专题01探索勾股定理 同步培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题01探索勾股定理同步培优讲义 ✺知识框架 本节课探究直角三角形三边的数量关系，遵循 “探索 — 验证 — 应用” 主线。借助方格图形、割补法，利用面积关系推导勾股定理；掌握定理内容与适用条件，运用定理求解直角三角形边长，感受数形结合思想，为本章勾股定理逆定理、实际应用的学习打下基础。 ✺学习目标 1.经历勾股定理的探索与验证过程，理解面积法的推导思路，掌握勾股定理的文字表述与公式形式。 2.理解勾股定理的适用范围，熟练运用定理及其变形，求解直角三角形的未知边长。 3.体会数形结合思想，能利用勾股定理解决简单几何计算问题，提升几何推理能力。 ✺知识梳理 知识点一 、勾股定理的探索 在方格纸中，以直角三角形三边向外作正方形，通过割补法计算正方形面积，得到三个正方形的面积关系，由此发现直角三角形三边的平方关系。面积法是勾股定理典型的验证方法。 知识点二、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； ②用于解决带有平方关系的证明问题； ③利用勾股定理，作出长为的线段。 3.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 4.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点三、勾股定理证明方法 易错点提醒 1.忽略定理适用条件，在非直角三角形中套用勾股定理； 2.混淆直角边和斜边，代入公式计算出错； 3.已知两边求第三边时，未分类讨论，造成漏解或错解。 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直角的对边为斜边，结合勾股定理判断． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 为斜边，，为直角边， ∴ ． 2．如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】 7.5 【分析】利用勾股定理求出斜边 的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 3．如图，四边形是用小木条搭建的长方形木框，木框的长，宽，在点、处用一根木条加固，求木条的长度（木条的宽度忽略不计）． 【答案】木条的长度为 【分析】长方形中为直角，利用勾股定理即可计算对角线的长度． 【详解】解： 四边形是长方形，，，，是直角三角形． ， ， 答：木条的长度为． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 2．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积公式可得 ． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为 则 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴． 3．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系． 【答案】解：如图，记三个圆的半径分别为，，，面积分别为，，， 则，，． 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 【分析】记三个圆的半径分别为，，，面积分别为，，，根据勾股定理得，可以求得． 【详解】略． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 2．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理变形即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 题型5.勾股定理的证明方法 1．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 3．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 题型6.以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，小正方形的边长为，计算的值即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a， 根据题意，得，，，小正方形的边长为， ∴， 解得或负值舍去； 故，即小正方形的面积是4． 2．如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 3．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3） 解：略. 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 3．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：设，则cm， 由题可得，，cm，， ∴在中，，在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． ✺分层练习 一、单选题 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 2．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 3．为打造以“的城市”IP为核心引领，聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区对城区某干道进行亮化改造，如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为25米，点到路灯杆的水平距离为20米，点到地面的竖直距离为1.8米，则起重臂顶端离地面的高度为（     ） A．14.8米 B．16.8米 C．18.8米 D．20.8米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出的长即可作答． 【详解】解：过点B作地面于点， 根据题意已知米，米，米， ， 四边形是矩形， 故米， 在中，根据勾股定理可得 （米） （米） 即起重臂顶端离地面的高度为米． 二、填空题 4．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 5．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 6．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 三、解答题 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，，在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （3）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 8．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1) 证明：根据题意，得， ， 则，即； (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1) 解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01探索勾股定理同步培优讲义 ✺知识框架 本节课探究直角三角形三边的数量关系，遵循 “探索 — 验证 — 应用” 主线。借助方格图形、割补法，利用面积关系推导勾股定理；掌握定理内容与适用条件，运用定理求解直角三角形边长，感受数形结合思想，为本章勾股定理逆定理、实际应用的学习打下基础。 ✺学习目标 1.经历勾股定理的探索与验证过程，理解面积法的推导思路，掌握勾股定理的文字表述与公式形式。 2.理解勾股定理的适用范围，熟练运用定理及其变形，求解直角三角形的未知边长。 3.体会数形结合思想，能利用勾股定理解决简单几何计算问题，提升几何推理能力。 ✺知识梳理 知识点一 、勾股定理的探索 在方格纸中，以直角三角形三边向外作正方形，通过割补法计算正方形面积，得到三个正方形的面积关系，由此发现直角三角形三边的平方关系。面积法是勾股定理典型的验证方法。 知识点二、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； ②用于解决带有平方关系的证明问题； ③利用勾股定理，作出长为的线段。 3.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 4.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点三、勾股定理证明方法 易错点提醒 1.忽略定理适用条件，在非直角三角形中套用勾股定理； 2.混淆直角边和斜边，代入公式计算出错； 3.已知两边求第三边时，未分类讨论，造成漏解或错解。 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 3．如图，四边形是用小木条搭建的长方形木框，木框的长，宽，在点、处用一根木条加固，求木条的长度（木条的宽度忽略不计）． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 2．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 3．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 2．在中，，，则_______． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 题型5.勾股定理的证明方法 1．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 3．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 2．如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 3．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 3．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） ✺分层练习 一、单选题 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 3．为打造以“的城市”IP为核心引领，聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区对城区某干道进行亮化改造，如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为25米，点到路灯杆的水平距离为20米，点到地面的竖直距离为1.8米，则起重臂顶端离地面的高度为（     ） A．14.8米 B．16.8米 C．18.8米 D．20.8米 二、填空题 4．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 5．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 6．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 三、解答题 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 8．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $