最大值； > 注意：基本不等式一般只能求最大值；求取值范围（既有最大又有最小）优先用三角换元（正弦定理）。 2.解题步骤 ①已知定边，周长表示为定边加上另外两条边； ②正弦定理边化角，把周长写成关于角的三角函数； ③由三角形条件（锐角三角形）锁定角的范围； ④辅助角公式，求三角函数值域，得到周长范围。 3.易错提醒 只用基本不等式，只能得到上界，得不到下界；锐角三角形对角的约束不全，范围算错。 11．（2026高一·云南昆明·阶段检测）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角A的大小； (2)若，试求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将正切转化为正弦、余弦，再结合正弦定理把边化角求解； （2）利用正弦定理用角表示边，利用三角函数的值域求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理，得， 为锐角三角形，，所以， 即，即， 因为，所以， 因为，约去得，所以， 因为，所以； （2），，， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 由正弦定理， 所以， 所以周长 ， 因为，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围是. 12．（26-27高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出； （2）由条件结合正弦定理可得外接圆半径，再结合正弦定理求，结合余弦定理和基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由二倍角公式可得，， 又， 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以． （2）由正弦定理得，，其中为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知：， 即有，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 13．在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围． 【答案】 【分析】根据正弦定理表示出，再由锐角三角形以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】由正弦定理得 ， 所以 ， 因为 为锐角三角形， 所以，且，解得，所以， 所以，所以 ， 所以的周长为 ． 14．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 15．（2026高一·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 题型04 与面积有关的最值问题 1.核心逻辑 面积。 已知角：为定值，面积大小由决定； 已知与角：余弦定理结合基本不等式求出的最值，代入面积公式。 2.解题步骤 ①看已知条件，锁定哪个角已知； ②余弦定理结合基本不等式求的最大； ③代入面积公式，得到面积最值； ④求面积取值范围，用正弦定理边化角转化三角函数求解。 3.易错提醒 求范围题目只用基本不等式，只得到最大值，缺少最小值；忽略锐角三角形限制。 16．（2026·广东广州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和已知条件可求得，进而确定角的大小；（2）利用余弦定理和基本不等式确定的最大值，再利用面积公式求得最大值 【详解】（1）由正弦定理得，， 又因为，所以，则， 因为是三角形的一个内角，所以， 因此. （2）由余弦定理得，，即， 由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立， 的面积，当且仅当时等号成立， 因此面积的最大值为 17．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】先应用余弦定理，得的关系式，再结合重要不等式求三角形面积的最大值． 【详解】由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为． 18．（2026高三·四川雅安·开学考试）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，利用三角形内角和结合两角和的正弦公式，通过整理得到，由得到，通过计算得到，由得到. （2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理通过计算得到，利用基本不等式得到，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 即， 解得， 因为，所以， 所以转化为，解得， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 代入得到， 因为，所以转化为， 即，解得， 当且仅当时取等号， 则. 19．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 【答案】# 【分析】利用正弦定理角化边，继而用余弦定理以及基本不等式分析求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理由得：， 即， 由余弦定理得：， 因为，所以，， 又，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积为， 所以当且仅当时，面积的最大值为. 20．（26-27高二·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. （2）由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 题型05 与具体表达式有关的最值问题 1.核心逻辑 目标式子不是边长、周长、面积，而是、、这类代数式。两种手段： ①边化角：正弦定理全部转化角，三角恒等变换，结合角范围求值域； ②角化边：余弦定理，转化边，利用基本不等式。 2.解题步骤 ①观察式子结构，选择边化角或者角化边； ②边化角：利用正弦定理，全部化为角，恒等变换为单三角函数； ③角化边：余弦定理，得到边关系式，配合基本不等式； ④结合三角形内角约束，得到最终取值范围。 3.易错提醒 三角变换公式出错；忽略三角形内角范围，直接取三角函数完整周期的值域。 21．（2026·河南·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，代入数值即可求解； （2）根据正弦定理及两角和的正弦公式对进行化简得到，根据锐角三角形求出的范围，利用正弦定理及二倍角公式对进行转化得到，令，根据的范围求出的范围，进而求出答案. 【详解】（1）由余弦定理可化为， 将，代入得，解得（负值舍去）. （2）由正弦定理，可化为， 因为，所以， 所以， 即， 即， 因为，所以，即， 由题意得，解得， 由正弦定理得 ， 令，， ， 函数在上单调递增，则， 则， 所以的取值范围为. 22．（26-27高二·广东梅州·开学考试）在锐角中，角，，的对边为，，，为的面积，且， (1)求角的正弦值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，把已知等式化为关于的三角函数关系，求出； （2）利用正弦定理将所求式转化为关于角的三角函数，再结合锐角三角形对角的范围限制，利用辅助角公式求取值范围． 【详解】（1）由三角形面积公式， 又由余弦定理，所以 由题意，即 因为为锐角，所以从而 因此 （2）由正弦定理， 结合，得 又，所以，从而 因此 因为为锐角三角形，所以 由，得，故 又由且，可知 于是且 结合正弦函数在上单调递增、在上单调递减，且在上述区间内，可得 所以，即的取值范围为． 23．（2026高二·山西长治·期中）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得:， 因为，所以. （2）由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； （3）由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 24．（2026高二·福建福州·期末）已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到，从而利用整体法求出函数单调递增区间； （2）结合（1）中结论求出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. 【详解】（1）由向量，， 所以    ， 令，，解得：，，                    所以的单调递增区间是； （2）由可得：， 又因为， 所以，解得：     由正弦定理可得， 则    ，其中， 所以当时，. 25．（2026高一·山东聊城·期末）已知中，，点在边上，． (1)若，． （i）求的长； （ii）求的面积． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）在中，利用余弦定理求解；（ii）根据求得，即可求的面积； （2）根据，两边平方再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）（i）中，，， 则，又，， 根据余弦定理得： 即， 由于，得； （ii）由于为的角平分线， 所以， 即， 得，所以， 所以； （2）由于， 则， 又， 即 即， ， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 题型06 中线长的最值问题 1.核心逻辑 中线向量公式是核心：，两边平方得到中线长表达式； 也可以用中线长公式：。 两种求解路径： ①向量平方后，余弦定理结合基本不等式求中线最值； ②正弦定理边化角，转化三角函数求范围。 2.解题步骤 ①写出中线向量等式，两边平方；或者直接使用中线长公式； ②代入余弦定理，得到中线与三边关系； ③方法一：基本不等式求最值； ④方法二：正弦定理全部化为角，结合锐角三角形角范围，求三角函数值域； ⑤得到中线的最值或者取值范围。 3.易错提醒 中线向量平方运算出错；向量平方忘记数量积项。 26．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 27．（2026高一·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 【答案】(1) 由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. (2) 【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明； （2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 28．（2026高一·湖北·阶段检测）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可； （2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解. 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 29．（2026高三·北京·开学考试）已知的内角的对边分别为，且满足，． (1)求的大小； (2)已知是的中线，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，化简，可得，结合余弦定理即可求得答案； （2）由，，利用基本不等式可得，再根据是的中线，可得，平方后结合数量积的运算可得，即可求得答案. 【详解】（1）由于在中，，， 则，则， 由于； （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 30．（2026高二·安徽亳州·开学考试）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2). 【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理边化角化简可得角B，利用正弦定理化简求得，又，可得结果； （2）根据余弦定理结合基本不等式可得，设边上的中点为D， 因为，利用向量数量积运算可得边上中线的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得，， 又因， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为， 则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 题型07 角平分线长的最值问题 1.核心逻辑 核心手段：等面积法。三角形总面积等于被角平分线分割成两个小三角形面积之和。 角平分线长公式：，建立角平分线长度与边长关系；再用基本不等式或者正弦定理求最值。 2.解题步骤 ①利用等面积，建立角平分线和边长等式； ②化简得到角平分线长表达式； ③使用基本不等式求最大值； ④求取值范围：正弦定理边化角，转化三角函数，结合角约束求值域。 3.易错提醒 等面积列等式系数出错；角平分线公式记忆错误；忽略三角形内角限制。 31．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 32．（2026高三·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）首先根据正弦定理将角转化成边，然后再根据余弦定理求解即可； （2）首先根据已知条件结合等面积的关系求出，然后再根据均值定理进行求解即可. 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， 所以， 又因为，所以. （2）为的角平分线，. 由，得， 又，所以，故， 所以， 当且仅当，即时，的最小值为9. 33．（2026高一·湖北黄石·期末）已知的内角的对边分别为，若； (1)求角； (2)若，且是钝角三角形； （i）求的范围； （ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及二倍角的正弦公式可得； （2）（i）由已知式结合正弦定理求得，由是钝角三角形确定的取值范围，根据正弦定理结合三角恒等变换将表示成的正弦型函数，即可求得其取值范围；（ii）根据三角形面积相等，得到与的关系，利用正弦定理及三角恒等变换将表示成的函数，再用换元法结合函数单调性求得函数的值域，即的取值范围． 【详解】（1）因为，所以. 由，得，所以． 由正弦定理，得， 所以，即，所以， 所以，因为， 所以，得到，解得． （2）（i）由，得， 由正弦定理得，所以，所以. 因为为钝角三角形，，故钝角只能是A或C， 所以或，所以． 由正弦定理得 ， 因为， 所以，所以. （ii）因为为的角平分线，且， 所以，得到， 所以，化简得． 又 由（i）知，， 所以， 令，由（i）知，所以， 所以，因为函数在上单调递增， 所以时，；当时，，所以． 34．（2026高二·重庆·期中）在锐角中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：； (2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1) 证明：由，根据正弦定理可得， 即，所以； 可得， 所以， 即，显然， 故，， 所以. (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，再由角的范围可得； （2）由正弦定理可得，再由锐角三角形限定出角的范围，根据三角函数值可得的长度的取值范围. 【详解】（1）略 （2）在中，由正弦定理可得，可得， 即，所以， 因为是锐角三角形，且，所以 解得，可得，所以， 所以线段长度的取值范围是. 35．（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形中的最值及范围问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 与角度有关的最值问题 1.核心逻辑 把所求三角函数式，利用消元，化为单角的三角函数；结合三角形（锐角/钝角）约束，确定角的取值范围，再求值域、最值。 2.解题步骤 ①利用内角和，减少变量，统一为单个角； ②三角恒等变换，化为标准正弦型； ③根据三角形条件（锐角、钝角）写出该角的取值区间； ④结合三角函数图像求最值、取值范围。 3.易错提醒 锐角三角形只限制一个角为锐角，忽略另外两个角也要小于；角的范围扩大，导致结果出错。 1．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知． ①        ② ． (1)求角A； (2)求的取值范围． 3．（2026高一·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 4．（2026高一·广东深圳·阶段检测）在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围； (3)若BC边上的中线长为，，求的面积. 5．（2026高二·浙江温州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 题型02 与边长有关的最值问题 1.核心逻辑 两条路线： 路线一（边）：已知一角以及对边，余弦定理结合基本不等式，先求范围，再求边长范围； 路线二（角）：正弦定理边化角，转化三角函数求值域。 2.解题步骤 ①已知一角一边：优先余弦定理，结合基本不等式得到边的不等关系； ②多个边表达式，用正弦定理全部转化角； ③结合三角形内角约束，得到角范围，求三角函数值域； ④注意三角形两边之和大于第三边。 3.易错提醒 基本不等式不检验等号成立条件；锐角三角形条件漏掉，没有约束角的上限下限。 6．（26-27高三·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的最小值为____． 8．（26-27高三·安徽·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 9．（26-27高三·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 10．（2026高三·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 题型03 与周长有关的最值问题 1.核心逻辑 周长；若已知某一条边，周长等价求另外两条边之和。 方法1：正弦定理把全部换成角，周长化为三角函数，求值域； 方法2：余弦定理+基本不等式求的最大值； > 注意：基本不等式一般只能求最大值；求取值范围（既有最大又有最小）优先用三角换元（正弦定理）。 2.解题步骤 ①已知定边，周长表示为定边加上另外两条边； ②正弦定理边化角，把周长写成关于角的三角函数； ③由三角形条件（锐角三角形）锁定角的范围； ④辅助角公式，求三角函数值域，得到周长范围。 3.易错提醒 只用基本不等式，只能得到上界，得不到下界；锐角三角形对角的约束不全，范围算错。 11．（2026高一·云南昆明·阶段检测）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角A的大小； (2)若，试求周长的取值范围. 12．（26-27高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 13．在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围． 14．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 15．（2026高一·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 与面积有关的最值问题 1.核心逻辑 面积。 已知角：为定值，面积大小由决定； 已知与角：余弦定理结合基本不等式求出的最值，代入面积公式。 2.解题步骤 ①看已知条件，锁定哪个角已知； ②余弦定理结合基本不等式求的最大； ③代入面积公式，得到面积最值； ④求面积取值范围，用正弦定理边化角转化三角函数求解。 3.易错提醒 求范围题目只用基本不等式，只得到最大值，缺少最小值；忽略锐角三角形限制。 16．（2026·广东广州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 17．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 18．（2026高三·四川雅安·开学考试）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，求面积的最大值． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 20．（26-27高二·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 题型05 与具体表达式有关的最值问题 1.核心逻辑 目标式子不是边长、周长、面积，而是、、这类代数式。两种手段： ①边化角：正弦定理全部转化角，三角恒等变换，结合角范围求值域； ②角化边：余弦定理，转化边，利用基本不等式。 2.解题步骤 ①观察式子结构，选择边化角或者角化边； ②边化角：利用正弦定理，全部化为角，恒等变换为单三角函数； ③角化边：余弦定理，得到边关系式，配合基本不等式； ④结合三角形内角约束，得到最终取值范围。 3.易错提醒 三角变换公式出错；忽略三角形内角范围，直接取三角函数完整周期的值域。 21．（2026·河南·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 22．（26-27高二·广东梅州·开学考试）在锐角中，角，，的对边为，，，为的面积，且， (1)求角的正弦值； (2)求的取值范围． 23．（2026高二·山西长治·期中）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 24．（2026高二·福建福州·期末）已知向量，，， (1)求的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，，，求的最大值. 25．（2026高一·山东聊城·期末）已知中，，点在边上，． (1)若，． （i）求的长； （ii）求的面积． (2)若，求的最大值． 题型06 中线长的最值问题 1.核心逻辑 中线向量公式是核心：，两边平方得到中线长表达式； 也可以用中线长公式：。 两种求解路径： ①向量平方后，余弦定理结合基本不等式求中线最值； ②正弦定理边化角，转化三角函数求范围。 2.解题步骤 ①写出中线向量等式，两边平方；或者直接使用中线长公式； ②代入余弦定理，得到中线与三边关系； ③方法一：基本不等式求最值； ④方法二：正弦定理全部化为角，结合锐角三角形角范围，求三角函数值域； ⑤得到中线的最值或者取值范围。 3.易错提醒 中线向量平方运算出错；向量平方忘记数量积项。 26．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 27．（2026高一·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 28．（2026高一·湖北·阶段检测）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 29．（2026高三·北京·开学考试）已知的内角的对边分别为，且满足，． (1)求的大小； (2)已知是的中线，求的最大值． 30．（2026高二·安徽亳州·开学考试）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 题型07 角平分线长的最值问题 1.核心逻辑 核心手段：等面积法。三角形总面积等于被角平分线分割成两个小三角形面积之和。 角平分线长公式：，建立角平分线长度与边长关系；再用基本不等式或者正弦定理求最值。 2.解题步骤 ①利用等面积，建立角平分线和边长等式； ②化简得到角平分线长表达式； ③使用基本不等式求最大值； ④求取值范围：正弦定理边化角，转化三角函数，结合角约束求值域。 3.易错提醒 等面积列等式系数出错；角平分线公式记忆错误；忽略三角形内角限制。 31．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 32．（2026高三·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 33．（2026高一·湖北黄石·期末）已知的内角的对边分别为，若； (1)求角； (2)若，且是钝角三角形； （i）求的范围； （ii）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 34．（2026高二·重庆·期中）在锐角中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：； (2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围. 35．（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $